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山东省东营市2024年中考数学真题
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。
1．﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．x2 x3＝x6 B．（x﹣1）2＝x2﹣1
C．（xy2）2＝x2y4 D．4
3．已知，直线a∥b，把一块含有30°角的直角三角板如图放置，∠1＝30°，三角板的斜边所在直线交b于点A，则∠2＝（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
4．某几何体的俯视图如图所示，下列几何体（箭头所示为正面）的俯视图与其相同的是（　　）
A． B．
C． D．
5．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2023＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　）
A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1
6．如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是（　　）
A．O为矩形ABCD两条对角线的交点 B．EO＝FO
C．AE＝CF D．EF⊥BD
7．如图，四边形ABCD是平行四边形，从①AC＝BD，②AC⊥BD，③AB＝BC，这三个条件中任意选取两个，能使 ABCD是正方形的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA＝20cm，OB＝5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC＝120°，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（　　）cm2．
A．π B．75π C．125π D．150π
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．abc＜0 B．a﹣b＝0
C．3a﹣c＝0 D．am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）
10．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH＝BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：
①；
②tan∠H1；
③BE平分∠CBD；
④2AB2＝DE DH．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分。只要求填写最后结果。
11．从2024年一季度GDP增速看，东营市增速位居山东16市“第一方阵”，一季度全市生产总值达到957.2亿元，同比增长7.1%，957.2亿用科学记数法表示为 　 　．
12．因式分解：2a3﹣8a＝　 　．
13．4月23日是世界读书日，东营市组织开展“书香东营，全民阅读”活动，某学校为了解学生的阅读时间，随机调查了七年级50名学生每天的平均阅读时间，统计结果如下表所示．在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的众数是　 　小时．
时间（小时） 0.5 1 1.5 2 2.5
人数（人） 10 18 12 6 4
14．在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm，当所排物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 　 　cm．
15．如图，将△DEF沿FE方向平移3cm得到△ABC，若△DEF的周长为24cm，则四边形ABFD的周长为 　 　cm．
16．水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米3．设该市去年居民用水价格为x元/米3，则可列分式方程为 　 　．
17．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416，如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正八边形近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为 　 　．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为y＝x，点A1的坐标为（，0 ），以O为圆心，OA1为半径画弧，交直线l于点B2，过点B1作直线l的垂线交x轴于点A2；以O为圆心，OA2为半径画弧，交直线l于点B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3；以O为圆心，OA3为半径画弧，交直线l于点B3，过点B3作直线l的垂线交x轴于点A4；……按照这样的规律进行下去，点A2024的横坐标是 　 　．
三、解答题：本大题共7小题，共62分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
19．
（1）计算：（π﹣3.14）0+|2|﹣2sin60°；
（2）计算：．
20．为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间x分成五档：A档：0≤x＜1；B档：1≤x＜2；C档：2≤x＜3；D档：3≤x＜4；E档：x≥4），调查的A年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如图所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查中，共调查了 ▲ 名学生，补全条形统计图；
（2）调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9，则调查的全部男生劳动时间的中位数为 　 　小时．
（3）学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率．
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是的中点，AE⊥CD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD，∠ABC＝60°，求线段AF的长．
22．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（x≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式mx+n的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标．
23．随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元．
（1）求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？
（2）经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3．
（1）问题发现
如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是 　 　，AD与BE的位置关系是 　 　；
（2）类比探究
