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2026年中考第二轮复习之二次函数的性质
二次函数是中考压轴题的重中之重，尤其第二轮复习更需要综合性和技巧性。1)快速提炼函数特征的“三看”法（系数、对称轴、特殊点），2)涉及对称性、最值、交点问题的具体破解套路，3)含参动态问题的处理逻辑（定轴动区间、动轴定区间等）。
拿到解析式（无论是标准形式、顶点式还是交点式），立刻完成“三看”：
看“a”定基调：
a > 0→ 开口向上 → 有最小值 → 重点关注顶点和端点。
a < 0→ 开口向下 → 有最大值 → 重点关注顶点和端点。
看“轴”定对称：
对称轴公式 x =-必须瞬间反应。对称轴是所有问题的脊柱，决定了函数值的分布、点的配对、增减性区间。
看点”定特殊：
看与y轴交点：(0, c)。常用来求c，或结合其他点。
看顶点：顶点坐标 (-, )是核心中的核心，尤其是最值问题。
看与x轴交点：令y=0，方程的根（即交点横坐标）是解题关键，判别式 Δ = b -4ac决定了交点个数。
快招口诀：见式先定型（开口），见轴先想称（对称）。
当中考题把二次函数包装在各种情境下时，本质是以下几类问题。你需要形成“反射”：
问题类型 题干关键词/暗示 条件反射与快招
1. 最值问题 “最大利润”、“最高点”、“最短距离”、“最小面积” 三步走：
1. 建模型：列出二次函数解析式。
2. 定范围：确定自变量x的取值范围（关键！常藏在应用题情景中）。
3. 判顶点：看顶点横坐标是否在取值范围内。
- 若在：最值=顶点纵坐标。
- 若不在：最值在端点处取得，代入端点值比较。
2. 对称性问题 “两点到对称轴距离相等”、“A、B关于对称轴对称”、“函数值相等” 核心：若点 (m, y )与 (n, y )在抛物线上，且 y = y ，则 =对称轴横坐标。
这是求对称轴、求点坐标的利器。
3. 图象变换与系数符号判断 给图象，判断 a, b, c, Δ, 特殊式的符号 “五看”法：
一看开口定 a；
二看y轴交点定 c；
三看对称轴（位置）结合a定 b（左同右异）；
四看与x轴交点个数定 Δ；
五看特殊点（如x=1时，y=a+b+c的值）。
4. 交点与方程根的问题 “抛物线与直线有交点”、“抛物线与x轴有公共点” 统一思想：联立方程，化为根的判别问题。
与x轴：方程 ax +bx+c=0的 Δ。
与直线y=kx+m：联立得 ax +(b-k)x+(c-m)=0，用 Δ判断。
注意：交点横坐标就是对应方程的根。
这是压轴题的难点。关键在于将动态问题“冻结”在某个瞬间，用静态方法分析。
“定轴动区间”求最值：
对称轴固定，但自变量x的范围（区间）在动。
解题步骤：画出对称轴和区间相对位置的三种情况图（区间在轴左、区间包含轴、区间在轴右），分类讨论最值。
“动轴定区间”求最值：
对称轴（含参数）在动，区间固定。
解题步骤：同样画出对称轴相对于固定区间的三种位置图，列出含参数的表达式，分类讨论。
“动点存在性问题”（如构成特殊三角形、平行四边形）：
核心流程：设出动点坐标 → 用两点间距离公式/中点坐标公式表示所需几何条件 → 代入抛物线解析式 → 列方程求解。
快招：平行四边形多用中点坐标公式（对角线中点重合）；直角三角形多用勾股定理或两直线垂直斜率积为-1
1．对于抛物线，下列判断不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小
2．若抛物线可由抛物线平移得到，且顶点坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
3．若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接）
4．已知抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为___________．
5．如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是_____．
6．已知抛物线经过和两点，则h的值为________．
7．已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为1，则常数h的值是___________．
8．定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则a的值为______．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点C是线段AB上的动点，且反比例函数 的图象经过点C．
（1）当点C为的中点时，k的值为_______
（2）当点C在线段上运动时，k的取值范围是______
10．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________．
11．已知二次函数，当时，的取值范围是________．
12．已知抛物线的顶点为，且经过点．点为抛物线上四个点．
(1)直接写出抛物线的解析式和顶点；
若点A、D位于第二象限，点B、C位于第一象限，满足，与交于，中点为M，中点为N．
(2)①求证：、、三点共线；
②若，，求．
13．已知函数，请按要求填空或解答问题：
(1)函数图象的对称轴是直线__________，顶点坐标是__________．
(2)画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当取何值时，函数值；
(3)利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程的解．
14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)一个二次函数的图象经过B，C，三点，其中，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O，B不重合）．
①若D点的坐标为，求t的值；
②用t表示和，并求的最大值．
1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为
C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大
3．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则__________．
4．（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点．
(1)二次函数的图像如图所示．
①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____；
②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由．
(2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式．
5．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为．
(1)______；
(2)求点C的坐标；
