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参考答案
1.【答案】D
【解析】解： 角 的终边经过点 ，
， ， ．
，故选 D．
2.【答案】D
【解析】由题意可得 ， ，
对于 ， ，所以 与 不垂直；
对于 ， ，所以 与 不垂直；
对于 ， ，所以 与 不垂直；
对于 ， ，所以 与 垂直．故选： ．
3.【答案】D
4.【答案】B
【解析】 显然 ， ，但 包括向量 ， 同向共线和反向共线两种情况，即当
时， ， 或 ，因此 ， 故“ ”是“ ， ”的必要不充分条件
故选 B．
5.【答案】B
【解析】解：因为在四边形 中， ， ，， ，
所以四边形 的对角线互相垂直，
又 ， ，
该四边形 的面积为 ．
6. 【答案】B
【解析】设这个球的半径为 ，则 ，得 ，所以这个球的体积 故选 B．
7.【答案】A
【解析】解：如图所示，
由题意作 ，可得 ， ， ，则 ， ，
在 中， ，
在 中， ， ，
由正弦定理 ，
解得 ；
又
，
又 ，且 、 ，
所以 ，
所以 ．故选： ．
8.【答案】D
【解析】因为在 中， ，所以由 ，得： ，于是由
正弦定理得： ，因为 ， ，所以 ，又 ，所以
， ．
于是由 ，得：由 ，
再由正弦定理、余弦定理得： ，
化简得： ．
于是由正弦定理可得： ，
所以
，
其中锐角 满足： ， ，
所以当 ， ，即 ， 时， 取得的最大值为 ．
故选 D．
9.【答案】BC
【解析】由题意得 ．
对于 ， 的虚部为 ，故 A错误；
对于 ， 在复平面内对应的点为 ，其位于第四象限，故 B正确；
对于 ，由 ，得 ，
所以 ，故 C正确；
对于 ， ，故 D错误．
故选 BC．
10.【答案】BC
【解析】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，故 A错误
易得 与 为一组不共线的非零向量，根据基底向量的定义可得 B正确
因为 ， ，
所以 ， ，故 C正确
因为 ， ，所以 在 方向上的投影向量的坐标为 ，
，故 D错误，
故选 BC．
11.【答案】AD
【解析】解：在 中， ，
则圆锥的母线长 ，半径 ．
对于 圆锥 的侧面积为： ，故 A正确
对于 ，当 时， 的面积最大，此时 ，
则三棱锥 体积的最大值为： ，故 B错误
对于 ，当点 与点 重合时， 为最小角，
当点 与点 重合时 ，达到最大值，
又因为 与 ， 不重合，则 ，
又 ，可得 ，故 C错误
对于 ，由 ， ， ，得 ，
又 ，则 为等边三角形，则 ，
将 以 为轴旋转到与 共面，得到 ，
则 为等边三角形， ，
如图可知 ，
因为 ， ，
，
则 ，故 D正确．
故选： ．
12【答案】
【解析】设点 的坐标为 ，则 ， ， ，由
得 ，即 ，
所以 ，且 ，得 ，且 ，所以点 的坐标为 ．
13【答案】
【解析】解：由图可知 ，因为 ，所以 ，解得 ，
因为函数 的图象过点 ，
所以 ，得
即 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为： ．
14.【答案】
解：因为四边形 内接于圆，
所以 ，所以
因为
所以 ，即
又 ，所以
在 中，由余弦定理可得
所以 ，
记四边形 的外接圆半径为 ，则 ，所以 ．
由上可知， ，在 中，记
则由余弦定理得 ，即
又由托勒密定理知， ，
即 ，得
又
所以 ，
得
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
15.解： 因为 ， ，……
所以 ……1分.
．……3分.
从而 ……4分.
．……6分
因为 ， ，
所以 ……7分
．……9分
从而 ……10分
．……12分
所以 的值为 ……13分
16解： 向量 与 的夹角为 ，且 ， ，
，
，……12分
；
设向量 与向量 的夹角 ，
，
， ， 向量 与向量 的夹角为 ．
17.解： 因为 ， ，
所以 ，
而 ，
所以 ， ，故 ．
，
，
为菱形， ， ，
，
即 ．
18.解： 由 及正弦定理得 ，
即 ，
即 ，
所以 ，因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
由 及余弦定理得 ，又 ，所以 ，
由 得 ，
所以 ，所以 ，解得 ．
19【答案】解： 因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
因为 ， ，
所以 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 的内角均小于 ，
所以点 在 的内部，且 ，
由 ，得 ，
设 ， ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以
所以 的取值范围为 ；
因为 ，
即 ，
所以 ，
在 ， ， 中，
分别由余弦定理得： ，
， ，
三式相加整理得 ，
，
将 ，代入得： ，
因为 平分 ，所以 ， ，
所以 ，
又由余弦定理可得： ，
由 得： ，
所以 ，
即 ，
所以存在常数 ，使得 ．惠州中学 2025-2026学年高一年级第二学期 4月考试卷
数学
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角 的终边经过点 ，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知单位向量 ， 的夹角为 ，则在下列向量中，与 垂直的是( )
A. B. C. D.
3.在用斜二测画法画水平放置的 时，若 的两边分别平行于 轴、 轴，则在直观图中 等于( )
A. B. C. D. 或
4.对于空间任意两个非零向量 ， ，“ ”是“ ， ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5.已知四边形 中， ， ，则四边形 的面积为( )
A. B. C. D.
6.一个球的表面积是 ，那么这个球的体积为( )
A. B. C. D.
7.如图，为测量某公园内湖岸边 ， 两处的距离，一无人机在空中 点处测得
， 的俯角分别为 ， ，此时无人机的高度为 ，则 的距离为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知 中角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 ，且
则 的最大值为( )
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A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数 满足 其中 是虚数单位 ，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第四象限
C. D.
10.已知平面向量 ， ，则( )
A.
B. 与 可作为一组基底向量
C. 与 夹角的余弦值为
D. 在 方向上的投影向量的坐标为
11.如图， 为圆锥 的底面圆 的直径，点 是圆 上异于 ， 的动点， ，则下列结论正确的
是( )
A.圆锥 的侧面积为
B.三棱锥 体积的最大值为
C. 的取值范围是
D.若 ， 为线段 上的动点，则 的最小值为
三、填空题：本题共 3小题，共 15分。
12.若 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，且点 满足 ，
则点 的坐标为 ．
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13.已知函数 的部分图象如图所示，则 __________．
14.古希腊数学家托勒密于公元 年在他的名著 数学汇编 里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形
的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积已知 ， 为圆的内接四边形 的两条对角线，已知
，若 ，则圆的半径为 ；若 ，则实
数 的最小值为 ．
三、解答题：本题共 5小题，共 73分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
已知 ，
求 的值
若 ， ，求 的值．
16. 本小题 分
已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ．
求 ；
求向量 与向量 的夹角．
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17. 本小题 分
如图，在菱形 中， ， ．
若 ，求 的值；
若 ， ，求 ．
18. 本小题 分
在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 ， ．
求角
若 ，求边 上的角平分线 长
19. 本小题 分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其
与此三角形的三个顶点的距离之和最小 ”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均小于
时，使得 的点 即为费马点；当 有一个内角大于或等于 时，
最大内角的顶点为费马点在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．
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若 ，且 的面积为 ，设点 为 的费马点，求 的取
值范围；
若 内一点 满足 ，且 平分 ，试问是否存在常实数 ，使得
，若存在，求出常数 ；若不存在，请说明理由．
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