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2025-2026学年高二下学期数学人教A版期中复习模拟检测题
一、单选题
1．随机变量X的分布列为：
X 1 2 3
P a
则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．在的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知随机变量，若，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（ ）
A． B． C． D．
7．中国空间技术的突破和空间站的建设，吸引了众多太空爱好者.在“天宫课堂”第三课中就有人提问：如何能成为一名航天员 如何才能加入探索太空的队伍中 已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.现对这五项测试排序，要求前庭功能不排在第一项，超重耐力不排在最后一项，失重飞行不排在第三项，则选拔测试的安排方案有（ ）
A．28种 B．36种 C．48种 D．64种
8．过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（ ）
A．16 B．15 C．10 D．5
二、多选题
9．对于随机事件，若，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ）
A． B．展开式的二项式系数和为
C．展开式的各项系数和为 D．
11．已知函数，则（ ）
A．是函数的极小值点
B．对，方程恒有两个不同的实数解
C．
D．存在，使得直线与曲线相切
三、填空题
12．设A，B为两个随机事件，已知，，，则__________.
13．如图，对、、、、五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有__________种.
14．已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则的取值范围是_____．
四、解答题
15． 在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为．
(1)求的值；
(2)求展开式中含的项的二项式系数（用数字作答）.
16．已知函数．
(1)若，求在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
17．有甲、乙、丙、丁、戊位同学，求：
(1)位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法？
(2)位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？
(3)将位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？
18．某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为.
(1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率；
(2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确；
(3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望.
19．已知函数.
(1)若是的极大值点，求的值
(2)当时，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；
(3)若对，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A C A A D A BD AD
题号 11
答案 AB
1．C
【分析】利用分布列的性质计算即可求解.
【详解】由题意可得，解得，
所以.
故选：C.
2．A
【详解】因为，所以，
则，得
3．A
【分析】分别展开，，找到两部分相乘后指数和为的项.
【详解】在的展开式中，第项为，其中，
含的项为，
含的项为，
结合，
可得的展开式中含的项为，
在的展开式中的系数为.
4．C
【分析】利用正态分布的性质求解即可.
【详解】因为，，所以，
所以，又，，
所以，解得.
故选：C.
5．A
【分析】由题设可得在上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数的取值范围．
【详解】因为函数，则，
因为在上单调递增，故在上恒成立，
即在上恒成立，即，
又，当且仅当，即时等号成立，
所以函数在上的最大值为，所以，
所以的取值范围为．
6．A
【分析】先列出所有满足条件的四位数，再分别计算事件的概率，最后用条件概率公式求解.
【详解】算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动，
基本事件为1000，1001，1005，1010，1050，1100，1500，5000，5001，5005，5010，5050，5100，5500共14种，
事件“表示的四位数为偶数”，包含基本事件1000，1010，1050，1100，1500，5000，5010，5050，5100，5500共10种，
则，事件“表示的四位数不小于5010”，
则事件=“表示的四位偶数不小于5010”，包含基本事件5010，5050，5100，5500共4种，
则，
所以，
故选：A．
7．D
【详解】根据题意，分3种情况讨论：
①若前庭功能排在最后一项，超重耐力排在第三项，则失重飞行有3种排法，所以有3·=6种情况；
若前庭功能排在最后一项，超重耐力不排在第三项，则超重耐力有3种排法，此时失重飞行有2种排法，
所以有(3×2)·=12种情况.故共有18种情况.
②若前庭功能排在第三项，失重飞行有排在最后一项与不排在最后一项两种，情况同①.故共有18种情况.
③若前庭功能排在第2或第4位（2种情况），先排前庭功能，有2种排法，再排超重耐力，
若超重耐力排在第三项，则失重飞行有3种排法；
若超重耐力不排在第三项，则超重耐力有2种排法，
此时失重飞行有2种排法.故共有2×(3+2×2)·=28种情况.
综上，共有18+18+28=64种安排方案.
8．A
【分析】解法一：先设出切点坐标，再对求导找到切线的斜率，再根据切点在曲线上得出，由点斜式写出切线方程，又因为切线过点，求出，得到切点坐标，进而可求线段及到的距离最后计算出的面积；
解法二：先设出切线方程与曲线方程联立通过得出切线的斜率进而得到切点坐标，进而可求线段及到的距离最后计算出的面积.
【详解】解法一：因为，所以，
设切点，所以在处的切线斜率，
所以在处的切线方程为，
又点在曲线上，所以，
所以在处的切线方程为，
因为此切线过点，所以），
解得，即，当时，，当时，，
所以不妨设，所以直线的方程为，
整理得，又到的距离，
则.
解法二：过原点且斜率不存在的直线为易知它与曲线相交，
故过原点且与曲线相切的直线斜率存在，
设切线方程为，切点为，，联立，
整理得0，令，得或，
由，得，所以，
当时，，当时，，
不妨设，所以，
所以直线的方程为，即0，
又到的距离，则.
故选：A
9．BD
【分析】根据条件概率公式，概率的基本性质及事件和的概率公式即可求解．
【详解】对于A，因为，
所以，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，故C错误；
对于D，，故D正确．
10．AD
【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确；
对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确；
对于D：令，得，令，得，所以，故D正确．
11．AB
【分析】对于A选项，利用导数即可求出极小值；对于B选项，将问题转化为与有两个交点即可；对于C，根据在上单调递增，可得，代入化简即可判断；对于D，设切点为，则切线方程为：，将点，代入化简得：，令，利用导数研究函数的取值范围即可判断D选项.