(3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围．
6．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示．
… 0 1 …
… 1 …
(1)求二次函数的表达式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
(3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值．
7．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点．
(1)求抛物线表示的函数解析式；
(2)若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积．
1．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________．
2．在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______．
3．如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 _____．
2026年中考第二轮复习之二次函数的性质
二次函数是中考压轴题的重中之重，尤其第二轮复习更需要综合性和技巧性。1)快速提炼函数特征的“三看”法（系数、对称轴、特殊点），2)涉及对称性、最值、交点问题的具体破解套路，3)含参动态问题的处理逻辑（定轴动区间、动轴定区间等）。
拿到解析式（无论是标准形式、顶点式还是交点式），立刻完成“三看”：
看“a”定基调：
a > 0→ 开口向上 → 有最小值 → 重点关注顶点和端点。
a < 0→ 开口向下 → 有最大值 → 重点关注顶点和端点。
看“轴”定对称：
对称轴公式 x =-必须瞬间反应。对称轴是所有问题的脊柱，决定了函数值的分布、点的配对、增减性区间。
看点”定特殊：
看与y轴交点：(0, c)。常用来求c，或结合其他点。
看顶点：顶点坐标 (-, )是核心中的核心，尤其是最值问题。
看与x轴交点：令y=0，方程的根（即交点横坐标）是解题关键，判别式 Δ = b -4ac决定了交点个数。
快招口诀：见式先定型（开口），见轴先想称（对称）。
当中考题把二次函数包装在各种情境下时，本质是以下几类问题。你需要形成“反射”：
问题类型 题干关键词/暗示 条件反射与快招
1. 最值问题 “最大利润”、“最高点”、“最短距离”、“最小面积” 三步走：
1. 建模型：列出二次函数解析式。
2. 定范围：确定自变量x的取值范围（关键！常藏在应用题情景中）。
3. 判顶点：看顶点横坐标是否在取值范围内。
- 若在：最值=顶点纵坐标。
- 若不在：最值在端点处取得，代入端点值比较。
2. 对称性问题 “两点到对称轴距离相等”、“A、B关于对称轴对称”、“函数值相等” 核心：若点 (m, y )与 (n, y )在抛物线上，且 y = y ，则 =对称轴横坐标。
这是求对称轴、求点坐标的利器。
3. 图象变换与系数符号判断 给图象，判断 a, b, c, Δ, 特殊式的符号 “五看”法：
一看开口定 a；
二看y轴交点定 c；
三看对称轴（位置）结合a定 b（左同右异）；
四看与x轴交点个数定 Δ；
五看特殊点（如x=1时，y=a+b+c的值）。
4. 交点与方程根的问题 “抛物线与直线有交点”、“抛物线与x轴有公共点” 统一思想：联立方程，化为根的判别问题。
与x轴：方程 ax +bx+c=0的 Δ。
与直线y=kx+m：联立得 ax +(b-k)x+(c-m)=0，用 Δ判断。
注意：交点横坐标就是对应方程的根。
这是压轴题的难点。关键在于将动态问题“冻结”在某个瞬间，用静态方法分析。
“定轴动区间”求最值：
对称轴固定，但自变量x的范围（区间）在动。
解题步骤：画出对称轴和区间相对位置的三种情况图（区间在轴左、区间包含轴、区间在轴右），分类讨论最值。
“动轴定区间”求最值：
对称轴（含参数）在动，区间固定。
解题步骤：同样画出对称轴相对于固定区间的三种位置图，列出含参数的表达式，分类讨论。
“动点存在性问题”（如构成特殊三角形、平行四边形）：
核心流程：设出动点坐标 → 用两点间距离公式/中点坐标公式表示所需几何条件 → 代入抛物线解析式 → 列方程求解。
快招：平行四边形多用中点坐标公式（对角线中点重合）；直角三角形多用勾股定理或两直线垂直斜率积为-1
1．对于抛物线，下列判断不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由解析式得出抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标是，当时，随的增大而减小，由此逐项判断即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：A、，
抛物线的开口向下，故A正确，不符合题意；
B、，
对称轴为直线，故B正确，不符合题意；
C、，
抛物线的顶点坐标是，故C不正确，符合题意；
D、抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，故D正确，不符合题意；
故选：C．
2．若抛物线可由抛物线平移得到，且顶点坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的顶点式：由平移性质得，再根据顶点坐标写出顶点式函数，展开得一般式后求值．
【详解】∵抛物线可由平移得到，
又∵顶点坐标为，
∴抛物线为．
展开得，
故选：A。
3．若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接）
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离后比较大小即可得出结论．
【详解】解：由抛物线可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线．
对于开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大，
计算各点到对称轴的水平距离：
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
∵，
∴．
4．已知抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，二次函数的对称轴，与y轴的交点为．由抛物线对称轴是y轴，得，代入求出，再代入解析式得到，最后求顶点坐标即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴，
∴对称轴方程为，
解得，代入得，
当时，，
∴顶点坐标为．
故答案为．
5．如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是_____．
【答案】
【分析】本题考查图形的平移、二次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，得到点、的坐标，根据抛物线，求得、的值，进而求出点到点的距离即可．