将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系，位置关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；
（3）迁移应用
如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，DE的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（3）连接AD，交BC于点F，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：|-3|=3
故答案为：A
【分析】根据绝对值的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；负整数指数幂；积的乘方运算
【解析】【解答】解： A：x2 x3＝x5，错误，不符合题意；
B：（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，错误，不符合题意；
C：（xy2）2＝x2y4，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，负整数指数幂逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】补角
【解析】【解答】解：由题意可得：
CA⊥b
∴∠2=180°-∠1-90°=60°
故答案为：B
【分析】根据补角即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由俯视图可知该几何体共两列，左边一列最底层共三个正方体，右边一列最底层共一个正方体，由此可得只有C符合题意，
故选：C．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则；配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：x2﹣2x﹣2023＝0
∴x2﹣2x＝2023
∴x2﹣2x+1＝2023+1
∴(x-1)2=2024
∴a=1，b=2024
∴ab=12024=1
故答案为：D
【分析】根据配方法化简可得a，b值，再代入代数式，结合有理数的乘方即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC，AD∥BC
∴∠OBF=∠ODE，∠OFB=∠OED
A：∵O为矩形ABCD两条对角线的交点
∴OB=OD
在△BOF和△DOE中
∴△BOF≌△DOE(AAS)，不符合题意；
B：在△BOF和△DOE中
∴△BOF≌△DOE(AAS)，不符合题意；
C：在△BOF和△DOE中
∴△BOF≌△DOE(AAS)，不符合题意；
D：∵EF⊥BD
∴∠BOF=∠DOE=90°
不能判定△BOF≌△DOE(AAS)，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据矩形性质可得AD=BC，AD∥BC，则∠OBF=∠ODE，∠OFB=∠OED，再根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：从三个条件中任意选取两个，共有①②，①③，②③三中等可能的结果
其中①②，①③这两种结果可以判定 ABCD是正方形
∴概率为
故答案为：A
【分析】根据列举法求出所有等可能的结果，再求出可以判定 ABCD是正方形的结果，再根据概率公式即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】扇形的面积
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】根据扇形的面积公式解答即可.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下
∴a<0
∵抛物线与y轴交于正半轴
∴c>0
∵抛物线的与x轴的交点是（-3，0)和（1，0)
∴对称轴为
∴
∴b=2a<0
∴abc>0，故选项 A错误
∵b=2a，
∴2a—b=0，故选项B错误
∵a<0，c>0
∴3a-c<0，故选项 C错误
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，且开口向下
∴当 x=-1时，函数值最大为y=a-b+c
∴当x=m(m为任意数)时，y=am2+bm+c
∴am2+bm+c≤a-b+c
∴am2+bm≤a-b(m为任意实数），故选项D正确
故答案为：D
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；角平分线的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在正方形ABCD中，
AB∥CD，AB=BC=CD=AD=a，∠BAD=90°，∠ABD=∠CBD=∠DAC=∠BAC=45°，AC垂直平分BD
∴
∴
∴
∴，②错误
∵AB∥CD
∴∠H=∠CDF，∠DCF=∠HBF
∴△DCF∽△HBF
∴，①错误
∵BH=BD
∴∠H=∠BDH
∵∠H+∠BDH=∠ABD=45°
∴∠H=∠BDH=22.5°
∵AC垂直平分BD
∴DE=BE
∴∠DBE=∠BDE=22.5°
∴∠CBE=∠CBD-∠DBE=22.5°
∴∠DBE=∠CBE
∴BE平分∠CBD，③正确
∵∠DBE=∠H=22.5°
∴△BDE∽△HDB
∴
∴
∵
∴2AB2＝DE DH，④正确
故答案为：B
【分析】根据正方形性质可得AB∥CD，AB=BC=CD=AD=a，∠BAD=90°，∠ABD=∠CBD=∠DAC=∠BAC=45°，AC垂直平分BD，根据勾股定理可得，则，根据边之间的关系可得AH，再根据正切定义可判断②；根据相似三角形判定定理可得△DCF∽△HBF，则，可判断①；根据等边对等角可得∠H=∠BDH，根据三角形外角性质可得∠H=∠BDH=22.5°，根据垂直平分线性质可得DE=BE，则∠DBE=∠BDE=22.5°，根据边之间的关系可得∠DBE，再根据角平分线判定定理可判断③；根据相似三角形判定定理可判断④.
11．【答案】9.572×1010
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：957.2亿=95720000000用科学记数法表示为9.572×1010
故答案为：9.572×1010
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
12．【答案】2a(a+2)(a-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2a3﹣8a＝2a(a2-4)=2a(a+2)(a-2)
故答案为：2a(a+2)(a-2)
【分析】提公因式，结合平方差公式即可求出答案.
13．【答案】1
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由统计表可知，每天阅读1小时的人数最多，为18人，
所以学生每天的平均阅读时间的众数是1小时．
故答案为：1．
【分析】根据众数的定义即可求出答案.
14．【答案】15
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数
∴设y=kx+b
∵一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm，
∴，解得：
∴y=0.5x+12.5
∴当x=5时，y=0.5×5+12.5=15
故答案为：15
【分析】设y=kx+b，根据待定系数法将x=0，y=12.5，x=2，y=13.5代入解析式可得y=0.5x+12.5，再将x=5代入解析式即可求出答案.
