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2026 年九年级中考模拟 数学试题
(满分 150 分 时间 120 分钟)
注意事项:
1、答题前，请考生先将自己的姓名、班级、考场座位填写在答题卡上的指定位置。
2、选择题部分请用 2B 铅笔填涂方框；非选择题部分请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在答题卷上无效。
3、考生必须保持答题卡的整洁。
一、选择题(本大题共 10 小题, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是正确的, 请把正确的选项选出来. 每小题选对得 4 分, 选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.)
1. 截至 2025 年 5 月, 国家智慧教育平台注册用户已突破 1.64 亿, 成为世界第一大教育资源数字化中心和平台. 将 1.64 亿用科学记数法表示应为( )
A. B. 0.164×109 C. D.
清代乾隆款雯红瓷瓶，藏于开封市博物馆. 该瓶呈玉壶春形，喇叭口，削肩，鼓腹，圈足，器口呈白色，圈足内无釉，有“大清乾隆年制”三行六字篆书款. 如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是( )
A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同
C. 左视图和俯视图相同 D. 三视图均不相同
3. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 若 是正整数，且满足 ，则 与 的关系正确的是 ( )
A. B.
C. D.
5. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游. 在网上购票时, 小亮选定的车厢只剩一排有余座 (如图). 若此时 座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是( )
A. B. C. D.
6.2025 年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间. 抽象为如图所示的图形,已知滑雪杖 和滑雪板 平行,滑雪杖 与大腿 夹角为 ,小腿 与滑雪板 的夹角为 ,则大腿与小腿的夹角 的度数为( )
A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°
7. 若 是关于 的一元二次方程 的两个实数根,则代数式 的值为( )
A. 0 B. 25 C. 26 D. -1
8. 如图，在 中，已知 ， ， ，将 绕点 按逆时针方向旋转 后得到 ，则图中阴影部分的面积为( )
A. B.
C. D.
如图，在 中，按如下步骤作图:
① 在 和 上分别截取 ，使 ，分别以点 和 为圆心,以大于 的长为半径作弧,两弧在 内交于点 ,作射线 交 于点 ,
② 分别以点 和 为圆心,以大于 的长为半径作弧,两弧相交于点 和 ,作直线 交 于点 ,交 于点 . 根据以上作图,若 ，则线段 的长为( )
A. B. C. 5 D.
10. 已知反比例函数 ,点 和 是反比例函数图象上的两点. 若对于 ,都有 ,则 的取值范围是( )
A. 或 B. 且
C. 或 D. 且
三、填空题(共 6 题,每题 4 分,共 24 分)
11. 因式分解 _____.
12. 已知关于 的一元二次方程 有实数根,则 的取值范围是_____.
13. 分式方程 的解为非负数,且二次函数 的图象在 轴上方,则符合条件的所有整数 的和为_____.
14. 如图， 是正五边形 的内切圆,点 ， ， 分别是边 ， ， 与 的切点,则 的度数为_____.
14题图
15. 如图,在平面直角坐标系中, 的顶点 是坐标原点,点 在 轴的正半轴上, 点 在函数 的图象上,点 在函数 的图象上. 若 , 则 的值为_____.
15题图
如图,四边形 是正方形, 为 上一点,将 绕点 顺时针旋转 至 ,连接 于点 ,交 于点 . 若 ,则 的长为_____.
16题图
三、解答题(共 86 分)
17. 计算 (本小题 10 分)
(1) .
(2)先化简,再求值: ,其中 是不等式组 的整数解.
18.(本小题 10 分)
某市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况,从农村和城区各抽取 1 所学校进行艺术抽测,每个学校均随机抽测了 10 名学生,数据分析如下.
(一)收集与整理
农村学校 10 名学生的艺术成绩(单位:分):
64,74,78,82,84,86,86,92,96,98;
城区学校 10 名学生的艺术成绩(单位:分):
62,70,79,83,85,87,87,90,97,100.
(二) 描述与分析
城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下:
统计量 平均数 中位数 众数 方差
农村 84 86 c
城区 84 86 118.6
根据以上信息、回答下列问题:
(1)直接写出表格中 、 、 的值， _____， _____， _____；
(三)迁移与应用
(2)若从本次艺术成绩在 95 分以上的 4 名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率；
(3)请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议.
19. (本小题 10 分)
某水上乐园有两个相邻的水上滑梯,如图所示,左边滑梯的长度 为 ,倾斜角为 ,右边滑梯的高度 为 ,倾斜角为 ,支架 都与地面垂直, 都与地面平行,两支架之间的距离 为 (点 在同一条直线上)
(1)求两滑梯的高度差；
(2)两滑梯的底端分别为 ,求 的长.
(结果精确到 . 参考数据: ,
20. (本小题 10 分)
为培养学生的创新能力, 某学校计划成立创客实验室, 现需购买航拍无人机和编程机器人. 已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多 150 元, 用 7500 元购买航拍无人机的数量和用 6600 元购买编程机器人的数量相同.
(1)求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元
(2)该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共 15 台，购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的 2 倍, 且商家给出了航拍无人机和编程机器人均打八折的优惠. 问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时花费最少 最少花费是多少元
21. (本小题 10 分)
如图， 是 的直径,点 ， 在 上， ，点 在线段 的延长线上，且 .