【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，
则点、，
由于点、都在抛物线上，
则，
解得，
将代入得：，
∴，
故答案为：．
6．已知抛物线经过和两点，则h的值为________．
【答案】1
【分析】本题考查了二次函数的对称性以及对称轴，观察点和，它们关于对称轴对称，据此即可作答．
【详解】解：∵抛物线经过点和两点，且和两点的纵坐标相等，
∴点和关于对称轴对称，
即．
故答案为：1．
7．已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为1，则常数h的值是___________．
【答案】0或7/7或0
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的性质得到图象开口向下，对称轴为，最大值为9，再分3种情况讨论：①；②；③，利用二次函数的性质求出y取最大值时对应x的值，从而得到关于h的方程，即可求出h的值．
【详解】解：∵二次函数，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为，最大值为9，
①若，当时，y随着x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值1，
∴，
解得或（舍去）；
②若，当时，y取得最大值9，不符合题意，舍去；
③若，当时，y随着x的增大而增大，
∴当时，y取得最大值1，
∴，
解得或（舍去）；
∴综上所述，常数h的值是0或7．
故答案为：0或7．
8．定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则a的值为______．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义并应用到二次函数中解决问题是解决本题的关键；难点是得到用表示的点的坐标．
把所给抛物线解析式整理成顶点式，可得和的值，易得，则可得用表示的的值及的值，进而可得用表示的的式子，把用表示的代入抛物线解析式，可得的值．
【详解】解：，
，，
抛物线的“相对深度”为6，
，
，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点C是线段AB上的动点，且反比例函数 的图象经过点C．
（1）当点C为的中点时，k的值为_______
（2）当点C在线段上运动时，k的取值范围是______
【答案】
【分析】本题考查一次函数、反比例函数和二次函数，解题的关键是求出直线的解析式，得到k是关于m的二次函数．
（1）先计算出C的坐标，再利用待定系数法即可求出答案；
（2）先求出直线的解析式，设可得，将代入反比例函数即可得到k是关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求出k的取值范围．
【详解】解：（1）∵点C为的中点，
∴点C的坐标为 即，
，解得．
（2）设直线的解析式为，
将点代入，得：
，解得 ，
∴直线的解析式为
设点，则
∵反比例函数 的图象经过点C，
，
，
∵k是关于m的二次函数，对称轴为直线，
∴当时，k有最大值，
．
10．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（）和二次函数（） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解．
【详解】解：当时，函数值；当时，函数值．
∵，
∴，那么最大值与最小值的差为：．
二次函数（）图象开口向上，对称轴为．
情况一：当，即时 当时，函数值；当时，函数值．
∵，
∴此时，最大值与最小值的差为：．
令，
∴，
∵，
∴解得．
情况二：当时 当时，函数值；当时，函数值．
∵，此时，最大值与最小值的差为：． 令，等式两边同时减得到，
∵，解得．
情况三：当，即时,
当时，．
当时，函数值；
当时，函数值．
当时，即，
∴，
∴
此时
∴，
解得（舍去）或（舍去），
当时，即，
∴，
∴
此时
∴（舍去）或（舍去）
综上所述，或
故答案为：或
11．已知二次函数，当时，的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到顶点坐标和函数的增减性，进而确定函数值的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，函数有最小值，在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，且离对称轴越远，函数值越大，
∵，且当时，，
∴，
故答案为：．
12．已知抛物线的顶点为，且经过点．点为抛物线上四个点．
(1)直接写出抛物线的解析式和顶点；
若点A、D位于第二象限，点B、C位于第一象限，满足，与交于，中点为M，中点为N．
(2)①求证：、、三点共线；
②若，，求．
【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为
(2)①证明见解析；②9
【分析】（1）根据题意得抛物线的解析式为，顶点为原点；
（2）①设、、、，其中、，、，利用待定系数法求得直线、、、的解析式，设、，进而得到，则直线与轴平行，设直线与线段、的交点分别为、，进而得到，从而得出结论；
②由（2）知直线与轴平行，根据题意得、，进而求得，过点作的平行线，交于点E，根据相似三角形的性质得到，进而得到、，从而得到．
【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，且经过点，
则设抛物线的解析式为，
将点代入得，
解得，
因此，抛物线的解析式为，顶点坐标为；
（2）①证明：设、、、，其中、，、，
若、，则轴，
由对称性可知，、、均在y轴上，则、、三点共线；
若、，
设直线的解析式为，
将、代入得，
，
解得，
则直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
设、，
因为，
则，
由于中点为M，中点为N，
则点、，
因此，
则直线与轴平行，
设直线与线段、的交点分别为、，
将代入直线的解析式为得：
，
将代入直线的解析式为得：
，
则得：
则，
即P、Q为线段与的交点H，
因此，、、三点共线；
②解：由①知直线与轴平行，
由，得、
则，，
由①知，
则，
即，
，
即，
由得：，
即，
整理得，
则，
过点作的平行线，交于点E，
则四边形为平行四边形，
则，，
因为，
则，
即，
因为中点为M，中点为N，
则，，
因此．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，相似三角形的性质和判定，二次函数的图象性质、平行线的性质、整式的化简，熟练掌握待定系数法求解析式，二次函数的图象性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键．
13．已知函数，请按要求填空或解答问题：
(1)函数图象的对称轴是直线__________，顶点坐标是__________．
(2)画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当取何值时，函数值；
