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2025-2026学年高一下学期数学人教A版期中复习模拟检测题
一、单选题
1．复数的共轭复数的虚部是（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．已知向量，若，则等于（ ）
A． B．1 C．4 D．
3．在梯形中，，点在对角线上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如图是一个直径为的球形容器和一个底面直径为、深的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（ ）
A．4杯 B．6杯 C．8杯 D．16杯
5．已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．或
6．已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（ ）
A．直角非等腰三角形 B．等边三角形
C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形
7．中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数满足，则（ ）
A．的实部是 B．的虚部是
C． D．在复平面内所对应的点位于第二象限
10．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（ ）
A．圆锥SO的高为8m B．圆锥SO的侧面积为
C．圆锥SO的体积为 D．圆锥SO外接球的表面积为
11．已知的内角的对边分别为，且，在边上，且平分，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的面积为 D．
三、填空题
12．已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____．
13．将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装.如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为______.
14．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一水平面内的两个观测点与，现测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为__________.
四、解答题
15．已知复数，复数在复平面内对应的向量为．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
16．已知向量，.
(1)求；
(2)若，且，求向量与向量的夹角；
(3)若，且，求向量的坐标.
17．如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm．
(1)求四棱台的表面积；
(2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比．
18．在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，，求a；
(3)若为锐角三角形，，求的取值范围.
19．如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.
(1)若，求的模长；
(2)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；
(3)设，若对恒成立，求 的最大值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C D B D C AD ABD
题号 11
答案 BCD
1．C
【分析】根据共轭复数的定义，结合复数虚部的定义进行求解即可.
【详解】因为复数的共轭复数是，
所以复数的虚部为.
故选：C
2．B
【分析】利用两个垂直向量的数量积为零，再结合向量数量积的坐标运算法则计算即可得出答案．
【详解】由，可得，
所以由，解得．
故选：B.
3．A
【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可.
【详解】根据题意，作图如下所示：
由题意得，.
故选：A.
4．C
【分析】应用球的体积公式及圆柱的体积公式计算求解即可.
【详解】球形容器的直径为，则半径为，
所以球形容器的体积，
底面直径为、深的圆柱形水杯的底面半径为，
所以圆柱形水杯的体积，
所以，则球形容器装满时，约可以倒满水杯8杯.
故选：C
5．D
【分析】根据题意，，进而得到，再求夹角即可．
【详解】在上的投影向量的模等于，
又，所以，
因为，
所以或．
故选：D．
6．B
【详解】由题意有：，
所以，由余弦定理得，
所以，又，所以，
又，由，
所以，
所以，所以，可得，
所以是等边三角形.
7．D
【分析】先根据弧长公式求出圆台的上下底面半径，再结合圆台的母线长，利用勾股定理求出圆台的高.
【详解】设小扇形的半径为，则大扇形的半径为，
设圆台的上下底面半径分别为，，则，，
所以，所以，
所以圆台的高为.
故选：D
8．C
【分析】法一：以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接，设，则，，即可求解.
【详解】方法一：如图1，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）．
设，则．因为，所以．
由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上，
所以，所以的取值范围是．
方法二：如图2，连接．易知，
设，则．
由已知可得，所以，
所以
．
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围是.
故选：C．
9．AD
【分析】根据复数除法运算可化简得到，由共轭复数、复数的实部和虚部定义、复数模长运算与几何意义依次判断各个选项即可.
【详解】；
对于A，由实部定义知：的实部为，A正确；
对于B，，的虚部是，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，对应的点为，位于第二象限，D正确.
故选：AD.
10．ABD
【分析】首先求圆锥的高，再代入圆锥的侧面积，体积公式，即可判断ABD，利用圆锥与外接球的几何关系，构造关于的方程，即可求解外接球的表面积，判断D.
【详解】对A，母线的长为10m，底面半径OA长为6m，圆锥SO的高为，A选项正确；
对B，圆锥SO的侧面积，B选项正确；
对C,圆锥的体积,C选项错误，
对D，设圆锥SO的外接球半径为，则，解得，
所以圆锥SO外接球的表面积为，D选项正确.
故选：ABD
11．BCD
【分析】A利用正弦定理化简即可；B在和中利用正弦定理即可；C在中利用余弦定理求得长度即可；D利用即可.
【详解】对于A，由及正弦定理可得，，
则，
所以，又，所以，所以，
解得，又因为，所以，故A错误；
对于B，由选项A可知，，在边上，且平分，
所以，又，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
两式左右两边分别相除可得，化简得，故B正确；
对于C，由选项B可知，设，则，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
则，故C正确；
对于D，由，得，解得，所以，故D正确.
故选：BCD.
12．2
【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可．
【详解】由复数，，
可得为纯虚数，
则，解得．
故答案为：2．
13．/
【分析】作出正四棱台的图形，设，利用该四棱台侧面的面积求得，进而利用勾股定理即可得解.
【详解】设，则，
因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形，
在四边形中，过点作于点，
则，所以，
所以，解得，
在平面中，过点作于点，
易知为正四棱台的高，则，
所以，
则该物件的高为.
故答案为：
14．米
【分析】设，即可得到，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可.
【详解】设，由题意得，
而，
则，，
所以，
在中，，，
由余弦定理得，解得（负值舍去），
所以铁塔的高度为米.
故答案为：米.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用复数的几何意义得，再利用复数的运算，得到，即可求解；
（2）利用复数的运算，结合条件有，即可求解.
【详解】（1）因为复数在复平面内对应的向量为，则，
又，则，
由题有，解得，所以的值为.
（2）因为，
由题有，解得，所以的取值范围为.
16．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用向量的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答.
（2）由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再求出夹角作答.
（3）运用向量平行的坐标结论计算即可.
【详解】（1）因为，，所以.
所以.
（2）因为，所以.即.
所以.即，
所以.
因为，所以.
（3）因为，，所以.
因为，设，
则，.
解得，
故或.
17．(1)（）
(2)
【分析】（1）分别取的中点，连接，过作于，然后根据已知条件求出斜高，再根据表面积公式可求得结果；
（2）由题意可知最大的圆台是上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为棱台的高，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可求出削去部分的体积，从而可求出削去部分与圆台的体积之比．
【详解】（1）在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连接，则
分别取的中点，连接，过作于，
因为在正四棱台中，，，
所以，
在中，，
所以正四棱台的表面积为
（）；
（2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高，
则圆台的上底面半径为，下底面半径为，高，
所以圆台的体积为（），
因为正四棱台的体积为（），
所以削去部分的体积为（），
所以削去部分与圆台的体积之比.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可；
（2）通过三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理求解即可；
（3）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，即，
因为在中，，所以，
又，所以.
（2）因为，，，所以，解得.
由余弦定理得.
（3）因为，，
结合正弦定理，得，所以，.
在中，,
所以.
因为为锐角三角形，所以，所以，
则，所以，
所以.
19．(1)
(2)不正确，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据条件有，再利用模长的计算公式，即可求解；
（2）根据条件，利用向量数量积的运算得到，再利用，即可求解；
（3）由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，进而求得其最值，得到答案.
【详解】（1）因为，则，又，
则.
（2）不正确，理由如下，
因为，则，又，
则，
若，则，则，
所以“”的充要条件是“”，
故“”的充要条件是“”是不正确的.
（3）因为，则，
，
，
，
由，得，
所以，
即对恒成立，
又因为，所以，
解得，
因为，所以满足题意，
所以，
又因为，所以，
所以的最大值为．
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