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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A D D D A B BC ABD
题号 11
答案 AD
12．18或 22
13 2 2a． a /
4 4
14． ln4
15．【详解】（1）取 PC的中点为 F，连接MF，
1
因为M 、 F分别为 PB、 PC的中点，所以FM //BC， FM BC，
2
又因为四边形 ABCD为矩形， AD//BC， AD BC，且 E为 AD的中点，
DE 1所以DE //BC， BC，所以DE //FM ，DE FM，
2
所以四边形DEMF 是平行四边形，所以DF //EM ，
又因为DF 平面 PCD， EM 平面 PCD，所以直线 EM //平面 PCD．
（2）因为 AD 平面 PAB， PA、PB 平面 PAB，则 AD PA， AD PB，
以 A为原点，平面 PAB内过点 A且垂直于 AB的直线为 x轴， AB、 AD所在直线分别为 y、
z轴，建立空间直角坐标系 A xyz，如图所示，
因为 AP AD 2，则 AB 2AD 2 2，
因为PA PB，故 PAB为等腰直角三角形，且 PAB 45 ．
所以 P 2, 2,0 、 E 0,0,1 ，所以 PE 2, 2,1 ．

易知平面 ABCD的一个法向量为 n 1,0,0 ，

PE n
则设直线 PE与平面 ABCD所成的角为 ，则 sin cos PE,n
2 10
，
PE n 5 1 5
所以直线 PE与平面 ABCD 10所成的角的正弦值为 ．
5
16 3．【详解】（1）将 3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有 A3 6种排法．再将剩下 4个节
4
目全排列，有 A4 24种排法．最后，将舞蹈节目整体放入剩下 4个节目排布时产生的不含
两端的 3 3 4个空中，有 3种排法，故共有3A3 A4 432种排法；
（2 3 2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有 2A3 A2 24种排法．再将小品分放入排布舞蹈，
2 3 2 2
歌曲时产生的三个空中，有 A3 种排法．则共有 2A3 A2 A3 144种排法．
（3）将新增两个节目放入 7个节目排布产生的 8个空中．若两个节目放入同一个空，有
8A22 16
2
种排法，若两个节目不放入同一个空，有 A8 56种排法，故共有16 56 72种排
法．
1 a x a
17．【详解】（1）由已知，有 f x 2 x x x2 .
1
当 a 0 时， f ln2 a 0，与条件 f x 0矛盾；
2
当 a 0时，若 x 0,a ，则 f x 0， f x 单调递减；
若 x a, ，则 f x 0， f x 单调递增.
∴ f x 在 0, 上有最小值 f a lna a 1 1 lna 1 a
a
由题意 f x 0，∴ lna 1 a 0 .
令g x lnx x 1 g x 1 1 1 x.∴ .
x x
当 x 0,1 时，g x 0，g x 单调递增；
当 x 1, 时，g x 0，g x 单调递减.
∴g x 在 0, 上有最大值g 1 0 .∴g x lnx x 1 0 .
∴ lna a 1 0 .
∴ lna a 1 0，∴ a 1，
综上，当 f x 0时，实数 a取值的集合为 1 .
（2）由（1），可知当 a 1时， f x 0，即 lnx 1 1 在 x 0,+ 恒成立.
x
x 1
要证 e 2 lnx x2 e 2 x，
x
x 0 ex 2只需证当 时， x e 2 x 1 0 .
令 h x ex x2 e 2 x 1 x 0 .则 h x ex 2x e 2 .
令 u x ex 2x e 2 .则 u x ex 2 .
由 u x 0，得 x ln2 .
当 x 0, ln2 时， u x 0， u x 单调递减；
当 x ln2, 时， u x 0， u x 单调递增.
即 h x 在 0, ln2 上单调递减，在 ln2, 上单调递增.
而 h 0 1 e 2 3 e 0， h ln2 h 1 0，
∴ x0 0, ln2 ，使得 h x0 0 .
当 x 0, x0 时， h x 0， h x 单调递增；当 x x0 ,1 时， h x 0， h x 单调递减；
当 x 1, 时， h x 0， h x 单调递增.
又 h 0 1 1 0， h 1 e 1 e 2 1 0，
∴对 x 0， h x 0 x 2恒成立，即 e x e 2 x 1 0 .
x 1
综上所述， e 2 lnx x2 e 2 x成立.
x
18．【详解】（1）因为CD 平面 PAD，PA 平面 PAD，所以CD PA．
又 PA AD， AD 平面 ABCD，CD 平面 ABCD， AD CD D，
所以 PA 平面 ABCD．
（2）以 A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角
坐标系，如图．
（ⅰ）D(0,6,0)， P(0,0,6)， E(3,0,3)，