(3)利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程的解．
【答案】(1)，
(2)图象见解析，当时，函数值
(3)
【分析】根据二次函数的图象与性质，画二次函数图象，利用函数图象求函数值．
（1）直接根据二次函数的性质求解即可；
（2）用五点法画图，再根据图象作答即可；
（3）根据图象求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是．
故答案为：，；
（2）解：列表，
x 0 1
y 0 0
如图，
由图象可知，当时，函数值；
（3）解：方程的解即为与的交点横坐标，
由图象可知，．
14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)一个二次函数的图象经过B，C，三点，其中，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O，B不重合）．
①若D点的坐标为，求t的值；
②用t表示和，并求的最大值．
【答案】(1)，，
(2)①；②，，的最大值为
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性和最值是解题关键．
（1）令，求出的值即可得点，的坐标，再根据二次函数的顶点式即可得顶点的坐标；
（2）①先求出二次函数的对称轴为直线，再根据点，关于对称轴对称可得，由此即可得；
②设点的坐标为，根据二次函数的对称性可得，则，再求出，的值，然后求出，利用二次函数的性质求最值即可得．
【详解】（1）解：令，则
解得或，
二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），
，，
二次函数的顶点为，
；
（2）解：①由（1）可知，，，
这个二次函数的图象经过点，，
这个二次函数的对称轴为直线，
又这个二次函数的图象经过点，，
点，关于对称轴对称，
解得；
②由题意，设点的坐标为，
这个二次函数的图象经过点，，
这个二次函数的对称轴为直线，
又这个二次函数的图象经过点，，
，
，
，
点在线段上（与点O，不重合），
，，
又点在线段上（与点O，不重合），
，
，
由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为，
综上，，，的最大值为．
1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可．
【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意；
B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意；
C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意；
D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意；
故选：C．
2．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为
C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据二次函数的图象与性质即可解答．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，
∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意；
因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意．
故选：B．
3．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则__________．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，根据题意，易证，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，
∴轴，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
4．（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点．
(1)二次函数的图像如图所示．
①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____；
②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由．
(2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式．
【答案】(1)①②猜想，理由见解析
(2)或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，新定义，是解题的关键：
（1）①令，得到，进而得到，根据新定义，进行讨论即可得出结果；
②点在直线上，得到，由①可知，再根据与的图像有2个交点，得到，即可得出结果；
（2）把代入函数表达式，得到，令，得到，分3种情况求解即可．
【详解】（1）解：①当时，，
∴，
∴，
∴当时，，
此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意；
当时，，
∴当点在线段上时，，满足题意；
当时，，
∴直线上不存在点使，不满足题意；
综上：使该函数图像有生长点的的值是；
②猜想，理由如下：
∵点在直线上，
∴，
由（1）知：当时，此时，
∴当时，，此时直线上不存在点使，
∴；
又∵过点作轴的垂线与的图像交于点，
而的最小值为，
∴；
∴；
（2）∵二次函数（h、k为常数）的图像经过点，
∴；
∵是该函数图像的生长点，
∴，
当时，则：，
∴，
∴，
∴，
①当点在线段上时，则：，
∴，
解得，
把代入，得：或，
当时，，满足题意；
当时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去；
∴；
②当点在点的左侧时，则：，
∴，
∴，
∴，
把，代入，得：，
此时，符合题意；
∴；
③当点在点的右侧时，则：，
∴，
∴，
把，代入，得：，
∴
此时，点不在点的右侧，不符合题意，舍去；
综上：或．
5．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为．
(1)______；
(2)求点C的坐标；
(3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键．
（1）求出时，函数的函数值，得到点坐标，即可得出结果；
（2）根据点落在x轴正半轴上，得到点向下平移了个单位，进而得到点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，进而求出的纵坐标，代入函数解析式，求出点坐标即可；
（3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把点坐标代入，求出解析式，进而根据二次函数的图像和性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，
