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11.2 一元一次不等式
课时2 一元一次不等式的应用
第十一章 不等式与不等式组
01
会在实际问题中寻找数量关系，并列出相应的一元一次不等式，加强抽象能力和模型思想.
02
在利用一元一次不等式解决实际问题的过程中，进一步认识一元一次不等式的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力.
问题：应用一元一次方程解实际问题的步骤是怎样的？
实际问题
设未知数
找相等关系
列出方程
检验解的合理性
解方程
思考：那么如何用一元一次不等式解实际问题呢？
例1 七年级举办古诗词知识竞赛，共有 20 道题，每一题答对得 10 分，答错或不答都扣 5 分. 如果规定初赛成绩超过 90 分晋级决赛，那么初赛至少要答对多少道题才能成功晋级？
怎样设未知数表示问题中的不等关系呢？
本问题中涉及的不等关系是什么？
设答对 x 道题，则答错或不答 20-x 道题.
答对的得分－答错或不答的扣分＞90
解：设初赛答对了 x 道题. 根据“初赛成绩超过 90 分”晋级决赛，列得不等式
10x－100＋5x＞90.
15x＞190.
去括号，得
移项，合并同类项，得
系数化为 1，得
答：初赛至少要答对 13 道题才能成功晋级.
10x－5(20－x)＞90.
x ＞12 .
由 x 为正整数，可得 x 至少为 13.
分析：本问题中涉及的数量关系是：
去年万元地区生产总值能耗－今年万元地区生产总值能耗
去年万元地区生产总值能耗
×100%≥ 5%.
万元地区生产总值能耗是指每万元地区生产总值所消费的能源总量（折算为标准煤），其下降率是衡量一个地区节能减排成效的重要指标.
例2 某市去年万元地区生产总值能耗为 0.320 t 标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于 5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？
解：设这个市今年万元地区生产总值能耗为 x t 标准煤.
根据题意，列得不等式
0.320－x≥0.320×5%.
－x≥－0.304.
去分母，得
移项，合并同类项，得
系数化为 1，得
答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为 0.304 t 标准煤.
x≤0.304.
去年万元地区生产总值能耗－今年万元地区生产总值能耗
去年万元地区生产总值能耗
×100%≥ 5%.
1. 某次知识竞赛中共有 25 道题，对于每一道题，答对了得 4 分，答错了或者不答扣 2 分，小明同学得分要超过 80 分，他至少要答对几道题
解：设小明答对 x 道题，则他答错或不答的题数为 (25－x) 道.
由题意得 4x－2(25－x)＞80，
解得 x＞.
问题：x 可以取 21 吗 为什么 x 应该是多少
不能，因为 x 应为整数而且不能超过 25，所以小明至少要答对 22 道题.
一元一次不等式的应用
实际问题
根据题意列不等式
解一元一次不等式
根据实际问题找出符合条件的解集或解
得出实际问题的答案
利用一元一次不等式解决实际问题的步骤是什么？你会列一元一次不等式解决实际问题吗？
例3 某学校期末需要表彰优秀学生，计划购买一些笔记本和证书，笔记本的单价为 6 元，证书的单价为 0.4 元. 某文具用品商店给出两种优惠方案：
甲：买一个笔记本，赠送一张证书；
乙：一次购买证书200 张以上，超过 200 张的证书按原价打八折，笔记本不打折.
学校准备购买 80 本笔记本，证书若干张(超过 200 张)，请你判断哪种方案更合算，并说明理由.
问题1：题中有什么未知量 怎么设未知数
购买证书的数量，设购买证书 m (m＞200) 张.
选择方案甲所需费用 y甲为
80×6＋0.4×(m－80)＝(0.4m＋448) (元)；
问题2：怎么用含未知数的代数式表示甲、乙两个方案的费用
选择方案乙所需费用y乙为
80×6＋0.4×200＋0.4×0.8×(m－200)＝(0.32m＋496) (元).
笔记本的单价为 6 元，证书的单价为 0.4 元. 学校准备购买 80 本笔记本，证书若干张(超过 200 张).
甲：买一个笔记本，赠送一张证书；
乙：一次购买证书200 张以上，超过 200 张的证书按原价打八折，笔记本不打折.
② 当 y甲＞y乙 时，
0.4m＋448＞0.32m＋496.
解得 m＞600.
③当 y甲＜y乙 时，
0.4m＋448＜0.32m＋496.
解得 m＜600.
综上，
当购买证书 600 张时，甲、乙两种方案费用一样；
当购买证书的数量大于 600 张时，方案乙更合算；
当购买证书的数量大于 200 张且小于 600 张时，方案甲更合算.
① 当 y甲＝y乙 时，
0.4m＋448＝0.32m＋496.
解得m＝600.
问题3：怎么比较两个方案费用的大小
例4 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少？
累计购物花费 在甲超市花费 在乙超市花费
0＜x≤50
50＜x≤100
x＞100
x
x
x
100+0.9(x-100)
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
分析：
(1) 当 0＜x≤50 时，在两家超市购物花费_____，因为__________________.
(2) 当 50＜x≤100 时，在____超市购物花费少，因为__________________________.
