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哈师大青冈实验中学 2025-2026 年 4 月份考试
高一数学试卷
满分：150 分 时间：120 分钟
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.）
1．已知复数 ，则 的虚部是（ ）
A．1 B． C．5 D．
2．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
3．如图，在矩形 中， 为 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
4．如图，在河岸 上测量河对面 ， 两点间的距离，测得 ， ， ，
， ，则 （ ）
A． B． C．4 D．
5．已知 是同一平面内两个不共线的向量， ，若 三点共线，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．2
6．如图，在 中， ，P是 BN上的一点，若 ，则实数 m的值为（ ）
1
A． B． C． D．
7．已知正方形 的边长为 1， 为线段 的中点， 为 边上的动点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．在 中，角 的对边分别为 ，且 ，则下列选项中错误的是（ ）
A． B．当 时，
C．当 时， 面积的最大值为 1 D．当 为锐角三角形时， 的取值范围是
二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.）
9．已知复数 ， ，则（ ）
A． 是纯虚数 B． 在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．
10．下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 或 .
B．若 ，则 与 共线.
C．若 ， ， 与 的夹角为锐角，则实数 .
D．三个不共线的向量 ，满足 ，则 是
的内心
11．已知 a，b，c分别为 内角 A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．若 ，则 一定为等腰三角形
B．在锐角 中，不等式 恒成立
C．若 ，且 有两解，则 的取值范围是
D．若 的平分线交 AC于点 ，则
2
三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12．已知平面上两点 ，若 ，则 的坐标为________．
13．在 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，其面积 ，则 的最大
值为________．
14．已知平面向量 ， ，且 ， ，向量 满足 ，则 取最小值
时， _________.
四、解答题（本题共 5小题，共 77分.）
15．（13分）已知向量 ， ，
（1）若向量 与 共线，求 m的值；
（2）若 ，求 m的值．
16．（15分）已知 的内角 的对边分别为 ，满足 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的周长.
17．（15分）已知向量 与 的夹角 ，且 ， ．
（1）求 ， ；
（2）求 与 的夹角的余弦值．
（3）若 ，求 在 上的投影向量的坐标．
3
18．（17分）如图，游客从某旅游景区的景点 处上山至景点 处有两种路径.一种是从 沿直线步行到 ，另一
种是先从 沿索道乘缆车到 ，然后从 沿直线步行到 ，现有甲、乙两位游客从 处出发，甲沿 匀速步行，
速度为 .在甲出发 后，乙从 乘缆车到 ，在 处停留 后，再匀速步行到 ，假设缆车匀速直
线运动的速度为 ，山路 长为 ，经测量得 ， .
（参考数据： ， ，第（3）问结果精确到 0.1）
（1）求索道 的长；
（2）当乙在缆车上与甲的距离最短时，乙出发了多少 ？
（3）为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 ，问乙步行的速度应控制在什么范围内？
19．（17分）在平面四边形 中， ， .
(1)若 .
（i）若 A，B，C，D四点共圆 M，求 ；
（ii）求四边形 面积 S的最大值.
(2)若 ， ， 与 交于点 .记 ，求当 为何值时， .
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哈师大青冈实验中学 2025-2026 年 4 月份考试
高一数学答案
1——8 AADA BDCC
9、AC 10、BD 11、BCD
12、 13、 14、
15．（13分）【答案】（1） ；（2）4.
【详解】解：（1）∵ ， ，向量 与 共线，
∴． ∴ ；
（2）∵ ， ，∴ ∵ ，∴
∵ ，∴ ，解得 .
16．（15分）【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）由 及正弦边角关系得 ，
而 ，整理得 ，因为 ，所以 ；
（2）由余弦定理 ，得 ，进而得 ，得 ，
所以 的周长为 .
17．（15分）【答案】（1） ， ；（2） ；（3） ．
【详解】（1）由已知，得 ，
；
（2）设 与 的夹角为 ，
则 ，
因此， 与 的夹角的余弦值为
（3）因为 ，
5
所以 在 上的投影向量为
18．（17分）【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）在 中，由 ， ，
可得 ， ，
所以 ，
由正弦定理 得
；
（2）设乙出发 ，甲、乙的距离为 ，由余弦定理得， ，
即 ，因为 ，
即 ，故当 时， 最小，
所以当乙出发了 时，乙在缆车上与甲的距离最短；
（3）由正弦定理 得 ，
乙从 出发时，甲已经走了 ，还需走 才能到达 ，
设乙步行的速度为 ，则 ，
故 ，解得 ，
即 ，
为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 ，
乙步行的速度应控制在 范围内.
19．（17分）【答案】(1)（i） ；（ii） (2)
【详解】（1）设 ， ，其中 ，
在 中，由余弦定理可得 ；
在 中，由余弦定理可得 ；
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即 ，可得 .
（i）若 A，B，C，D四点共圆 M，则 ，
可得 ， ，
由 可得 ，即 ，
则 ，即 ；
（ii）因为四边形 面积 ，
即 ，且 ，
又因为 ，
当且仅当 时，等号成立
即 ，解得 ，
所以四边形 面积 S的最大值为 .
（2）在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
则 ，即 ，
因为 ，可知 A，B，C，D四点共圆，且圆的半径 ，
则 ，
且 ，可知 ，
若 ，则 ，
即 ，可得 ，
又因为 ，则 ，可得 ，解得 ，
所以当 时， .
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