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10.2.2 加减消元法
课时1 直接加减消元
第十章 二元一次方程组
01
会用直接加减消元法解二元一次方程组.
02
进一步理解二元一次方程组中“消元”和化归思想.
开学了！某文具店根据市场需求，计划采购一批笔记本和圆珠笔销售，请你帮忙解决下面的问题.
问题1 已知该文具店购买一个笔记本和一支圆珠笔共8元，1个笔记本比1个圆珠笔贵6元. 求每个笔记本和圆珠笔的进价分别是多少元？
分析：设每个笔记本的进价为x元，每个圆珠笔的进价为y元.
等量关系：
笔记本进价+圆珠笔进价=8元
笔记本进价-圆珠笔进价=6元
(消x)解：设每个笔记本的进价为x元，每个圆珠笔的进价为y元 .
根据题意，可列方程组为
由②得，
把③代入①，得
解所得的一元一次方程组，得 y=1.
把y=1代入③，得x=7.
所以
答：每个笔记本的进价为7元，每个圆珠笔的进价为1元 .
(消y)
由②得，
把③代入①，得
解所得的一元一次方程组，得 x=7.
把x=7代入③，得 y=1.
所以
答：每个笔记本的进价为7元，每个圆珠笔的进价为1元 .
解法二：
由①-②得，
即
把y=1代入①，得
解得
所以
注意到这个方程组的未知数x的系数相同（都是1）.①-②可以消去未知数x.
思考 观察方程组 的两个方程，x的系数有什么关系？利用这种关系你发现了新的消元方法吗？
①-②就是用方程①的左边减去②的左边，方程①的右边减去方程②的右边.
(消x)
解法二：(消y)
由①+②得，
得，
把x=7代入①，得
解得
所以
答：每个笔记本的进价为7元，每个圆珠笔的进价为1元 .
注意到这个方程组的未知数y的系数互为相反数.把这两个方程的左、右两边分别相加，能得到什么结果？
也可把x=7代入②，得y.试一试.
从上面方程组的解法可以看出，当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解.
这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法.
加减消元法
问题2 若该文具店从厂家购进笔记本和圆珠笔共60个，花费294元．销售时，笔记本在进价的基础上增加50%销售，圆珠笔按每个获利1元销售．若全部售完，可获利多少元？(已知每个圆珠笔的进价是1元，每个笔记本的进价是7元)
分析：设圆珠笔的数量为x支，笔记本的数量为y个.
进价/元 利润/元 数量/件
圆珠笔
笔记本
1
7
1
7×50%
x
y
等量关系：
圆珠笔的数量+笔记本的数量=60
购买圆珠笔金额+购买笔记本金额=294
解：设圆珠笔的数量为x支，笔记本的数量为y个 .
根据题意，可列方程组为
②-①，得
解得
把y=39代入①，得 x =21.
所以
答：按标价出售笔记本和圆珠笔，全部售完共可获利157.5元 .
问题3 七年级某班主任在该文具店购买这种笔记本和圆珠笔作为学生的奖励，已知156元刚好买到笔记本数量和圆珠笔数量的2倍总和为30个，求班主任购买的笔记本和圆珠笔的数量(已知该笔记本售价为10元/个，圆珠笔售价为2元/支)
分析：设购买圆珠笔x 支，购买笔记本y 个.
等量关系：
2×圆珠笔数量+笔记本数量=30
购买圆珠笔金额+购买笔记本金额=156
解：设购买圆珠笔x 支，笔记本y 个 .
根据题意，可列方程组为
②-①，得
解得
把y=14代入①，得
解得
所以
答：班主任购买圆珠笔8支，笔记本14 个 .
问题4 八年级某一位班主任也效仿这种奖励制度购买了一批笔记本和圆珠笔，通过计算发现，笔记本数量的2倍和一半圆珠笔的数量的总数为25个，购买笔记本数量的3倍比一半圆珠笔的数量多10个，求出该老师购买笔记本和圆珠笔的数量.
分析：设购买笔记本x 个，购买圆珠笔y 支.
等量关系：
2×笔记本数量+×圆珠笔数量=25
3×笔记本数量-×圆珠笔数量=10
解：设购买笔记本x 个，圆珠笔y 支 .
根据题意，可列方程组为
①+②，得
解得
把x=7代入①，得
解得
所以
答：该老师购买笔记本7本，圆珠笔22 支 .
1.消元实质
二元一次方程组
消 元
加减法
一元一次方程
2.加减法的一般步骤
加减
回代
写解
求解
1. 用加减法解方程组
6x+7y=－19①
6x-5y=17 ②
应用( )
A.①-②消去y
B.①-②消去x
C.②- ①消去常数项
D.以上都不对
B
2. 方程组 的解是 __________ ．
2x + 3y = 7，①
x - 3y = 8. ②
3．解方程组：
(1) (2)
解：（1）得
把代入①得
所以这个方程组的解是
（2）
把代入②，得
所以这个方程组的解是
4.已知关于x，y的方程组
（1） 若方程组的解满足方程3x－4y＝1，求k的值；
（2） 请你给出k的一个值，使方程组的解中x，y的值都是正整数，并直接写出方程组的解.
解：（1） 由 得
把x＝2k－1，y＝k－3代入3x－4y＝1，
得3(2k－1)－4(k－3)＝1，解得k＝－4
（2） 答案不唯一，如k＝5，则x＝2×5－1＝9，y＝5－3＝2，
即方程组的解为
（2021 益阳）解方程组 时，若将①﹣②可得（　　）
A．﹣2y＝﹣1 B．﹣2y＝1
C．4y＝1 D．4y＝﹣1
D

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