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10.2.2 加减消元法
课时2 变形后加减消元
第十章 二元一次方程组
01
会用加减消元法解系数都不相同或相反的二元一次方程组.
02
会根据方程组的特点选择合适的方法解方程组，进一步体会“消元”思想.
由于市场竞争，为了吸引顾客，文具店推出促销活动，具体如下：
活动1 文具店采取“组合促销”的形式促销，若顾客购买3支圆珠笔和2个笔记本共27元；若购买3个笔记本和2支圆珠笔共33元.圆珠笔和笔记本的售价分别为多少元？
分析：设每个圆珠笔的售价为x元，每个笔记本的售价为y元.
等量关系：
3支圆珠笔售价+2个笔记本售价=27元
2支圆珠笔售价+3个笔记本售价=33元
分析：这两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数，直接把这两个方程进行加减不能消元.观察这两个方程中未知数x的系数之间的关系，将①×2，②×3可以使两个方程中x的系数相等，就可以用加减法求解了.
两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数时，能直接用加减法吗？
解：由①×2，得
②×3，得
④-③，得
(消x)
利用等式的性质对方程适当变形，使得两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等.
解得
把y=9代入①，得
解得
所以
答：圆珠笔和笔记本的售价分别为3元/个，9元/个.
(消y)
③-④，得
解得
把x=3代入①，得
解得
所以
解：由①×3，得
②×2，得
思考1 观察上述加减消元法解方程组的过程，说说步骤有哪些？
步骤 具体做法 示例
加减 消元
变形
回代
写解
根据同一个未知数系数的最小公倍数，将方程的两边都乘以适当的数
当同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；当系数相等时，将两个方程相减，得到一元一次方程
解这个一元一次方程，求出一个未知数的值
将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值
用“{”将x,y的值联立起来
变形
加减
求解
回代
写解
求解
成本价 标价 售价
笔记本
圆珠笔
总计
活动2 每个笔记本在成本价的基础上提作为标价，每支圆珠笔在成本价基础上提3元作为标价，此时购买一个笔记本和一支圆珠笔共需15元.
(1)实际销售中，文具店将笔记本和圆珠笔分别打九折和八折，小浩购买了一支圆珠笔和一个笔记本共花费13元，求圆珠笔和笔记本的成本价分别是多少？
分析：设笔记本的成本价为x 元/个，圆珠笔的成本价为y 元/个.
x
y
y+3
15
0.8(y+3)
13
等量关系：
打折前1个笔记本+打折前1个圆珠笔=15元
打折后1个笔记本+打折后1个圆珠笔=13元
成本价 标价 售价
笔记本
圆珠笔
总计
x
y
y+3
15
0.8(y+3)
13
解：设笔记本的成本价为x 元，圆珠笔的成本价为y 元 .
根据题意，可列方程组为
将⑤代入④，得
即
解得
化简整理，得
由①，得
所以
答：圆珠笔和笔记本的成本价分别是8元，2元.
将x=8代入③，得
选择你认为简便的方法解题.
(2)若老板花费3300元购进的圆珠笔和笔记本，全部售完后总金额为4150元，问笔记本和圆珠笔的数量.
圆珠笔成本价8元
笔记本成本价2元
打折后笔记本售价
打折后圆珠笔售价
分析：设购进笔记本m 个，圆珠笔n 个.
等量关系：
笔记本总进价+圆珠笔总进价=3300元
笔记本总售价+圆珠笔总售价=4150元
(消y)
解得
把m=350代入①，得
解得
所以
解：由①×2，得
③-②，得
答：笔记本的数量为350个，圆珠笔为250个.
思考2 加减消元解二元一次方程组的基本思路是什么？
解方程组的基本思想是消元. 代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同，应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法.
例 (1)解下面的方程组：
解：令
①×0.6，得
③-②，得
即
把x=-1代入①，得
所以这个方程组的解是
解：令
①+②，得
即
把x=2代入①，得
所以这个方程组的解是
(2)选择你认为简便的方法解下题.
我国古代数学著作《孙子算经》(成书于公元 400 年前后)中有“鸡兔同笼”问题:"今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡免各几何.”你能用二元一次方程组表示问题中的数量关系吗 试找出问的解.
解：设有鸡 x 只，有兔 y 只.
由题意，得
①×2, 得
②- ③ ，得
解得
把 y = 12 代入 ①，得
原方程组的解是
答：有鸡 23 只，有兔 12 只.
思考3 解方程组时，如何选择较简单的解法？
(1)当方程组中某一个未知数的系数是±1或一个方程组的常数项为0时，优先考虑代入法；
(2)当方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数时，用加减法较简单；
(3)当两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数时，用加减法更简单.
巧选二元一次方程组的解法
核心思想
加减消元法解二元一次方程组
加减消元法的步骤
加减消元法的常用解题技巧
将两个未知数变成一个未知数求解---______
_______→加减→求解→
回代→写解
变形
消元
①同一个未知数的系数相等或互为相反数：用加减消元法.
②同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数：利用等式的性质对方程适当变形，使得两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等.
1.用加减消元法解方程组 时，下列步骤可以消去未知数y的是（　　）
A. ①×2－②×3 B. ①×3－②×2
C. ①×3＋②×2 D. ①×2＋②×3
D
2．已知点P(a，b)的坐标满足二元一次方程组则点P所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B
3．解方程组：
解：①×5－②×7，得11x＝22，解得x＝2.
把x＝2代入①，得y＝1.
∴原方程组的解为
4.某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车.已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车贵6万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共93万元.求A，B两种型号的新能源汽车的单价分别是多少万元.
解：设A种型号的新能源汽车的单价是x万元，B种型号的新能源汽车的单价是y万元.根据题意，得 解得
答：A，B两种型号的新能源汽车的单价分别是21万元和36万元
（2020 浙江）用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中无法消元的是（　　）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣①
C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
D

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