AE (3,0,3)， PD (0,6, 6)， AP (0,0,6)，设 PF PD 0,6 , 6 (0 1)，

则 AF AP PF 0,0,6 0,6 , 6 (0,6 ,6 6 )．

n AE 0 3x 3z 0
设平面 AEF的法向量为 n (x, y, z)，则 即 ，
n AF 0 6 y 6(1 )z 0
取 z ，得 x λ， y 1，
n 所以 ( , 1, )是平面 AEF的一个法向量，

因为 AP 平面 ABCD，所以 AP (0,0,6)是平面 ABCD的一个法向量．
因为平面 AEF 3与平面 ABCD的夹角的余弦值为 ，
3

所以 | cos n, AP
| | 3
| 1 1
3 ，得 ，所以 PF PD 3 2．2 2 ( 1)2 2 2

（ⅱ）设 PG PC，则 AG AP PC (0,0,6) (6,6, 6) (6 ,6 ,6 6 )．
n 1 , 1 1 , 因为 为平面 AEGF的一个法向量，所以 ，
2 2 2
n AG

1
所以 AG n 3 3 3 3 9 3 0，即1 3 0，得 ，
3

所以 AG (2, 2, 4)，G(2, 2, 4)．

F (0,3,3)， AB 6,0,0 ， BC (0,6,0)， BP ( 6,0,6)， AD (0,6,0)， EG ( 1,2,1)，

因为 M在平面 PBC上，所以 BM sBC tBP，

所以 AM AB sBC tBP (6,0,0) s(0,6,0) t( 6,0,6) (6 6t,6s,6t)．

m AD 0 6y1 0
设平面 MAD的法向量m x1, y1, z1 ，则 即
m AM 0 (6 6t)x1 6sy1 6tz1 0
，
取 x1 t y

得 1 0， z1 t 1所以m (t,0, t 1)是平面 MAD的一个法向量，

设 EG与平面 MAD所成角为 ，则 sin | cos EG,m
1 1
|
6 t 2 (t 1)2 6 2t 2 2t 1
2t 2 1 2t 1 ,

因为 ，所以 sin 0,
3

2 3
3
即 EG与平面 MAD所成角的正弦值的取值范围为 0, ．
3
19．【详解】（1） f x 2 x 2 x a x 2 2 x 2 3x 2a 2 ，
令 f x 0 2a 2得 x 2或 x ，
3
2a 2
①当 2，即 a 2时，列表得：
3
x ( ,2) 2,
2a 2 2a 2 2a 2
2 ,

3 3 3
f x 0 0
f (x) 极大值 极小值
所以 x 2是 f (x)的极大值点，不符合题意.
2a 2
②当 2，即 a 2时， f x 0恒成立，无极值点，不符合题意.
3
2a 2
③当 2，即 a 2时，列表得：
3
x ,
2a 2 2a 2 2a 2
, 2

2 (2, )
3 3 3
f x 0 0
f (x) 极大值 极小值
所以 x 2是 f (x)的极小值点，符合题意.
综上可知， a的取值范围是 ( ,2) .
（2）由 t(x 2) (x 2)2 (x a)得 x 2或 x2 (a 2)x 2a t 0，
设 g(x) x2 (a 2)x 2a t，则 g(2) t 0，所以 g(x) 0有两不等实根.
所以 x2 2， x1 x3 a 2， x1x3 2a t，
又因为 x3 x1 1，所以 x
a 1 x a 31 ， 3 ，2 2
2a t (a 1)(a 3) a 1则 ，且 2
a 3
，故1 a 3，
4 2 2
且 4t 8a (a 1)(a 3) 0，而 f x x 2 3x 2a 2 ，
k a 3 a 1所以 1 f x1 ， k f x
a 1 a 5
2 3 ，2 2 2 2
k1 (a 3)(a 1) 15 3
则 k2 (a 1)(a 5) 7
，解之得 a 或 8（舍去）.
2
（3）因为 f (x)
1
sin(πx) 1当且仅当 x 2，所以 f (3) 3 a sin(3π)，则 a 3
π π
因为 f (1) 1 a，当a 1时， f (1) 0，不符合题意；
当1 a 3时，
1 1 1
①当 x 2时， f (x) sin( x) (x 2)2 (x a) sin( x) (x 2)2 (x 3) sin( x)，