15．【答案】30
【知识点】平移的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；多边形的周长
【解析】【解答】解：∵将△DEF沿FE方向平移3cm得到△ABC
∴AD=BE=3 cm，DE=AB
∵△DEF的周长为24cm
∴DE+EF+DF=24cm，即AB+EF+DF=24cm
∴四边形 ABFD的周长为
AB+BF+DF+AD=AB+BE+EF+DF+AD=
(AB+EF+DF)+BE+AD=24+3+3=30(cm)
故答案为：30
【分析】根据平移性质可得AD=BE=3 cm，DE=AB，再根据三角形周长可得AB+EF+DF=24cm，再根据四边形周长，结合边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设该市去年居民用水价格为x元/米3
由题意可得：
故答案为：
【分析】设该市去年居民用水价格为x元/米3，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米3，结合收费标准建立方程即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正多边形的性质；“割圆术”
【解析】【解答】解：如图，AB是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作AM⊥OB
在正八边形中，∠AOB=360°÷8=45°
∴AM=OM
∵OA=1，AM2+OM2=OA2
解得：
∴
∴正八边形的面积为
∴
解得：
∴π的估计值为
故答案为：
【分析】过点A作AM⊥OB，根据正多边形性质可得∠AOB=45°，则AM=OM，根据勾股定理可得AM，再根据三角形面积可得，求出正八边形的面积，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
18．【答案】21012
【知识点】点的坐标；等腰直角三角形；数轴上两点之间的距离；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵直线1的表达式为y=x
∴直线l平分第一象限，即直线l与x轴正半轴的夹角为45°
∵点A1的坐标为（，0 ）
∴OA1=
由作图过程可知，OB1=OA1=
∵B1A2⊥l
∴△OB1A2是等腰直角三角形
∴
同理可得
......
∴
∴当n=2024时，
∴点A2024的横坐标是21012
故答案为：21012
【分析】由题意可得直线l平分第一象限，即直线l与x轴正半轴的夹角为45°，根据两点间距离可得OA1=，则OB1=OA1=，再根据等腰直角三角形性质可得，同理可得，总结规律，结合乘方即可求出答案.
19．【答案】（1）解：（π﹣3.14）0+|2|﹣2sin60°
＝21+22
＝21+2
＝1．
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据二次根式，0指数幂，绝对值性质，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简即可求出答案.
20．【答案】（1）解：50； ∵E档的学生人数为50×8%＝4（人），
∴E档中女生人数为4﹣2＝2（人）．
补全条形统计图如图所示．
（2）2.5
（3）解：由题意知，E档中有2名男生，2名女生，
列表如下：
　 男 男 女 女
男 　 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） 　 （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） 　 （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） 　
共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种，
∴所选两名学生恰好都是女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】解：（1）本次调查中，共调查了（6+7）÷26%＝50（名）学生．
故答案为：50．
（2）由题意知，调查的男生人数为5+3+7+6+2＝23（人），
将23名男生的劳动时间数据按照从小到大的顺序排列，排在第12名的数据为2.5，
∴调查的全部男生劳动时间的中位数为2.5小时．
故答案为：2.5．
【分析】（1）根据D组人数与占比即可求出答案.
（2）根据中位数的定义即可求出答案.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出其中所选两名学生恰好都是女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：连接OC，
∵点C是的中点，
∴，
∴∠BAC＝∠CAE，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴OC∥AD，
∵AE⊥CD，
∴OC⊥DF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵∠D＝90°，CD，
∴AD3，
∵∠F＝180°﹣∠D﹣∠BAD＝30°，
∴AF＝2AD＝6．
【知识点】平行线的判定与性质；含30°角的直角三角形；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OC，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAC＝∠CAE，根据等边对等角可得∠OCA＝∠OAC，再根据直线平行判定定理可得OC∥AD，则OC⊥DF，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据圆周角定理的推论可得∠ACB＝90°，再根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC＝30°，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
22．【答案】（1）解：∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），
∴k＝1×3＝﹣3×a，
∴k＝3，a＝﹣1，
∴反比例函数解析式为y，
一次函数y＝mx+n图象过A（﹣3，﹣1），B（1，3），
，解得，
一次函数解析式为y＝x+2；
（2）﹣3＜x＜0或x＞1
（3）解：在一次函数y＝x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），D（0，2）
∴S△OBD1，
∴S△OCP＝4S△OBD＝4，
设点P大坐标为（m，），
∴4，
解得m，
∴点P（，﹣4）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数解析式为y，在将点A坐标代入解析式可得A（﹣3，﹣1），再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）当一次函数图象在反比例函数图象上方时，有mx+n，结合函数图象即可求出答案.
