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10.2.1 代入消元法
课时2 变形后代入消元
第十章 二元一次方程组
01
进一步探索用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
02
掌握未知数系数都不是 1 或－1 时的变形有技巧.
某校计划开展课外实践活动，为了加强学生的食品安全和防范意识，该校决定组织学生前往面粉加工厂进行参观学习.
问题1 本次参加活动的师生共有400人，已知3辆小客车和2辆大客车可载150人，2辆大客车比3辆小客车多载30人.小客车和大客车每辆能坐多少人
分析：设小客车每辆能坐x 人，大客车每辆能坐y 人.
等量关系：
3辆小客车载人数+2辆大客车载人数=150；
2辆大客车载人数-3辆小客车载人数=30；
未知数系数都不是 1 或－1 ，如何解方程呢？
方法一 解：设小客车每辆能坐 x 人，大客车每辆能坐 y 人.
根据题意，可列方程组为
由①，得
把③代入②，得
解得，y=45.
把 y=45代入③，得x=20.
所以
答：小客车每辆能坐20人，大客车每辆能坐 45人.
解这个方程组时，可以先消去y吗？试试看.
方法二 解：设小客车每辆能坐 x 人，大客车每辆能坐 y 人.
根据题意，可列方程组为
由①，得
把③代入②，得
解得，x=20.
把 x=20代入③，得y=45.
所以
答：小客车每辆能坐20人，大客车每辆能坐 45人.
问题2 了解到，2台大面粉机和5台小面粉机同时工作1h加工小麦32吨；3台大面粉机和2台小面粉机同时工作1h共加工小麦26吨.1台大面粉机和1台小面粉机每小时各加工小麦多少万斤
分析：设1台大面粉机每小时加工小麦x万斤，1台小面粉机每小时加工小麦y万斤.
基本关系式：工作量=工作效率×工作时间；
等量关系式：
①2台大面粉机1小时加工量+ 5台小面粉机1小时加工量=32
②3台大面粉机1小时加工量 + 2台小面粉机1小时加工量= 26
方法一 解：设1台大面粉机每小时加工小麦x万斤，1台小面粉机每小时加工小麦y万斤.根据题意，可列方程组为
由①，得
把③代入②，得
解得y=4.
把 y=4代入③，得x=6.
所以
答：1台大面粉机每小时加工小麦6万斤，1台小面粉机每小时加工小麦4万斤.
方法二 解：设1台大面粉机每小时加工小麦x万斤，1台小面粉机每小时加工小麦y万斤.根据题意，可列方程组为
由①，得
把③代入②，得
解得，x=6.
把 x=6代入③，得y=4.
所以
答：1台大面粉机每小时加工小麦6万斤，1台小面粉机每小时加工小麦4万斤.
①若方程组含一个未知数表示另一个未知数的关系式，直接代入.
②当未知数系数为 1 或 －1 ，选该系数的方程变形.
③未知数系数都不是 1 或 －1 时，通常选系数绝对值较小的方程变形.
用代入法解二元一次方程组，变形有技巧：
问题3 面粉加工厂计划采用新技术生产A、B两种面粉，生产这两种面粉每万吨所需人数和投入资金如下表：
面粉品种 每万吨所需人数 每万吨所需投入资金(万元)
A 4 8
B 3 9
已知面粉加工人员共24位，且每人只参与一种面粉加工.生产B种面粉刚好比生产A种面粉所投资金多12万元.那么A、B两种面粉各生产多少万吨？
分析：设生产A种面粉x万吨，生产B种面粉y万吨.
等量关系式：
①加工A种面粉所需人数+加工B种面粉所需人数=24；
②加工B种面粉所投资金 - 加工A种面粉所投资金= 12
已知面粉加工人员共24位，且每人只参与一种面粉加工.生产B种面粉刚好比生产A种面粉所投资金多12万元.那么A、B两种面粉各生产多少万吨？
解：设生产A种面粉x万吨，生产B种面粉y万吨.
根据题意，可列方程组为
由①，得
把③代入②，得
解得，y=4.
把 y=4代入③，得x=3.
所以
答：设生产A种面粉3万吨，生产B种面粉4万吨.
消去y，该怎么做呢？
用代入法解二元一次方程组的一般步骤:
1.变形：用含一个未知数的式子表示另一个未知数，变形为y=ax+b(或x=ay+b)的形式；
2.代入：把y=ax+b(或x=ay+b)代入另一个没有变形的方程中，得到一元一次方程；
3.求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
4.回代：将求得的未知数的值代入其中一个方程中；
5.写解：用“{”将x，y的值联立起来.
核心思想
代入消元法解二元一次方程组
代入消元法的步骤
代入消元法的常用解题技巧
将两个未知数变成一个未知数求解---______
_______→代入→求解→
回代→写解
变形
消元
①若方程组含一个未知数表示另一个未知数的关系式，直接代入.
②当未知数系数为 1 或 －1 ，选该系数的方程变形.
③未知数系数都不是 1 或 －1 时，通常选系数绝对值_____的方程变形.
较小
1.用代入法解方程组 时，变形正确的是( )
A.由①得
C.由②得
B.由①得
D.由②得
C
2.用代入法解方程组：
4x - 3y = -2，
5x +4 y = 13.
(1)
①
②
解：(1)由 ① 得，
将 ③ 代入 ② 得：
将 y = 2 代入③得 x =1
∴原方程组的解是
y = 2.
x = 1.
y = 2
3m +2n = 17，
2m-3n+6 = 0.
(2)
2.用代入法解方程组：
4x - 3y = -2，
5x +4 y = 13.
(1)
①
②
解：(2)由 ② 得，
将 ③ 代入 ① 得：
将 n = 4 代入③得 m =3
∴原方程组的解是
n = 4.
m = 3.
n = 4
3m +2n = 17，
2m-3n+6 = 0.
(2)
①
②
3.某大学食堂共有7个大餐厅和3个小餐厅，经过测试，同时开放3个大餐厅和2个小餐厅，可供3160名学生就餐：同时开放2个大餐厅和3个小餐厅，可供2640名学生就餐.求1个大餐厅、1个小餐厅可分别供多少名学生就餐.
解：设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐.
根据题意，得
解得
答：1个大餐厅可供840名学生就餐，1个小餐厅可供320名学生就餐.
（2024 宿迁）若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，
则关于x、y的方程组 的解是_____________ ．
分析：将方程组 整理得 ，然后结
合已知条件可得x﹣2＝3，2y＝﹣2，解方程即可.

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