∴，
∴；
故答案为：3；
（2）解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上，
∴点向下平移个单位，
∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，
∵点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为；
∵点在线段上，即点在直线上，
∴当时，，
∴；
（3）解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．
∴，把代入，得：，
∴，
∴，
∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上，
∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，
∴新的抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
∴，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为，
∵对于满足的任意实数，总成立，
∴或，
∴或．
6．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示．
… 0 1 …
… 1 …
(1)求二次函数的表达式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
(3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)；见解析
(3)或
【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解；
（3）分四种情况解答，即可求解．
【详解】（1）解：把点代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：，
∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，
∴点关于直线的对称点为，
画出函数图象，如图，
（3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线，
当，即时，
最大值在，最小值在 ，差为：
当时，，当时，，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴
解得故舍去
当，即时，
当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为，
当时，取得最大值，最大值为，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴，
解得：或（舍去）；
当，即时，此时最小值为，，
当时，取得最大值，最大值为，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴，
解得：或（舍去），
当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即，
最小值在，最大值在 ，差为：
当时，，当时，，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴
解得故舍去
综上所述，n的值为或．
7．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点．
(1)求抛物线表示的函数解析式；
(2)若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)10
【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积
（1）分别把，代入函数中，可求得点，，将点D坐标代入函数，求出k的值，即可解答；
（2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为，因此轴，，过点D作于点E，则，根据三角形的面积公式可求出；把代入函数中，求得，因此，再根据即可解答．
【详解】（1）解：把代入函数中，得，
解得，
∴，
把代入函数中，得，
∴，
∵抛物线为常数）经过点，
∴，解得，
∴抛物线表示的函数解析式为；
（2）解：∵抛物线的函数解析式为，
∴顶点P的坐标为，
∵，
∴轴，，
过点D作于点E，则，
∴；
把代入函数中，得，
解得，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴
∴．
1．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________．
【答案】
【分析】点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解．
【详解】解：将点代入抛物线中，解得，
∴抛物线解析式为，
设CD、EF分别与轴交于点M和点N，
当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，
此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中，
得到：，
解得，(负值舍去)，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．
2．在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∵，，
∴，
∴；
∵，，，
∴，
由题意可知，存在，
∴，且离对称轴最远，离对称轴最近，
∴，
∴且，
∵，，
∴且，
解得．
故答案为：，．
3．如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 _____．
【答案】＜t＜1/0.6【分析】根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可得y1＝y2＝y3＝m，求出x3的范围，进而求出t的范围．
【详解】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，
由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），
∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，
∴2＜x3＜，
∴t＝＝，
∴＜t＜1．
故填：＜t＜1
【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、函数值的取值范围等知识点，熟练掌握各知识点，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
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