（3）根据坐标轴上点的坐标特征可得C（﹣2，0），D（0，2），再根据三角形面积可得S△OBD，则S△OCP＝4S△OBD＝4，设点P大坐标为（m，），再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元，
由题意得：，
解得，
答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元；
（2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人，
由题意得，
解得：，
∵，
∴，
∵是整数，
∴，，；
∴线路的年均载客总量为与的关系式为，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次）
∴（辆）
∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次，
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元，
由题意得：，
解得，
答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元；
（2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人，
由题意得，
解得：，
∵，
∴，
∵是整数，
∴，，；
∴线路的年均载客总量为与的关系式为，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次）
∴（辆）
∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次，
24．【答案】（1）BE＝3AD；AD⊥BE
（2）解：线段AD与BE的数量关系，位置关系与（1）中结论一致，理由如下：
如图2，延长DA交BE于H，
∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，
∴AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD，
∴，
∴△BCE∽△ACD，
∴，∠CDA＝∠CEB，
∴BE＝3AD，
∵∠CEB+∠ENH＝∠CDA+∠CND＝90°，
∴∠EHD＝90°，
∴AD⊥BE；
（3）解：如图3，过点C作CN⊥AB于N，
∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3，
∴AB，
∵CN⊥AB，
∴∠ANC＝90°＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACN∽△ABC，
∴，
∴AN 1，
∴AN，
∵AC＝DC，CN⊥AB，
∴AD＝2AN，
由（2）可知：BE＝3AD．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；旋转全等模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图1，延长DA交BE于H，
∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，
∴AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD＝90°，
∴AD，BE＝3，∠CAD＝∠ADC＝45°，∠CBE＝∠CEB＝45°，
∴BE＝3AD，∠CAD＝∠EAH＝45°，
∴∠EHA＝90°，
∴AD⊥BE，
故答案为：BE＝3AD，AD⊥BE；
【分析】（1）延长DA交BE于H，根据旋转性质可得AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD＝90°，再根据等腰直角三角形性质可得AD，BE＝3，∠CAD＝∠ADC＝45°，∠CBE＝∠CEB＝45°，则BE＝3AD，∠CAD＝∠EAH＝45°，即可求出答案.
（2）延长DA交BE于H，根据旋转性质可得AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD，根据相似三角形判定定理可得△BCE∽△ACD，则，∠CDA＝∠CEB，则BE＝3AD，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）过点C作CN⊥AB于N，根据勾股定理可得AB，根据角之间的关系可得∠ANC＝90°＝∠ACB，再根据相似三角形判定定理可得△ACN∽△ABC，则，代值计算可得AN，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
25．【答案】（1）解：由题意得，
，
∴，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2
（2）解：设直线BC的函数表达式为：y＝mx+n，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∴E（t，t﹣2），
∵D（t，t2﹣t﹣2），
∴l＝（t﹣2）﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t（0＜t＜2）；
（3）解：如图1，
当0＜t＜2时，
作AG∥DE，交BC于G，
∴△DEF∽△AGF，
∴，
把x＝﹣1代入y＝x﹣2得，
y＝﹣3，
∴AG＝3，
∴（t﹣1）2，
∵当x＝1时，最大，
∵，
∴最大，
如图2，
当t＞2时，
此时DE＝t2﹣t﹣2﹣（t﹣2）＝t2﹣2t，
∴，
∵t＞1时，t2﹣2t随着t的增大而增大，
∴没有最大值，
∴没有最大值，
如图3，
当﹣1＜t＜0时，
，
当﹣1＜t＜0时，t2﹣2t随着t的增大而减小，
∴没有最大值，
∴没有最大值u，
如图4，
当t＜﹣1时，
由上可知，
没有最大值，
综上所述：当0＜t＜2时，最大．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）设直线BC的函数表达式为：y＝mx+n，根据待定系数法将点B，C坐标代入直线解析式可得y＝x﹣2，则E（t，t﹣2），再根据两点间距离即可求出答案.
（3）分情况讨论：当0＜t＜2时，作AG∥DE，交BC于G，根据相似三角形判定定理可得△DEF∽△AGF，则，将x=-1代入直线可得AG＝3，再代值计算即可求出答案；当x＝1时，最大，根据相似三角形性质即可求出答案；当t＞2时，根据两点间距离可得DE，再根据边之间的关系，结合二次函数性质即可求出答案；当﹣1＜t＜0时，根据边之间的的关系，结合二次函数性质即可求出答案；当t＜﹣1时，根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1山东省东营市2024年中考数学真题
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。
1．﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：|-3|=3
故答案为：A
【分析】根据绝对值的定义即可求出答案.