(1)求证: ， 与 相切；
(2)若 ，求 的长.
22. (本小题 10 分)
已知反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于点 (2, ,点 是线段 上 (不与点 重合) 的一点.
图2
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图 1，过点 作 轴的垂线 与 的图象交于点 ，当线段 时,求点 的坐标;
(3)如图2，将点 绕点 顺时针旋转 得到点 ，当点 恰好落在 的图象上时,求点 的坐标.
23. (本小题 12 分)
已知二次函数 (m 是常数，且 ) 的图象经过点 和点 .
(1)若 ，求抛物线顶点坐标；
(2)若存在实数 ，使得 ，且 ，求 的取值范围；
(3)当 时， 的值增大， 的值先减小再增大，且 的最大值与的最小值的差等于 3,求 的值.
24. (本小题 14 分)
(1)如图(1)，在矩形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，垂足为点 . 求证:
【问题解决】
(2)如图(2)，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，延长 到点 ,使 ,连接 . 求证: .
【类比迁移】
(3)如图(3)，在菱形 中，点 ， 分别在边 上， ， ,求 的长.
(1)
(2)
(3)
2026 年九年级一练数学试题答案
(满分 150 分 时间 120 分钟)
一、选择题 1.C 2. A 3.C 4.B 5.C 6.D 7.C 8.B 9.D 10.D
二、11. 且 ;
16.
三、解答题
17 (本小题 10 分) 解: (1)
-4 分
(2)原式 -6 分
解不等式: ,得 ,
解不等式: ,得 ,
不等式组的解集为 . -8 分
为整数,
的值可取:-1,0,1,2.
,
只能取 2,
当 时，原式 . 10 分
18 (10 分) 解:(1) 85,87,95.2; ——3 分
(2)农村学校 95 分以上学生有 2 人，分别记为 ， ，城区学校 95 分以上学生有 2 人，分别记为 ， ，画树状图如下:
总共有 12 种可能的结果, 每种结果出现的可能性相同, 其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有 2 种,
. -8 分
(3)例:从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展；
从中位数看, 城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩, 建议加强农村学校艺术教学;
从众数看, 城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩, 建议提高农村学校艺术教学水平;
从方差看, 城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差, 城区学校艺术成绩波动较大, 建议减小两极分化. -10 分
19(10分)解:在 中，
,
,
,
答: 两滑梯高度差为 -4 分
(2)解:在 Rt 中，
,
,
在 Rt▲DEF 中,
,
,
答: 长 . -10 分
20 (10 分) 解: (1) 设编程机器人的单价为 元,则得航拍无人机的单价为 元;
由题意得: ,
解得: , -3 分
经检验 是原方程的解,且符合题意, -4 分
则 ;
答: 航拍无人机单价是 1250 元, 编程机器人的单价是 1100 元; -5 分 (2)
解: 设购买编程机器人 台,则购买航拍无人机 台,
由题意得: ，解得: ；
设购买两种设备的总费用为 元,则 ,
整理得: ；
,且 ,
当 时, 最小,最小值为 13800 元;
此时购买航拍无人机为 (台);
答: 购买编程机器人 10 台, 航拍无人机 5 台时, 总花费最少, 最少为 13800 元._____10 分
21 (10 分) 证明: 连接 ,
,
,
,
是 的直径，
,
,
,
,
为 半径,
与 相切; -5 分
(2)解:设 半径为 ,则 ,
,
,
在 Rt 中, ,
,即 ,
解得 ,
半径为 4,则 ,
在 Rt 中, ,
. -10 分
22 (10 分) (1) 解: 将 代入 得 ,
, -1 分
将 代入 得 ，解得 ，
反比例函数表达式为 , -2 分
(2)解:如图，设点 ，那么点 ，
由 可得 ,
所以 ,
解得 (舍),
; -5 分
(3)解:如图，过点 作 轴，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ,
,
点 绕点 顺时针旋转 ,
,
,
,
,
设点 ,
点 ,
,
解得 ,
点 或 (舍),此时点 . 10 分
23 (12 分) (1) 解: 若 ,
,顶点坐标 ; 一一-2 分
(2)把 代入得:
把 代入得: .
,
.
,
.
; -8 分
(3) 二次函数 的对称轴为 ， 当 时, 的值增大, 的值先减小再增大,
点 抛物线对称轴 的左侧,
点 抛物线对称轴 的右侧.
当 时, 的最小值是 .
若 ,即 的最大值是
.
解得: (舍去).
若 ,即 的最大值是 , .
综上, 的值是 . -12 分
24(14分)证明:(1)∵四边形 ABCD 是矩形， +
-3 分
(2)∵四边形 ABCD 是正方形， AD=DC, AD//BC ADE=∠DCF=90°
(HL)，
.
点 H 在 BC 的延长线上，
又DC=DC, DCFA DCH(SAS),
,
. -8 分
(3)如图，延长BC至点G，使CG=DE=8，连接D G.
四边形 是菱形， ， C, (SA S), .
是等边三角形，
-14 分

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