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第七章
万有引力与宇宙航行
考 情 分 析
生活实践类 地球不同纬度重力加速度的比较
学习探究类 开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”、“环绕法”计算天体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星或多星模型
第20课时：万有引力定律及其应用
目标要求1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。2.掌握计算天体质量和密度的方法。
考点一：开普勒定律
开普勒三大定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 =k，k是一个与行星无关的常量
注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、卫星绕地球的运动。此时k是一个与中心天体有关的常量。
1.已知同一行星在轨道的两个位置的速度：近日点速度大小为v1，远日点速度大小为v2，近日点距太阳距离为r1，远日点距太阳距离为r2。
(1)v1与v2大小什么关系？
(2)试证明=。
答案(1)v1>v2
(2)证明：由开普勒第二定律可得Δl1·r1=Δl2·r2，则有v1Δt·r1=v2Δt·r2，
可得=。
2.把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，试求k值。
答案由=mr得：=，即k=。
例1(2024·浙江6月选考·8)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则()
A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C.小行星甲与乙的运行周期之比=
D.甲乙两星从远日点到近日点的时间之比=
答案D
解析根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误；
根据=ma，小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误；
根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比==，故C错误；
甲、乙两行星从远日点到近日点的时间均为各自做椭圆运动周期的一半，可得==，故D正确。
考点二：万有引力定律
1.万有引力定律
(1)内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。即F=G，G为引力常量，通常取G=6.67×10-11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定。
(2)适用条件
①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg=G，得g=。
(2)地球上空的重力加速度大小g'
地球上空距离地球中心r=R+h处由mg'=，得g'=。
例2火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()
A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5
答案B
解析万有引力定律表达式为F=G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为==0.4，选项B正确。
例3(2025·浙江金华市检测)某星系中有一颗质量分布均匀的行星，其半径为R，将一质量为m的物块悬挂在弹簧测力计上，在该行星极地表面静止时，弹簧测力计的示数为F；在该行星赤道表面静止时，弹簧测力计的示数为F。已知引力常量为G。下列说法正确的是()
A.该行星的自转周期为
B.该行星的质量为
C.该行星赤道处的重力加速度为
D.该行星的密度为
答案D
解析物块在该行星极地表面静止时，万有引力等于重力G=mg极=F，在赤道表面静止时，万有引力和重力的合力提供向心力G-mg赤=Fn，其中mg赤=F，联立解得Fn=F，根据向心力公式Fn=mR可得，该行星的自转周期为T=，故A错误；物块在该行星极地表面静止时，万有引力等于重力G=mg极=F，解得M=，故B错误；在赤道表面静止时，根据平衡条件，重力等于弹簧测力计的拉力，即mg赤=F，解得g赤=，故C错误；根据ρ=可知，该行星的密度为ρ====，故D正确。
万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：
G=mg1+mω2R。
(2)在两极上：G=mg0。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即=mg。
例4已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，忽略地球的自转，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为()
A. B.()2
C. D.
答案C
解析设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有G=mg，由于地球的质量M=ρV=ρ·πR3，联立解得g=πGρR，在深度为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为(R-d)的球体表面的重力，“蛟龙号”在海里所处位置的重力加速度为g1=πGρ(R-d)，联立可得g1=g，卫星在高度h处受到的重力，即为该处受到的万有引力，即mg2=，解得加速度g2==g，所以=，故C正确。
万有引力的“两个推论”
推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引=0。
推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(质量为m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(质量为M')对其的万有引力，即F=G。
考点三：天体质量和密度的计算
1.利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G=mg，得天体质量M=。
(2)天体密度ρ===。
2.利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G=mr，得M=。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ===。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
例5某星球的半径约为地球半径的10倍，同一物体在该星球表面的重力约为在地球表面重力的3倍，不考虑自转的影响，则该星球质量约为地球质量的()
A.10倍 B.30倍
C.100倍 D.300倍
答案D
解析设中心天体质量为M，在星球表面，万有引力近似等于重力，则有G=mg，解得M=，由于该星球表面重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，星球的半径约为地球半径的10倍，则有==300，即该星球质量约为地球质量的300倍。故选D。
例6(2024·新课标卷·16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的()
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000倍
答案B
解析设红矮星质量为M1，行星质量为m1，轨道半径为r1，行星绕红矮星运行周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，地球到太阳距离为r2，地球公转周期为T2；根据万有引力提供向心力有G=m1r1
G=m2r2
联立得=()3·()2
由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，得≈0.1，故选B。
针对训练(2024·海南卷·6)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为()