2．下列计算正确的是（　　）
A．x2 x3＝x6 B．（x﹣1）2＝x2﹣1
C．（xy2）2＝x2y4 D．4
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；负整数指数幂；积的乘方运算
【解析】【解答】解： A：x2 x3＝x5，错误，不符合题意；
B：（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，错误，不符合题意；
C：（xy2）2＝x2y4，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，负整数指数幂逐项进行判断即可求出答案.
3．已知，直线a∥b，把一块含有30°角的直角三角板如图放置，∠1＝30°，三角板的斜边所在直线交b于点A，则∠2＝（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】B
【知识点】补角
【解析】【解答】解：由题意可得：
CA⊥b
∴∠2=180°-∠1-90°=60°
故答案为：B
【分析】根据补角即可求出答案.
4．某几何体的俯视图如图所示，下列几何体（箭头所示为正面）的俯视图与其相同的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由俯视图可知该几何体共两列，左边一列最底层共三个正方体，右边一列最底层共一个正方体，由此可得只有C符合题意，
故选：C．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
5．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2023＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　）
A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1
【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则；配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：x2﹣2x﹣2023＝0
∴x2﹣2x＝2023
∴x2﹣2x+1＝2023+1
∴(x-1)2=2024
∴a=1，b=2024
∴ab=12024=1
故答案为：D
【分析】根据配方法化简可得a，b值，再代入代数式，结合有理数的乘方即可求出答案.
6．如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是（　　）
A．O为矩形ABCD两条对角线的交点 B．EO＝FO
C．AE＝CF D．EF⊥BD
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC，AD∥BC
∴∠OBF=∠ODE，∠OFB=∠OED
A：∵O为矩形ABCD两条对角线的交点
∴OB=OD
在△BOF和△DOE中
∴△BOF≌△DOE(AAS)，不符合题意；
B：在△BOF和△DOE中
∴△BOF≌△DOE(AAS)，不符合题意；
C：在△BOF和△DOE中
∴△BOF≌△DOE(AAS)，不符合题意；
D：∵EF⊥BD
∴∠BOF=∠DOE=90°
不能判定△BOF≌△DOE(AAS)，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据矩形性质可得AD=BC，AD∥BC，则∠OBF=∠ODE，∠OFB=∠OED，再根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．如图，四边形ABCD是平行四边形，从①AC＝BD，②AC⊥BD，③AB＝BC，这三个条件中任意选取两个，能使 ABCD是正方形的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：从三个条件中任意选取两个，共有①②，①③，②③三中等可能的结果
其中①②，①③这两种结果可以判定 ABCD是正方形
∴概率为
故答案为：A
【分析】根据列举法求出所有等可能的结果，再求出可以判定 ABCD是正方形的结果，再根据概率公式即可求出答案.
8．习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA＝20cm，OB＝5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC＝120°，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（　　）cm2．
A．π B．75π C．125π D．150π
【答案】C
【知识点】扇形的面积
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】根据扇形的面积公式解答即可.
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．abc＜0 B．a﹣b＝0
C．3a﹣c＝0 D．am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下
∴a<0
∵抛物线与y轴交于正半轴
∴c>0
∵抛物线的与x轴的交点是（-3，0)和（1，0)
∴对称轴为
∴
∴b=2a<0
∴abc>0，故选项 A错误
∵b=2a，
∴2a—b=0，故选项B错误
∵a<0，c>0
∴3a-c<0，故选项 C错误
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，且开口向下
∴当 x=-1时，函数值最大为y=a-b+c
∴当x=m(m为任意数)时，y=am2+bm+c
∴am2+bm+c≤a-b+c
∴am2+bm≤a-b(m为任意实数），故选项D正确
故答案为：D
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
10．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH＝BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：
①；
②tan∠H1；
③BE平分∠CBD；
④2AB2＝DE DH．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；角平分线的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在正方形ABCD中，
AB∥CD，AB=BC=CD=AD=a，∠BAD=90°，∠ABD=∠CBD=∠DAC=∠BAC=45°，AC垂直平分BD
∴
∴
∴
∴，②错误
∵AB∥CD
∴∠H=∠CDF，∠DCF=∠HBF
∴△DCF∽△HBF
∴，①错误
∵BH=BD
∴∠H=∠BDH
∵∠H+∠BDH=∠ABD=45°
∴∠H=∠BDH=22.5°
∵AC垂直平分BD
∴DE=BE
∴∠DBE=∠BDE=22.5°
∴∠CBE=∠CBD-∠DBE=22.5°
∴∠DBE=∠CBE
∴BE平分∠CBD，③正确
∵∠DBE=∠H=22.5°
∴△BDE∽△HDB
∴
∴
∵
∴2AB2＝DE DH，④正确
故答案为：B
【分析】根据正方形性质可得AB∥CD，AB=BC=CD=AD=a，∠BAD=90°，∠ABD=∠CBD=∠DAC=∠BAC=45°，AC垂直平分BD，根据勾股定理可得，则，根据边之间的关系可得AH，再根据正切定义可判断②；根据相似三角形判定定理可得△DCF∽△HBF，则，可判断①；根据等边对等角可得∠H=∠BDH，根据三角形外角性质可得∠H=∠BDH=22.5°，根据垂直平分线性质可得DE=BE，则∠DBE=∠BDE=22.5°，根据边之间的关系可得∠DBE，再根据角平分线判定定理可判断③；根据相似三角形判定定理可判断④.
