资源简介

2026年春季学期九年级质量检测
数学
姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1.D【解析】A，B，C项，形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故不符合题意；
D项，形状不相同，不符合相似图形的定义，故符合题意.
2.A【解析】∵AB∥CD，∴ .
∵CP＝4，DP＝6，BP＝2，∴ ，
解得 AP＝3，∴AD＝AP＋DP＝3＋6＝9.
3.A【解析】设其余两边的长分别是 x cm，y cm，
则(x＋y)∶21＝(3＋5)∶7，解得 x＋y＝24，
故其余两边长的和为 24 cm.
4.C【解析】如图，过 A点作 AD⊥BC于点 D，在 Rt△BDA中，由于∠B＝60°，
∴DB＝ ，AD＝ c，
在 Rt△ADC中，DC2＝AC2－AD2，
∴ ＝b2－ c2，
即 a2＋c2＝b2＋ac，
∴ ＝1.
5.C【解析】∵∠ACB＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，
∴BC＝a·cos α，AC＝a·sin α，CD＝ ，
∴BD＝BC－CD＝a·cos α－ .
6.D【解析】设 y= (k≠0).
根据题意得 1= ，
第 1页 共 11页
解得 k=2，
即函数关系式是 y= .
7.C【解析】由于 P为反比例函数图象上一点，则矩形的面积为|k|＝3，
又函数图象位于二、四象限，则 k<0，k＝－3，
故反比例函数解析式 y＝－ .
8.C【解析】如图，过点 D作 DE⊥AB于点 E，∵tan A＝ ，tan∠ABD＝ ，
∴AE＝2DE，BE＝3DE，
∴AB＝2DE＋3DE＝5DE.
在 Rt△ABC中，∵tan A＝ ，BC＝ ，
∴ ，解得 AC＝2 .
∴AB＝ ＝5，∴DE＝1，∴AE＝2，
∴AD＝ ，
∴CD＝AC－AD＝ .
9.B【解析】∵ ，
∴ ， ， ∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴当 时， 有最小值，最小值为 1，
故选：B．
10.B【解析】联立 ， ，得： ，∴ ，
∵反比例函数 ，直线 交于 、 两点，
∴ 的两个根为：x=a，x=m，∴a+m=2，
∵ ， ，∴ =-2a， =-2m，∴ =-（a+m）=-2．
第 2页 共 11页
故选 B．
11.D【解析】解：如图：
∵∠A＝120°， ∴∠1+∠2=60°，
∴∠CBD+∠BCE=(180°-∠2)+(180°-∠1)=360°-(∠1+∠2)=300°，
∵BM，CM分别是△ABC的外角平分线，
∴∠3+∠4= ∠CBD+ ∠BCE= (∠CBD+∠BCE)=150°，
∴∠M=30°， ∴∠M的余弦值是 ．
故选 D．
12.A【解析】解：如图所示，以 为边向上作等边 ，过点 作 轴于点 ，
则 ，则 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴ ， 取点 ，则 是 的中位线，
∴ ，
∵ ， ∴点 在半径为 的 上运动，
∵ 是 的中位线， ∴ ，
∴ ，当 与 相切时， 最大，则正弦值最大，
在 中， ，
过点 作 轴，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
则
∵ 与 相切， ∴ ， ∴ ，
∴ ， ∴ ，
∴
设 ， , 则
∴ ， ∴
第 3页 共 11页
∴ 解得：
∴
∴ 的最大值为 ，
故选：A．
二、填空题
13.6【解析】∵AB∥CD∥EF，
∴ ，即 ，
解得 BD＝6.
14.y=- 【解析】∵点 A 向下平移 5个单位长度得到点 B，
∴点 B的坐标为 ，
设反比例函数的表达式为 y= (k≠0)，
把点 B 代入 y= 得，-2= ，
解得 k=-4，
∴反比例函数的表达式为 y=- .
15. 【解析】如答图，过点 作 于点 ，过点 作 垂直于过点 的水平线于点
.
答图
由题意，得 ， ， .
， ，
.
.
第 4页 共 11页
,
， ,
，
即这架无人机的飞行高度大约为 ．
16.12【解析】如答图，过点 B作 BM⊥x轴于点 M,过点 D作 DN⊥x轴于点 N.
答图
∵点 A(5,0),B(2,6),易知四边形 OMBC为矩形,
∴BC=OM=2,OC=MB=6,
∴AM=OA-OM=5-2=3.
∵BD=2AD,
∴AD∶AB=1∶3.
∵BM⊥x轴,DN⊥x轴,
∴BM∥DN,∴△ADN∽△ABM,
∴DN∶BM=AN∶AM=AD∶AB,
即 DN∶6=AN∶3=1∶3,
∴DN=2,AN=1,
∴ON=OA-AN=5-1=4,
∴点 D的坐标为(4,2),
∴k=8,∴S△OCE= ×8=4.