A. B.
C. D.(1+k)3
答案D
解析设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力
G=m·(k+1)R
月球的体积V=πR3
月球的平均密度ρ=
联立可得ρ=(1+k)3，故选D。
课时精练
[分值：37分]
[1~7题，每题3分]
1.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
答案C
解析由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行的椭圆轨道的一个焦点上，故A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常量，故C正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星与太阳连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。
2.(2025·浙江温州市一模)地球绕太阳运动的轨迹是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。地球近日点到太阳中心的距离约为1.471×108 km，远日点到太阳中心的距离约为1.521×108 km。不考虑其他天体的影响，则地球在近日点和远日点的线速度大小之比约为()
A.1.53 B.1.03 C.0.97 D.0.73
答案B
解析根据开普勒第二定律，地球在绕日椭圆轨道上运行时，地球与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等。设近日点和远日点的线速度大小分别为v近和v远，距离分别为r近=1.471×108 km和r远=1.521×108 km。则在极短时间t内有r近v近t=r远v远t，因此，线速度之比为≈1.03，故近日点与远日点的线速度大小之比约为1.03，故选B。
3.(2024·山东卷·5)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为()
A. B. C. D.
答案D
解析由=mr得：=
根据开普勒第三定律=k，则k=
可见，开普勒第三定律中的k值与中心天体质量有关，地球质量M地=，同理，对“鹊桥二号”中继星，可得月球质量M月=，
因“鹊桥二号”与地球同步卫星周期相同，
所以=，故选D。
4.(多选)(2025·安徽卷·9)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则()
A.r= B.r=+R
C.M= D.M=
答案BC
解析对于环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有=，可得r=+R，故A错误，B正确；对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得=m()2r，可得M=，故C正确，D错误。
5.(2024·浙江1月选考·9)如图所示，2023年12月9日“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入距离地面约500 km的轨道。取地球质量6.0×1024 kg，地球半径6.4×103 km，引力常量6.67×10-11 N·m2/kg2。下列说法正确的是()
A.火箭的推力是空气施加的
B.卫星的向心加速度大小约8.4 m/s2
C.卫星运行的周期约12 h
D.发射升空初始阶段，装在火箭上部的卫星处于失重状态
答案B
解析根据反冲现象的原理可知，火箭向后喷射燃气的同时，燃气会给火箭施加反作用力，即推力，故A错误；根据万有引力定律和牛顿第二定律可知卫星的向心加速度大小为a==≈8.4 m/s2，故B正确；由G=m()2·(R+h)得卫星运行的周期为T=2π≈1.6 h，故C错误；发射升空初始阶段，火箭加速度方向向上，装在火箭上部的卫星处于超重状态，故D错误。
6.(2025·浙江1月选考·6)地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b，从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S1>S2。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍，则彗星()
A.在近日点的速度小于地球的速度
B.从b运行到c的过程中动能先增大后减小
C.从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间
D.在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍
答案C
解析地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力G=m，解得v=，假设哈雷彗星在近日点绕太阳做匀速圆周运动，根据哈雷彗星在近日点绕太阳做匀速圆周运动的半径小于地球公转轨道半径，因此哈雷彗星在近日点绕太阳做匀速圆周运动的速度大于地球绕太阳的公转速度，如果哈雷彗星从此圆周轨道变为原本的椭圆轨道，要做离心运动，需要在近日点加速，则哈雷彗星在原本椭圆轨道近日点的速度大于其在近日点绕太阳做匀速圆周运动的速度，故哈雷彗星在近日点的速度大于地球的速度，A错误；从b运行到c的过程中万有引力与速度方向夹角一直为钝角，哈雷彗星速度一直减小，因此动能一直减小，B错误；根据开普勒第二定律可知哈雷彗星绕太阳运行时，经过相同的时间与太阳连线扫过的面积相同，根据S1>S2可知从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间，C正确；万有引力提供加速度G=ma，解得a=，则哈雷彗星在近日点加速度a1与地球的加速度a2的比值为==，D错误。