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分。只要求填写最后结果。
11．从2024年一季度GDP增速看，东营市增速位居山东16市“第一方阵”，一季度全市生产总值达到957.2亿元，同比增长7.1%，957.2亿用科学记数法表示为 　 　．
【答案】9.572×1010
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：957.2亿=95720000000用科学记数法表示为9.572×1010
故答案为：9.572×1010
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
12．因式分解：2a3﹣8a＝　 　．
【答案】2a(a+2)(a-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2a3﹣8a＝2a(a2-4)=2a(a+2)(a-2)
故答案为：2a(a+2)(a-2)
【分析】提公因式，结合平方差公式即可求出答案.
13．4月23日是世界读书日，东营市组织开展“书香东营，全民阅读”活动，某学校为了解学生的阅读时间，随机调查了七年级50名学生每天的平均阅读时间，统计结果如下表所示．在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的众数是　 　小时．
时间（小时） 0.5 1 1.5 2 2.5
人数（人） 10 18 12 6 4
【答案】1
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由统计表可知，每天阅读1小时的人数最多，为18人，
所以学生每天的平均阅读时间的众数是1小时．
故答案为：1．
【分析】根据众数的定义即可求出答案.
14．在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm，当所排物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 　 　cm．
【答案】15
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数
∴设y=kx+b
∵一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm，
∴，解得：
∴y=0.5x+12.5
∴当x=5时，y=0.5×5+12.5=15
故答案为：15
【分析】设y=kx+b，根据待定系数法将x=0，y=12.5，x=2，y=13.5代入解析式可得y=0.5x+12.5，再将x=5代入解析式即可求出答案.
15．如图，将△DEF沿FE方向平移3cm得到△ABC，若△DEF的周长为24cm，则四边形ABFD的周长为 　 　cm．
【答案】30
【知识点】平移的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；多边形的周长
【解析】【解答】解：∵将△DEF沿FE方向平移3cm得到△ABC
∴AD=BE=3 cm，DE=AB
∵△DEF的周长为24cm
∴DE+EF+DF=24cm，即AB+EF+DF=24cm
∴四边形 ABFD的周长为
AB+BF+DF+AD=AB+BE+EF+DF+AD=
(AB+EF+DF)+BE+AD=24+3+3=30(cm)
故答案为：30
【分析】根据平移性质可得AD=BE=3 cm，DE=AB，再根据三角形周长可得AB+EF+DF=24cm，再根据四边形周长，结合边之间的关系即可求出答案.
16．水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米3．设该市去年居民用水价格为x元/米3，则可列分式方程为 　 　．
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设该市去年居民用水价格为x元/米3
由题意可得：
故答案为：
【分析】设该市去年居民用水价格为x元/米3，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米3，结合收费标准建立方程即可求出答案.