一样
都不享受优惠
乙
乙超市有优惠，甲超市没有
解：
累计购物花费 在甲超市花费 在乙超市花费
0＜x≤50
50＜x≤100
x＞100
x
x
x
100+0.9(x-100)
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
累计购物花费 在甲超市花费 在乙超市花费
0＜x≤50
50＜x≤100
x＞100
x
x
x
100+0.9(x-100)
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
（3）当累计购物超过100元，即 x＞100 时，在甲、乙两超市购物都能享受优惠.
①若到甲超市购物花费较少，则 ，
解得 ________. 即________时，到甲超市购物花费较少.
100＋0.9(x－100)＜50＋0.95(x－50)
x＞150
x＞150
累计购物花费 在甲超市花费 在乙超市花费
0＜x≤50
50＜x≤100
x＞100
x
x
x
100+0.9(x-100)
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
③若到两超市购物花费相同，
则________________________________，解得 ________.
即________时，到甲、乙两超市购物花费相同.
②若到乙超市购物花费较少，
则_________________________________，解得 ________.
即______________时，到乙超市购物花费较少.
100＋0.9(x－100)＞50＋0.95(x－50)
x＜150
100＋0.9(x－100)＝50＋0.95(x－50)
x＝150
100＜x＜150
x＝150
答：综上所述，当累计购物花费不超过 50 元或等于 150 元时，
到两家超市购物花费相同；
当累计购物超过 50 元而不到 150 元时，到乙超市购物花费较少；
当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少.
实际问题
数学模型
方程组
不等式
等量关系
不等关系
提取
总结：
2. 为了保护环境，某企业决定购买 10 台污水处理设备，现有 A，B 两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表. 经预算，该企业购买设备的资金不高于 105 万元.
(1) 该企业有多少种购买方案
A型 B型
价格(万元/台) 12 10
处理污水量(吨/月) 240 200
分析：本问题中涉及的数量关系是：
购买A型设备的资金+购买B型设备的资金≤105
解：设购买 A 型污水处理设备 x 台，则购买 B 型污水处理设备 (10－x) 台.
由题意，得 12x＋10(10－x)≤105，
解这个不等式，得 x≤2.5.
因为 x 为设备的台数，所以 x 为非负整数，即0≤x≤2.5 且 x 为整数，那么 x 的值可以为 0，1，2.
当x=0时，10-x=10-0=10，即购买A型 0 台，B型10 台.
当x=1时，10-x=10-1=9，即购买A型 1 台，B型 9 台.
当x=2时，10-x=10-2=8，即购买A型 2 台，B型 8 台.
所以该企业有 3 种购买方案.
(2) 若该企业每月产生的污水量为 2040 吨，为了节省资金，应该选择哪种购买方案
解：由题意得 240x＋200(10－x)≥2040， 解得 x≥1.
结合(1) 中 x≤2.5且 x 为整数，可得 x 的值为 1 或 2.
分别计算两种情况下的购买资金：
①当 x＝1 时，购买A 型 1 台，B 型 9 台，
购买资金为12×1＋10×9＝12＋90＝102 (万元).
②当 x＝2 时，购买 A 型 2 台，B 型 8 台，购买资金为
12×2＋10×8＝24＋80＝104 (万元).
因为 102<104，所以为了节省资金，应该选择购买A型1 台，B型 9 台的方案.
认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系.
审
设出适当的未知数.
设
根据题中的不等关系列出不等式.
列
解不等式，求出其解集.
解
检验所求出的不等式的解集是否符合题意.
验
写出答案.
答
用一元一次不等式解决实际问题的步骤
1. 如图①，一个最大容量为 500 cm3 的杯子中装有200 cm3 的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图②.设
每颗玻璃球的体积为x cm3，根据题意可列不等式为(　A　)
A
A. 200＋4x＜500
B. 200＋4x≤500
C. 200＋4x＞500
D. 200＋4x≥500
2. 为了举行班级晚会，小明准备去商店购买 20 个乒乓球作为道具，并买一些乒乓球拍作为奖品.已知乒乓球每个 1.5 元，球拍每个 22 元. 如果购买金额不超过 200 元，设购买球拍 x 个，那么x的最大值为(　A　)
A. 7 B. 8
A
C. 9 D. 10
3. 小乐借到一本 72 页的图书，要在 10 天之内读完，开始 2 天每天只读 5 页，那么以后的几天里每天至少要读多少页？设以后的几天里每天要读 x 页，列出的不等式为 .
2×5＋(10－2)x≥72　
4. 植树节期间，某单位欲购进A，B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元；若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元.
(1)求购进的A，B两种树苗的单价；
解：设A种树苗的单价为x元，
B种树苗的单价为y元，
可得 解得
答：A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元.
(2)若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵.
解：(2)设购进A种树苗a棵，则购进B种树苗为
(30－a)棵，可得200a＋300(30－a)≤8000，
解得a≥10.
答：A种树苗至少需购进10棵.
解：设购进A种树苗a棵，
则购进B种树苗为(30－a)棵，
可得200a＋300(30－a)≤8000，解得a≥10.
答：A种树苗至少需购进10棵.
（2024 山西）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭 火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
解：设可购买这种型号的水基灭火器x个，则购买干粉灭火器(50-x)个，
根据题意得： 540x+380（50-x）≤21 000，
解得： x≤12.5，
∵x为整数，
∴x取最大值为12，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．

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