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11.1.2 课时1 不等式的性质
第十一章 不等式与不等式组
01
经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.
02
通过计算、观察、分析、验证归纳出不等式的三个性质.
比你大两岁，所以我是你哥哥.
哈哈！三年前我还是比你大.
呵呵，再过二十年,你也比我小!
大两岁,那三年前，你不就比我小呀！
哦？那…再过十年，我肯定比你大.
对于某些简单的不等式，我们可以直接得出它的解集.
例如：不等式x+3>6的解集是x>3，
不等式2x<8的解集是x<4.
但是对于比较复杂的不等式（如）直接得出解集就比较困难. 怎样解不等式呢？
与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质. 为此，我们先来看一看不等式有什么性质？
不等式的基本性质
(1)如果a＞b，那么b＜a.
(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.
等式的基本性质
(1)如果a=b，则b=a.
(2)如果a=b，b=c，那么a=c.
猜想
(1) 假设a＞0，b＜0，在数轴上大致表示为：
0
a
b
根据数轴右边的数总比左边的数大可得：b＜a，a＞b
(2) 假设a＞0，b=0，c＜0，在数轴上表示为：
0
a
b
c
根据数轴右边的数总比左边的数大可得：a＞b，b＞c，并且a＞c.
不等式的基本事实
文字描述 数学表达
不等式基本事实1
不等式基本事实2
交换不等式两边，
不等式的方向改变
不等关系可以传递
如果a＞b，
那么b＜a
如果a＞b，b＞c，那么a＞c
我们知道，等式两边加或减同一个数(或式子)，乘或除以同一个数(除数不为0)，结果仍相等，不等式是否也有类似的性质呢？
5>3.
5+2____ 3+2
5+0____ 3+0
5+(-2) ____3+(-2)
探究1
(2) –1<3.
–1+4____3+4
–1+4____3+4
–1+(-7)____-1+(-7)
>
>
>
<
<
<
不等式两边同时加上一个正数
不等式两边同时加上一个负数
不等号方向不发生变化
不等式的性质1
数学符号：如果 a ＞ b，那么 a ± c ＞ b ± c.
不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
思考1：你能总结出不等式的性质吗？
c
c
6>2.
6×5 ____ 2×5
6×(-5) ____2×(-5)
探究2
＜
＞
(2) –2<3
–2×4 ____3×4
–2×(-0.5)____3×(-0.5)
＜
＞
不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不发生变化.
不等式两边同时乘以一个负数不等号方向发生变化.
思考2：请你总结出不等式的性质？
如果a>b，c>0，那么ac>bc(或 )
不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
数学表达：
不等式的性质2
不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
数学表达：
如果a>b，c<0，那么ac不等式的性质3
思考3：如果不等式两边同时乘0，结果如何呢？
不等式两边同时乘0，根据0乘任何数都为0，得两边的值都为0.则不等号变等号
思考4：比较不等式的性质2和性质3，它们有什么区别？
不等式的性质2：不等式的两边
乘(或除以)同一个正数
不等式的性质3：不等式的两边
乘(或除以)同一个负数
不等号的方向不变.
不等号的方向改变.
思考5 不等式性质与等式性质有什么异同？
等式 不等式
相同点 不同点 (1)等式与不等式都可以在它的两边加上或减去同一个整式，符号保持不变.
(2)等式与不等式两边同乘或同除以同一个正数，符号保持不变.
不等式两边同乘或同除以同一个负数，不等号的方向改变.
例 已知a＞b，比较下列两个式子的大小，并说明依据：
(1)a+3与b+3；
解：(1)因为a＞b，
所以a+3＞b+3(不等式的性质1)
(2)-2a与-2b.
解：(2)因为a＞b，
所以-2a＜-2b(不等式的性质3)
用适当的不等号填空：
(1)若 a-1(2)若 -3a<-3b，则 a____b；
(3)若 0.3a+1<0.3b+1，则 a___b.
<
>
<
两边同时加1
两边同时除以-3
0.3a<0.3b
a两边同时减1
两边同时除以0.3
不等式的性质
文字描述 数学表达
不等式基本事实1
不等式基本事实2
不等式的性质1
不等式的性质2
不等式的性质3
交换不等式两边，不等式的方向改变
不等关系可以传递
如果a＞b，那么b＜a
如果a＞b，b＞c，那么a＞c
如果 a ＞ b，那么
a ± c ＞ b ± c
不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
如果a>b，c>0，那么ac>bc(或 )
不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
如果a>b，c<0，那么ac不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
1.若a＞b﹣1，则下列结论一定正确的是（　 　）
A．a+1＜b B．a﹣1＜b C．a＞b D．a+1＞b
2.如果x＞y，那么下列正确的是（　　）
A. x+5 ≤ y+5 B. x﹣5＜y﹣5 C. 5x＞5y D.﹣5x＞﹣5y
D
C
3. 若x>y，请比较 (a-3) x 与 (a-3) y的大小.
解：当a>3时，a-3>0，(a-3)x>(a-3)y
当a=3时，a-3=0，(a-3)x=(a-3)y=0
当a<3时，a-3<0，(a-3)x<(a-3)y
注意分类讨论的思想
4.已知m＞3，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围：
(1) m+5；
解：(1)因为m＞3，
所以m+5＞3+5，即m+5＞8.
(2) ；
解：(2)因为m＞3，
所以 m ＞3 ，即 ＞2.
(3) -2m；
(4) 3m - 4；
解：(3)因为m＞3，
所以-2m＜ 3×-2，即-2m＜ -6.
解：(4)因为m＞3，
所以3m＞3×3，3m- 4＞3×3 - 4，
即 3m - 4 ＞5.
（2024 吉林）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　）
A．若a＞b，则a+c＞b+c
B．若a＞b，b＞c，则a＞c
C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc
D．若a＞b，c＞0，则
A

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