17．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416，如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正八边形近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为 　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正多边形的性质；“割圆术”
【解析】【解答】解：如图，AB是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作AM⊥OB
在正八边形中，∠AOB=360°÷8=45°
∴AM=OM
∵OA=1，AM2+OM2=OA2
解得：
∴
∴正八边形的面积为
∴
解得：
∴π的估计值为
故答案为：
【分析】过点A作AM⊥OB，根据正多边形性质可得∠AOB=45°，则AM=OM，根据勾股定理可得AM，再根据三角形面积可得，求出正八边形的面积，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
18．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为y＝x，点A1的坐标为（，0 ），以O为圆心，OA1为半径画弧，交直线l于点B2，过点B1作直线l的垂线交x轴于点A2；以O为圆心，OA2为半径画弧，交直线l于点B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3；以O为圆心，OA3为半径画弧，交直线l于点B3，过点B3作直线l的垂线交x轴于点A4；……按照这样的规律进行下去，点A2024的横坐标是 　 　．
【答案】21012
【知识点】点的坐标；等腰直角三角形；数轴上两点之间的距离；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵直线1的表达式为y=x
∴直线l平分第一象限，即直线l与x轴正半轴的夹角为45°
∵点A1的坐标为（，0 ）
∴OA1=
由作图过程可知，OB1=OA1=
∵B1A2⊥l
∴△OB1A2是等腰直角三角形
∴
同理可得
......
∴
∴当n=2024时，
∴点A2024的横坐标是21012
故答案为：21012
【分析】由题意可得直线l平分第一象限，即直线l与x轴正半轴的夹角为45°，根据两点间距离可得OA1=，则OB1=OA1=，再根据等腰直角三角形性质可得，同理可得，总结规律，结合乘方即可求出答案.
三、解答题：本大题共7小题，共62分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
19．
（1）计算：（π﹣3.14）0+|2|﹣2sin60°；
（2）计算：．
【答案】（1）解：（π﹣3.14）0+|2|﹣2sin60°
＝21+22
＝21+2
＝1．
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据二次根式，0指数幂，绝对值性质，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简即可求出答案.
20．为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间x分成五档：A档：0≤x＜1；B档：1≤x＜2；C档：2≤x＜3；D档：3≤x＜4；E档：x≥4），调查的A年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如图所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查中，共调查了 ▲ 名学生，补全条形统计图；
（2）调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9，则调查的全部男生劳动时间的中位数为 　 　小时．
（3）学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率．
【答案】（1）解：50； ∵E档的学生人数为50×8%＝4（人），
∴E档中女生人数为4﹣2＝2（人）．
补全条形统计图如图所示．
（2）2.5
（3）解：由题意知，E档中有2名男生，2名女生，
列表如下：
　 男 男 女 女
男 　 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） 　 （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） 　 （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） 　
共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种，
∴所选两名学生恰好都是女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】解：（1）本次调查中，共调查了（6+7）÷26%＝50（名）学生．
故答案为：50．
（2）由题意知，调查的男生人数为5+3+7+6+2＝23（人），
将23名男生的劳动时间数据按照从小到大的顺序排列，排在第12名的数据为2.5，
∴调查的全部男生劳动时间的中位数为2.5小时．
故答案为：2.5．
【分析】（1）根据D组人数与占比即可求出答案.
（2）根据中位数的定义即可求出答案.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出其中所选两名学生恰好都是女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是的中点，AE⊥CD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD，∠ABC＝60°，求线段AF的长．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵点C是的中点，
∴，
∴∠BAC＝∠CAE，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴OC∥AD，
∵AE⊥CD，
∴OC⊥DF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵∠D＝90°，CD，
∴AD3，
∵∠F＝180°﹣∠D﹣∠BAD＝30°，
∴AF＝2AD＝6．
【知识点】平行线的判定与性质；含30°角的直角三角形；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OC，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAC＝∠CAE，根据等边对等角可得∠OCA＝∠OAC，再根据直线平行判定定理可得OC∥AD，则OC⊥DF，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据圆周角定理的推论可得∠ACB＝90°，再根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC＝30°，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
22．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（x≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式mx+n的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），
∴k＝1×3＝﹣3×a，
∴k＝3，a＝﹣1，
∴反比例函数解析式为y，
一次函数y＝mx+n图象过A（﹣3，﹣1），B（1，3），
，解得，
一次函数解析式为y＝x+2；
（2）﹣3＜x＜0或x＞1
（3）解：在一次函数y＝x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），D（0，2）
∴S△OBD1，
∴S△OCP＝4S△OBD＝4，
设点P大坐标为（m，），
∴4，
解得m，
∴点P（，﹣4）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数解析式为y，在将点A坐标代入解析式可得A（﹣3，﹣1），再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）当一次函数图象在反比例函数图象上方时，有mx+n，结合函数图象即可求出答案.
