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11.1.2 不等式的性质
课时2 不等式性质的应用
第十一章 不等式与不等式组
01
能熟练运用不等式的三个基本性质进行变形，将不等式逐步化为x＞m或x＜m(m为常数)的形式.并能在数轴上表示解集.
02
能根据具体问题中的数量关系，列不等式解决简单的实际问题.
问题 不等式的性质有哪些
性质 1：
不等式的两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
性质 2：
不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
性质 3：
不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
思考 解不等式的最终目标是把不等式转化成什么形式？
与解方程类似，解不等式要借助不等式的性质，将不等式 化为 的形式.
或(m为常数)
例1 利用不等式的性质解下列不等式：
（1）x-7＞26；　　　　　 （2）3x＜2x+1；
（3）x＞50；　　 （4）-4x＞3．
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以 x-7+7＞26+7 ，
x＞33 .
(2)根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以 3x - 2x＜2x+1 - 2x ，
x＜1 .
例1 利用不等式的性质解下列不等式：
（1）x-7＞26；　　　　　 （2）3x＜2x+1；
（3）x＞50；　　 （4）-4x＞3．
解：(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变，所以
(4)根据不等式的性质3，不等式两边除以-4，不等号的方向改变，所以
还有什么方法可以表示不等式的解集呢
还可以在数轴上直观地表示不等式的解集.
(1)不等式x -7＞26的解集x ＞33在数轴上可以表示为：
0
33
0
1
(2)不等式3x＜2x+1的解集 x＜1在数轴上可以表示为：
请你分别在数轴上表示上题中其它2个不等式的解集
思考 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)5x ≥ 4x +4； (2) - 8x ≥ 10 .
除了含有<，>，≠的不等式，像a ≥ b或a ≤ b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式.如，x ≥ 3表示x ≥ 3或x = 3，即x可以取3和大于3的所有值.
符号“≥”读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”；符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”.
思考 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边减4x，不等号的方向不变，所以
5x - 4x ≥ 4x +4- 4x
x ≥ 4
这个不等式的解集在数轴上的表示如图：
1
2
3
4
5
-1
0
6
(1)5x ≥ 4x +4； (2) - 8x ≥ 10 .
思考 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)5x ≥ 4x +4； (2) - 8x ≥ 10 .
解：(2)根据不等式的性质3，不等式两边乘，不等号的方向改变，所以
这个不等式的解集在数轴上的表示如图：
×(- 8x) ≤ 10×
x ≤ .
0
1
2
3
4
-2
-1
5
常用的表示不等关系的关键词语及对应的不等号
关键 词语 第一类：明确表明数量的不等关系 第二类：明确表明数量的范围特征 ①大 于 ②比…大 ③超 过 ①小 于 ②比…小 ③低 于 ①不小于 ②不低于 ③至 少 ①不大于 ②不超过 ③至 多 正数 负数 非负数 非正数
不等号
＜
＞
≥
≤
＞0
＜0
≥0
≤0
若a≥b，则：①a±c≥b±c； ②ac≥bc（c＞0）; ③ac≤bc（c＜0）.
a≥b或a≤b形式的不等式，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质．
不等式的解集在数轴上的表示：
解集 x＞a x≥a x＜a x≤a
数轴表示
生活中也有很多不等关系可以用形如 a ≥ b 或 a ≤ b 的不等式表示. 如图所示的高速公路限速标志，你能用不等式的形式表示吗？
如果用v（单位：km/h）
表示汽车的速度，
则v应满足： .
80≤v≤100
解决问题：一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6 : 00 时汽车距前方的 A 地 210 km，汽车要在 8 : 00 之前驶过 A 地，如果汽车所行驶道路的最高限速是120 km/h，那么车速x应满足什么条件
解：设车速为 x km/h.由题意可得：2x＞ 210，
根据不等式性质2，不等式两边同时除以2 ，解得x＞ 105.
又汽车所行驶道路的最高限速是120 km/h，
所以车速x应满足：105＜x ≤ 120.
例2 如图，一个长方体形状的鱼缸长10 dm，宽3.5 dm，高7 dm. 若鱼缸内已有水的高度为1 dm，现准备向鱼缸内继续注水. 用V(单位：dm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示.
分析：
问题中的不等关系是：已有水的体积与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积.
解得 V ≤ 201 .
又由于新注入水的体积V不能是负数，所以V的取值范围是
0 ≤V ≤ 201.
在数轴上表示V的取值范围为：
解：因为“已有水的体积+新注入水的体积V≤鱼缸的容积”，所以
10×3.5×1+V ≤ 10×3.5×7
0
210
在表示 0 和 210 的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个数.
不等式性质的应用
不等式的解集在数轴上的表示
不等式中常见的关键词
小于/不足(<)，
大于/多于(>)，
不大于/不超过/至多(≤)，
不小于/不低于/至少(≥)，
不相等(≠).
1. 某市4月份某日的最高气温为23 ℃，最低气温为 3 ℃，则当天该市气温t(℃)的变化范围是( )
A．3＜t＜23 B．3 ≤ t ＜23　
C．3＜t ≤ 23 D．3 ≤ t ≤ 23
D
(1)如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度L的合格尺寸(L的取值范围)_______________.
39.99≤L≤40.01
2. 填空：
(2)若关于x的不等式x≥m-1的解集如图所示，则m等于　　　　.
3
-1
0
1
2
3
4
5
6
3.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(1)x+5>-1； (2) -5x ≥ 10.
解：(1) 根据不等式的性质1，不等式两边减5，不等号的方向不变，所以
x＋5-5>-1-5，
x>-6.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
(2) 根据不等式的性质3，不等式两边乘 ，不等号的方向改变，所以
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
3.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(1)x+5>-1； (2) -5x ≥ 10.
（2024 内江）不等式3x≥x﹣4的解集是（　　）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2
C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
A

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