【详解】函数 的定义域为，且，
令，解得
当时，，所以，单调递减；
当时，，所以，单调递增；
则是函数的极小值点，故A 正确；
对于B，的极小值为，
当时，，，当时，，
结合图像可知对，方程恒有两个不同解成立，故B正确；
对于C，由于当时，单调递增，所以，则，
即,所以，故C不正确；
对于D，设切点为，切线斜率为，
切线方程为：，
因为切线过，代入得：
化简得：，
整理得：，即，
令，，
则，所以在和上单调递增，
所以当时，，当时，，
则当时，无解，
即不存在，使得直线与曲线相切，故D不正确；
12．/
【分析】借助条件概率公式计算即可得.
【详解】因为，所以，
又，所以，
因为，所以，
所以，
故答案为：
13．
【分析】依次填、、、、区域，讨论、同色和异色两种情况，结合分类加法和分步乘法计数原理可得结果.
【详解】先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择，
接下涂、区域，若、区域颜色相同，则区域有种选择；
若、区域颜色不同，则区域有种选择，区域有种选择；
最后涂区域，有种选择，
由分类加法和分步乘法计数原理可知，不同的涂色方法种数为种.
故答案为：.
14．
【分析】由可得或，利用导数分析函数单调性和极值情况，作出图象，结合零点要求即可确定参数范围.
【详解】由，
可得或.
而函数的定义域为，且，
则当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
，当时，，当时，，
当，当，
当，当，
作出函数的图象如下：
由上分析，结合函数图象，要使函数恰有两个不同的零点，需使，
即，故的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得出，结合组合数公式可求得的值；
（2）写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数值，结合二项式系数的概念可得结果.
【详解】（1）由题意可得，即，即，且，
即，故.
（2），
其展开式的通项公式，
令，解得，故展开式中含的项的二项式系数为.
16．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）求导得，分两种情况讨论导函数的符号，可得出原函数的单调性．
【详解】（1）若，则，则，，，
所以在点处的切线方程为．
（2），
①当，令，解得，令，解得，
在单调递增，在单调递减；
②当，令，解得，，
当时，令，解得或，令，解得，
在，单调递增，在单调递减；
当时，，在上单调递增，
当时，令，解得或，令，解得，
在，单调递增，在单调递减，
综上，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在，单调递增，在单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，单调递增.在单调递减．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）相邻问题用捆绑法；
（2）先将甲乙捆绑与戊排列，再用插空法排列丙丁，根据分步乘法计数原理计算即可；
（3）分两步，第一步，先将5人分为三组，分两类讨论，第二步再将这三组分配给三个班，根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可．
【详解】（1）因为甲、戊相邻，故把甲、戊捆绑，与其余人全排列，
所以有种不同的排法；
（2）首先将甲乙两人捆绑，与戊一起排，有种排法，
此时，共有3个空，丙、丁两人插空排列，共有种排法，
所以共有种不同的排法．
（3）分步进行分析：
将位同学分成组，
若分成、、的三组，有种分法，
若分成、、的三组，有种分法，
则一共有种分组方法；
将分好的三组对应三个班，有种情况，
则一共有种不同的分配方法．
18．(1)
(2)不正确
(3)分布列见解析，
【分析】（1）设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解；
（2）根据题意，分别求得三人都未进入面试和三人都进入了面试的概率，比较大小，即可求解；
（3）根据题意，分别求得甲、乙、丙被录取的概率，得到随机变量的可能取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【详解】（1）解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试，
则，
则甲乙丙三人中恰有一人笔试合格的概率为.
（2）解：若这三名同学获得180元的总奖金，则说明三人都未进入面试，
所以对应概率为，
若这三名同学获得总奖金为480元，则三人都进入了面试，
所以对应概率为，
因，所以丁同学的说法错误.
（3）解：由题意得，甲被录取的概率为，
乙被录取的概率为，
丙被录取的概率为，
根据题意，随机变量的可能取值为，
则，
,
故的分布列如下所示：
0 1 2 3
所以数学期望.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求导，由可得的取值，根据的取值检验极值点即可得结论；
（2）先结合导函数求出函数的最小值，再进行分类讨论，结合零点存在性定理求解；
（3）构造函数，求导函数，再结合的取值不同分类讨论即可．
【详解】（1）
又得，
当时，，此时是极大值点
当时，，此时是极小值点
；
（2），则，
令得，即在递减；
令得，即在递增，
故最小值为，
①当，即时，恒成立，故无零点，不满足题意；
②当，即时，当时恒成立，故有1个零点，不满足题意；
③当，即时，，且，（或者时，），
由零点的存在性定理可知在上有1个零点，
又，则，
则在上递增，上递减，
则，即，则，当且仅当时取等，
则，（或者时，），
故由零点的存在性定理可知在上有1个零点，即在上有两个零点，
综上：有两个零点，则.
（3），则，
令，则，
①当时，， 的最小值为，的最小值为；
②当时，，则在递减，且时，，
故不能恒成立；
③当时，令可得，即在上递增，
令可得，即在上递减，
故，
则，
故，
令，故，
令，
则，
令可得，即在递减；
令可得，即在递增则，
则的最小值为，当且仅当时取得等号.
综上可知，的最小值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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