（3）根据坐标轴上点的坐标特征可得C（﹣2，0），D（0，2），再根据三角形面积可得S△OBD，则S△OCP＝4S△OBD＝4，设点P大坐标为（m，），再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
23．随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元．
（1）求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？
（2）经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
【答案】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元，
由题意得：，
解得，
答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元；
（2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人，
由题意得，
解得：，
∵，
∴，
∵是整数，
∴，，；
∴线路的年均载客总量为与的关系式为，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次）
∴（辆）
∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次，
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元，
由题意得：，
解得，
答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元；
（2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人，
由题意得，
解得：，
∵，
∴，
∵是整数，
∴，，；
∴线路的年均载客总量为与的关系式为，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次）
∴（辆）
∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次，
24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3．
（1）问题发现
如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是 　 　，AD与BE的位置关系是 　 　；
（2）类比探究
将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系，位置关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；
（3）迁移应用
如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．
【答案】（1）BE＝3AD；AD⊥BE
（2）解：线段AD与BE的数量关系，位置关系与（1）中结论一致，理由如下：
如图2，延长DA交BE于H，
∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，
∴AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD，
∴，
∴△BCE∽△ACD，
∴，∠CDA＝∠CEB，
∴BE＝3AD，
∵∠CEB+∠ENH＝∠CDA+∠CND＝90°，
∴∠EHD＝90°，
∴AD⊥BE；
（3）解：如图3，过点C作CN⊥AB于N，
∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3，
∴AB，
∵CN⊥AB，
∴∠ANC＝90°＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACN∽△ABC，
∴，
∴AN 1，
∴AN，
∵AC＝DC，CN⊥AB，
∴AD＝2AN，
由（2）可知：BE＝3AD．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；旋转全等模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图1，延长DA交BE于H，
∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，
∴AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD＝90°，
∴AD，BE＝3，∠CAD＝∠ADC＝45°，∠CBE＝∠CEB＝45°，
∴BE＝3AD，∠CAD＝∠EAH＝45°，
∴∠EHA＝90°，
∴AD⊥BE，
故答案为：BE＝3AD，AD⊥BE；
【分析】（1）延长DA交BE于H，根据旋转性质可得AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD＝90°，再根据等腰直角三角形性质可得AD，BE＝3，∠CAD＝∠ADC＝45°，∠CBE＝∠CEB＝45°，则BE＝3AD，∠CAD＝∠EAH＝45°，即可求出答案.
（2）延长DA交BE于H，根据旋转性质可得AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD，根据相似三角形判定定理可得△BCE∽△ACD，则，∠CDA＝∠CEB，则BE＝3AD，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）过点C作CN⊥AB于N，根据勾股定理可得AB，根据角之间的关系可得∠ANC＝90°＝∠ACB，再根据相似三角形判定定理可得△ACN∽△ABC，则，代值计算可得AN，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，DE的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（3）连接AD，交BC于点F，求的最大值．
【答案】（1）解：由题意得，
，
∴，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2
（2）解：设直线BC的函数表达式为：y＝mx+n，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∴E（t，t﹣2），
∵D（t，t2﹣t﹣2），
∴l＝（t﹣2）﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t（0＜t＜2）；
（3）解：如图1，
当0＜t＜2时，
作AG∥DE，交BC于G，
∴△DEF∽△AGF，
∴，
把x＝﹣1代入y＝x﹣2得，
y＝﹣3，
∴AG＝3，
∴（t﹣1）2，
∵当x＝1时，最大，
∵，
∴最大，
如图2，
当t＞2时，
此时DE＝t2﹣t﹣2﹣（t﹣2）＝t2﹣2t，
∴，
∵t＞1时，t2﹣2t随着t的增大而增大，
∴没有最大值，
∴没有最大值，
如图3，
当﹣1＜t＜0时，
，
当﹣1＜t＜0时，t2﹣2t随着t的增大而减小，
∴没有最大值，
∴没有最大值u，
如图4，
当t＜﹣1时，
由上可知，
没有最大值，
综上所述：当0＜t＜2时，最大．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）设直线BC的函数表达式为：y＝mx+n，根据待定系数法将点B，C坐标代入直线解析式可得y＝x﹣2，则E（t，t﹣2），再根据两点间距离即可求出答案.
（3）分情况讨论：当0＜t＜2时，作AG∥DE，交BC于G，根据相似三角形判定定理可得△DEF∽△AGF，则，将x=-1代入直线可得AG＝3，再代值计算即可求出答案；当x＝1时，最大，根据相似三角形性质即可求出答案；当t＞2时，根据两点间距离可得DE，再根据边之间的关系，结合二次函数性质即可求出答案；当﹣1＜t＜0时，根据边之间的的关系，结合二次函数性质即可求出答案；当t＜﹣1时，根据边之间的关系即可求出答案.
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