记 h(x) (x 2)2 (x 3)
1
sin( x)， h x 3x2 14x 16 cos x ，

若 x 3， h (x) 1 cos( x) 0，则h(x)单调递增，所以 h(x) h(3) 0 .
若 2 x 3，令m(x) 3x2 14x 16 cos( x)，m (x) 6x 14 sin( x)，
令 t(x) 6x 14 sin( x)， t (x) 6 2 cos( x)，易得 t (x)单调递增，
所以 t (2) t (x) t (3)，即6 2 t (x) 6 2，
则 m0 (2,3)使 t m0 0，列表得：
x 2,m0 m0 m0 ,3
t (x) 0
t(x) 极小值
因为 t(2) 2， t(3) 4，所以 m1 (2,3)使 t m1 0，列表得
x 2,m1 m1 m1,3
m (x) 0
m(x) 极小值
又因为m(2) 1，m(3) 0， m2 (2,3)使m m2 0，列表得
x 2,m2 m2 m2 ,3
h (x) 0
h(x) 极大值
又 h(2) 0， h(3) 0，所以 h(x) 0，则当 x 2时， h(x) 0 .
②当 x 2时，
f (x) 1 sin( x) (x 2)2 (x a) 1 sin( x) (x 2)2 (x 1 1) sin( x)，

设u x (x 2)2 (x 1) 1 sin( x)，则u x 3x2 10x 8 cos( x)，

当 x 1时，u x 3x 7 x 1 1 cos( x) 0，
故u x 在 ,1 上单调递增，故u x u 1 0即 f (x) 1 sin( x) 0，

设 v x 3x2 10x 8 cos( x)，则 v x 6x 10 sin( x)，
设 r x 6x 10 sin( x)，则 r x 6 2 cos( x)，
r x 在 1,2 上为减函数，故 r 1 6 2 0， r 2 6 2 0，
故 r x 在 1,2 上存在一个零点 x0，使得 r x0 0，
且当 x 1, x0 时， r x 0， x x0 , 2 时， r x 0，
故 r x 在 1, x0 上为增函数，在 x0 , 2 为减函数，
而 r 1 4 0， r 2 2 0，故存在w 1,2 ，使得 r w 0，
且当 x 1,w 时， r x 0， x w, 2 时， r x 0，
故 v x 在 1,w 上为减函数，在 w, 2 为增函数，
而 v 1 0,v 2 1 0，故存在 q 1,2 ，使得 v q 0，
且当 x 1,q 时， v x 0， x q, 2 时， v x 0，
故u x 在 1,q 上为减函数，在 q, 2 为增函数，
而u 1 u 2 0，故u x 0在 1,2 上恒成立.
综上，当 x 2时，u x 0即 f (x) 1 sin( x) 0，

综上可得， a的取值范围是 (1,3] .高二年级第二学期期中考试数学试卷
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．设 是实数，已知 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．3 D．6
2．已知函数 的定义域为 ，导函数 在区间 上的图象如图所示，函数
在 上极大值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若函数 在 上单调递增，则实数 a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一个地区分为 5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现
有 5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有( )种
A．540 B．360 C．300 D．420
5．在三棱柱 中，底面边长和侧棱长都相等， ，则异面直
线 与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．若 则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知：空间中，过点 且一个法向量为 的平面 方程为
.据此可知，若平面 的方程为 ，直线 是两
平面 与 的交线，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．对于任意正实数 ，都有 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分．
9．用 0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数，如果十位上的数字比百位上的
数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如 301、423等都是“凹数”，则下列结论
中正确的是（ ）
A．组成的三位数的个数为 60 B．在组成的三位数中，偶数的个数为 30
C．在组成的三位数中，“凹数”的个数为 20D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为 24
10．已知正方体 的棱长为 2，点 P在棱 上，点Q在面 内，则（ ）
A． B．点 P到平面 的距离为
C．二面角 的正切值为 1 D． 的最小值为
11．已知实数 a，b满足 ，则（ ）
A．当 时， B．当 且 时，
C．当 时， D．当 时，
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12． 的值为______．
13．如图，已知 ABC-A1B1C1是侧棱长和底面边长均等于 a的直三棱柱，D是侧棱 CC1的中
点，则点 C到平面 AB1D的距离为____.
14．已知曲线 ： ， ： ，若有且仅有一条直线 同时与 ， 都相切，则
______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15．如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 平面 ， ， 、
分别为 、 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
16．某次文艺晚会上计划演出 7个节目，其中 2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，
需要制作节目单：
(1)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？
(2)唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？
(3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育
才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？
17．已知函数 ， .
（1）若 ，求实数 取值的集合；
（2）证明：
18．如图，在四棱锥 中， 平面 PAD， ．
(1)证明： 平面 ABCD；
(2)若底面 ABCD是正方形， ．E为 PB中点，点 F在棱 PD上，且平面 AEF与
平面 ABCD的夹角的余弦值为 ．
（ⅰ）求 PF；
（ⅱ）平面 AEF交 PC于点 G，点 M在平面 PBC上，求 EG与平面 MAD所成角的正弦值
的取值范围．
19．已知函数 ， .
(1)若 是 的极小值点，求 的取值范围；
(2)若直线 与曲线 的三个交点分别为 ， ，
，且 ， .记 在 ， 两点处切线的斜率分别为 ，
，若 ，求 的值；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围.

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