∵S 梯形 OABC= (BC+OA)·OC= ×(2+5)×6=21,S△AOD= OA·DN= ×5×2=5,
∴S 四边形 ODBE=S 梯形 OABC-S△OCE-S△AOD=21-4-5=12.
三、解答题
17.解 (1)设 y1＝kx，y2＝ ，由 y＝y1＋y2可得 y＝kx＋ ，
∴把 x＝2，y＝2和 x＝－1，y＝1代入得
第 5页 共 11页
解得
∴y关于 x的函数解析式为 y＝ x＋ .
(2)把 x＝3代入得
y＝ ×3＋ .
【解析】
18.解 ∵四边形 ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△ECF∽△BAF，
∴ ，
又∵ED∶EC＝1∶2，∴EC＝2ED，
∴ ，
又∵BF＝8 cm，AB＝CD，
∴ ，
∴ ，∴EF＝ cm.
【解析】
19.(1)证明 ∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵CE＝DF，
∴AF∥BE，AF＝BE，
∴∠FAE＝∠BEA，四边形 ABEF是平行四边形.
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∴ ABEF是菱形，
∴AE⊥BF.
(2)解 ∵四边形 ABEF是菱形，
∴AB＝EF＝BE＝AF＝4.
第 6页 共 11页
∵四边形 ABCD与四边形 CEFD相似，
∴ ，
∴ ，
∴CE2＋4CE－16＝0，
解得 CE＝2 －2或 CE＝－2 －2（不符合题意，舍去），
∴CE的长为 2 －2.
【解析】
20.(1)证明 连接 OB，如图所示，
∵直线 MN与☉O相切于点 D，
∴∠ODN＝90°，
∵BC∥MN，
∴∠OEC＝∠ODN＝90°，
∵OD是☉O的半径，
∴ ，
∴∠DOC＝ ∠BOC，
∵∠BAC＝ ∠BOC，
∴∠BAC＝∠DOC.
(2)解 ∵E是 OD的中点，
∴OE＝ OD，OD⊥BC，BE＝ BC，
∴OE＝ OC，
∴∠ACB＝30°，
∵☉O的半径为 4，
∴AC＝8，
第 7页 共 11页
∵AC是☉O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴AB＝4，BC＝AC·cos∠ACB＝4 ，
∴BE＝ BC＝2 ，
∴在 Rt△ABE中，由勾股定理得 AE＝ ＝2 .
【解析】
21.解：（1）如答图，过点 作 于点 .
在 中， 海里， ，
（海里）.
在 中， 海里， 海里，
.
答图
（2）如答图，过点 作 于点 .
在 中， 海里， 海里，
海里.
易知四边形 是矩形，
海里， 海里，
海里，
在 中， 海里.
答：小岛 ， 之间的距离为 50海里.
【解析】
22.解 (1)将点 A(2，3)代入 y＝ 中，得 3＝ ，
∴k＝2×3＝6，
第 8页 共 11页
∴反比例函数的表达式为 y＝ .
将 A(2，3)，B(0，4)分别代入 y＝mx＋n中，得
解得
∴一次函数的表达式为 y＝－ x＋4.
(2)点 P在滑动过程中，△PMN与△OBC总相似，理由如下：
∵PN∥x轴，
∴PN∥OC，
∴∠MNP＝∠BCO，
∵PM∥y轴，
∴PM∥OB，
∴∠PMN＝∠OBC，
∴△PMN∽△OBC.
【解析】
23.解：（1）如图，作 轴于点 ，
由点 可知在反比例函数上， ，
， ， ，
又 ，
，
．
即 ，
∴ ，
第 9页 共 11页
则 ，
所以反比例函数与一次函数关系为 ， ；
（2）设直线 与 轴交于 ，
由（1）知直线 的解析式为 ，
， ，
，
过 作 轴于 ，
，
设 ，则 ，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
解得 ，
， ，
；
（3）过 作 交 轴于 ，
则 的面积与 的面积相等，
第 10页 共 11页
；
直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
点 ，
，
，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
， ， ，
当点 在 轴的正半轴上时， ， ，
综上所述， ， 或 ， ．
第 11页 共 11页2026年春季学期九年级期中质量检测
数学
（全卷满分 120 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答
无效。
3．不能使用计算器。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共 12小题，每题 3分，共 36分在每小题给出的四个选
项中只有一个选项是符合要求，请考生用 2B铅笔在答题卡选定的答
案标号涂黑）
1.下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，已知△PCD，AB∥CD，AB分别交 DP与 CP的延长线于点 A和点 B，CP＝4，DP
＝6，BP＝2，则 AD的长是（ ）
A.9 B.8 C.6 D.2
3.若一个三角形三边之比为 3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边的长为 21 cm，则与它相
似的三角形的其余两边长的和为（ ）
A.24 cm B.21 cm C.19 cm D.9 cm
4.如图，在△ABC中，a，b，c分别为角 A，B，C的对边，若∠B＝60°，则 的
值为（ ）
A. B.
第 1页 共 7页
C.1 D.