7.(2025·广东卷·5)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是()
A.公转周期约为6年
B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
答案D
解析根据题意，设地球与太阳间距离为R，则小行星公转轨道的半长轴为a==6R，由开普勒第三定律有=，解得T==6年，故A错误；从远日点到近日点，小行星与太阳间距离逐渐减小，由万有引力定律F=可知，小行星所受太阳引力逐渐增大，故B错误；由开普勒第二定律可知，从远日点到近日点，小行星线速度逐渐增大，故C错误；由牛顿第二定律有=ma，解得a=，可知==，即小行星在近日点的加速度大小是地球公转加速度的，故D正确。
[8~10题，每题4分]
8.质量为m的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，引力常量为G。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小F等于()
A.G B.mR
C.G-mR D.G+mR
答案C
解析对物块，由牛顿第二定律有-FN=mR，解得物块受到的支持力FN=-mR，根据牛顿第三定律，可知物块对桌面的压力大小F为-mR，故选C。
9.(2023·浙江6月选考·9)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则()
A.木卫一轨道半径为r
B.木卫二轨道半径为r
C.周期T与T0之比为
D.木星质量与地球质量之比为n3
答案D
解析根据题意可得，木卫三的轨道半径为r3=nr。根据万有引力提供向心力有G=mR，可得R=，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4，可得木卫一轨道半径为r1=，木卫二轨道半径为r2=，故A、B错误；木卫三围绕的中心天体是木星，月球围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T0之比，故C错误；根据万有引力提供向心力，分别有G=m三nr，G=m月r，联立可得=n3，故D正确。
10.(2025·浙江诸暨市检测)已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍。若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地，不计阻力，不考虑自转的影响，则s月∶s地约为()
A.9∶4 B.6∶1
C.3∶2 D.1∶1
答案A
解析设月球质量为M'，半径为R'，月球表面重力加速度为g'，地球质量为M，半径为R，地球表面重力加速度为g。已知=，=
根据=mg有g=，因此=，由题意从同样高度抛出物体，h=gt2=g't'2，联立解得t'=t，在地球上的水平距离s地=v0t，在月球上的水平距离s月=v0t'，因此得到s月∶s地=9∶4，故选A。
[4分]
11.(多选)(2025·浙江6月选考·13)月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示，月球半径为R，表面重力加速度为g月，不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体，要求落在纬度φ=60°的M处，其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O点，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则()
A.发射点离月面的高度h=R
B.物体沿椭圆运动的周期为
C.此椭圆两焦点之间的距离为R
D.若水平发射的速度为v，发射高度为h，则物体落到M处的速度为
答案BC
解析根据题意可知椭圆轨道的一个焦点为O，设椭圆的另外一个焦点为O'，如图甲所示，
设椭圆的半长轴为a，焦距为2c，根据椭圆知识可知O'M+OM=2a，根据开普勒第三定律=k可知，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则椭圆的半长轴最小，根据几何关系可知当MO'垂直于OO'时，半长轴a最小，如图乙所示，由几何关系有2a=Rcos φ+R，解得a=，根据几何关系可得椭圆的焦距2c=OO'=Rsin φ=，故C正确；根据几何关系可得发射点离月球表面的高度h=a+c-R=R，故A错误；设物体绕月球表面做匀速圆周运动时的周期为T0，则由重力提供向心力得mg月=mR，结合开普勒第三定律=，联立可得物体沿椭圆运动的周期为T=，故B正确；引力势能Ep=-，mg月=G，由机械能守恒定律有-+mv2=-+m，解得vM=，故D错误。

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