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则 BD的长可
表示为（ ）
A.a(cos α－cos β)
B.
C.a·cos α－
D.a·cos α－a2·sin αtan β
6.若 y与 x成反比例，当 x=2时 y=1，则 y与 x的函数关系式为
A.y=2x B.y=2-x
C.y= D.y=
7.如图所示，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形 PEOF的面积为 3，则反比
例函数的表达式是（ ）
A.y＝ B.y＝
C.y＝－ D.y＝－
8.如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ ，点 D是 AC上一点，连接 BD.若 tan A＝
，tan∠ABD＝ ，则 CD的长为（ ）
A.2 B.3 C. D.2
9.如图，直线 （a是常数， ）与双曲线 交于点 A，与直线 交
第 2页 共 7页
于点 B，当 面积最小时，a的值是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知反比例函数 ，直线 交于 、 两点，则代数式
的值是（ ）
A.2 B.－2 C.4 D.－4
11.如图，△ABC中，∠A＝120°，若 BM，CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M的余
弦值是（ ）
A. B. C. D.
12.如图，分别经过原点 和点 的动直线 ， 夹角 ，点 是 中点，连接 ，
则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 4题小题，每题 3分，共 12分）。
13.如 图 ， AB∥CD∥EF， AC∶CF＝ 2∶3， DE＝ 9， 则 BD的 长
为 .
14.在平面直角坐标系中，将点 A 向下平移 5个单位长度得到点 B，若点 B恰好在反比
例函数的图象上，则此反比例函数的表达式为 .
第 3页 共 7页
15.如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为 ，从 处沿水
平方向飞行至 处需 ．同时在地面 处分别测得 处的仰角为 ， 处的仰角为 ，则
这架无人机的飞行高度大约为 结果保留整数，
．
16.如图，在平面直角坐标系中，点 A,B的坐标分别为(5,0),(2,6),过点 B作 BC∥x轴，交
y轴于点 C,D为线段 AB上的一点，且 BD=2AD.反比例函数 y= (k≠0,x>0)的图象经过点
D,交 线 段 BC于 点 E,连 结 OE,则 四 边 形 ODBE的 面 积
是 .
三、解答题（本大题共 7小题，共 72分，解答时要求在答题卡对应
的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）。
17.（8 分）已知 y＝y1＋y2，y1与 x成正比例，y 22与 x 成反比例，当 x＝2时，y＝2；当 x
＝－1时，y＝1.
(1)求 y关于 x的函数解析式；
(2)当 x＝3时，求 y的值.
18.（10分）如图，在平行四边形 ABCD中，点 E在边DC上，若 ED∶EC＝1∶2，BF＝8 cm
第 4页 共 7页
，求 EF的长.
19.（10 分）如图，在 ABCD中，点 E，F分别在边 BC，AD上，连接 AE，BF，AE平分
∠BAD，CE＝DF.
(1)求证：AE⊥BF；
(2)若 AF＝4，四边形 ABCD与四边形 CEFD相似，求 CE的长.
20.（10 分）如图 1，△ABC内接于☉O，直线MN与☉O相切于点 D，OD与 BC相交于点
E，BC∥MN.
(1)求证：∠BAC＝∠DOC；
(2)如图 2，若 AC是☉O的直径，E是 OD的中点，☉O的半径为 4，求 AE的长.
21.（10分）如图，海中有两个小岛 ， ，某渔船在海中的 处测得小岛 位于东北方向上，
且相距 海里，该渔船自西向东航行一段时间到达点 处，此时测得小岛 恰好在点 的
第 5页 共 7页
正北方向上，且相距 50海里，又测得点 与小岛 相距 海里.
（1）求 的值.
（2）求小岛 ， 之间的距离.
22.（12 分）如图，反比例函数 y＝ (x>0)的图象经过点 A(2，3)，一次函数 y＝mx＋n的
图象与反比例函数的图象交于 A，D两点，与 y轴交于点 B(0，4)，与 x轴交于点 C.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)现有一个直角三角板，让它的直角顶点 P在反比例函数图象上的 A，D两点之间滑动(不
与点 A，D重合)，两直角边始终分别平行于 x轴、y轴，且与线段 AD交于M，N两点，试
判断点 P在滑动过程中，△PMN与△OBC是否总相似，并说明理由.
23.（12 分）如图，一次函数 图象与反比例函数 的图象相交于
点 ，与 轴交于点 ，且 ．
（1）求反比例函数与一次函数关系式；
第 6页 共 7页
（2）点 是线段 上一点，且 ，求出 点坐标；
（3）在（2）的条件下，在 轴上找一点 ，使 的面积与 的面积相等，直
接写出点 的坐标．
第 7页 共 7页

展开更多......

收起↑