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电磁感应中的单双棒运动问题
命题预测 电磁感应中单、双导体棒运动问题，是2026高考物理核心高频考点，预计将以计算题形式呈现，作为力学与电磁学综合题型考查，兼具基础性和选拔性。该题型以导轨滑杆为经典模型，串联法拉第电磁感应定律、楞次定律、安培力公式等核心知识，融合力学运动分析、动量定理、能量守恒规律，全面考查学生知识迁移、多过程分析与综合解题能力，是区分物理学科素养的关键题型，也是高考物理的重难点内容。 2026年考查将聚焦两类模型，单棒问题侧重考查导体切割磁感线的感应电动势、安培力求解，以及导体棒在合力作用下，从变加速运动到匀速直线运动的状态变化，基础设问覆盖速度、电荷量、焦耳热计算；双棒问题难度更高，重点考查两棒相互作用下的系统动量守恒、能量转化守恒，常围绕最大共速、回路电功率、系统内能增量等设问。备考需夯实基础规律，梳理模型解题思路，强化专项练习，突破动量与能量结合的解题难点，提升答题准确率与速度。
高频考法 1.不含容单棒问题 1.1.含容单棒问题 1.2.等间距双棒问题 1.3.不等间距双棒问题
考向一不含容单棒问题
模型 规律
阻尼式(导轨光滑) 1、力学关系：FA=BIl=B2l2v R+r；a=FA m=B2l2v m(R+r)2、能量关系：1 2mv2 0-0=Q 3、动量电量关系：-BI l Δt=0-mv0；q=nΔ R+r=Bl Δs R+r
电动式(导轨粗糙) 1、力学关系：FA=B(E-E反) R+rl=B(E-Blv) R+rl；a=FB-μmg m=
B(E-Blv) m(R+r)l-μg 2、动量关系：BLq-μmgt=mvm-0 3、能量关系：qE=Q+μmgS+1 2mv2 m 4、稳定后的能量转化规律：IminE=IminE反+I2 min(R+r)+μmgvm 5、两个极值：(1)最大加速度：v=0时,E反=0,电流、加速度最大。 Im=RE+r；Fm=BIml；am=Fm-mμmg
（2）最大速度：稳定时，速度最大，电流最小。 Imin=E-Blvm R+r,μmg=Fmin=BIminl=BE-Blvm R+rl
1
发电式(导轨粗糙) 1、力学关系：a=F-FB-μmg m=F m-B2l2v m(R+r)-μg
2、动量关系：Ft-BLq-μmgt=mvm-0 3、能量关系：Fs=Q+μmgS+1 2mv2 m 4、稳定后的能量转化规律：Fvm=(BLvm)2 +μmgvm R+r 5、两个极值： (1)最大加速度：当v=0时，am=F-μmg m。=F m-B2l2vm m(R+r)-μg=(2)最大速度：当a=0时，a=F-FB-μmg m
0
考向二含容单棒问题
模型 规律
放电式(先接1，后接2。导 轨光滑) 1、电容器充电量：Q0=CE 2、放电结束时电量：Q=CU=CBlvm 3、电容器放电电量：ΔQ=Q0-Q=CE-CBlvm 4、动量关系：BI l Δt=BlΔQ=mvm；vm=BlCE m+B2l2C5、功能关系：W安=1 2mv2 m=m(BlCE)2 2(m+B2l2C)2
无外力充电式(导轨光滑) 达到最终速度时：
1、电容器两端电压：U=Blv(v为最终速度) 2、电容器电量：q=CU 3、动量关系：-BI l Δt=-Blq=mv-mv0；v=mv0 m+B2l2C
有外力充电式(导轨光滑) 1、力学关系：F-FA=F-BLI=ma 2、电流大小：I=ΔQ Δt=CΔU Δt=CBlΔv Δt=CBla3、加速度大小：a=F m+CB2L2
考向三双棒问题
模型 规律
1、电流大小：I=Blv2-Blv1 R1+R2=Bl(v2-v1) R1+R2
2、稳定条件：两棒达到共同速度 3、动量关系：m2v0=(m1+m2)v
2
无外力等距式(导轨光 滑) 4、能量关系：1 2m2v2 0=1 2(m1+m2)v2共+Q；Q1 Q2=R1 R2
有外力等距式(导轨光 滑) 1、电流大小：I=Blv2-Blv1 R1+R2。(任意时刻两棒加速度)2、力学关系：a1=FA m1；a2=F-FA m2
3、稳定条件：当a2=a1时，v2-v1恒定；I恒定；FA恒定；两棒匀加速。 4、稳定时的物理关系： F=(m1+m2)a；FA=m1a；FA=BIl=BBl(v2-v1) R1+R2l；
v2-v1=(R1+R2)m1F B2l2(m1+m2)
无外力不等距式 (导轨光滑) 1、动量关系：-BL1I Δt=m1v1-m1v0；-BL2I Δt=m2v2-0 2、稳定条件：BL1v1=BL2v2 3、最终速度：v1=m1L2v0；v2=m1L2L1v0m1L2 2+m2L2m1L2 2+m2L24、能量关系：Q=1 2m1v2 0-1 2m1v2 1-1 2m2v2
5、电量关系：BL2q=m2v2-0
有外力不等距式 (导轨光滑) F为恒力，则：
1、稳定条件：l1a1=l2a2，I恒定，两棒做匀加速直线运动 2、常用关系：a1=F-FA1 m1；a2=FA2 m2；l1a1=l2a2；FA1 FA2=l1 l23、常用结果：FA1=l2 1m2F；FA2=l1l2m2F；l2 1m2+l2 2m1l2 1m2+l2 2m1a1=l2F；a2=l1l2F；l2 1m2+l2 2m1l2 1m2+l2 2m1此时回路中电流为：I=l1m2 F B与两棒电阻无关l2 1m2+l2 2m1
典例·靶向·突破
题型01 不含容单棒问题
1.如图所示，两足够长平行导轨倾斜固定在水平面上，倾角为α=37°，两导轨之间的距离为L=1m，导轨
顶端用导线连接一阻值为R=1.5Ω的定值电阻。长为L=1m、质量为m=0.5kg、阻值为r=1.0Ω的导
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体棒ab垂直导轨放置，水平虚线MN下侧存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B= 1.0T。现将导体棒ab从虚线上侧s=2m处静止释放，导体棒ab越过虚线MN后经t=3.1s的时间刚好匀速。已知导体棒与导轨之间的动摩擦因数μ=0.25，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，忽略导轨和导线的电阻。则( )
A.导体棒ab在磁场中做匀加速直线运动
B.导体棒ab在磁场内的运动过程中，减少的机械能等于回路中产生的焦耳热
C.导体棒ab从越过虚线MN到刚好匀速的过程中位移为14.25m
D.导体棒ab从越过虚线MN到刚好匀速的过程中定值电阻R上产生的焦耳热为QR=26.25J【答案】C
【详解】A．导体棒进入磁场后，导体棒的速度逐渐增大，产生的感应电动势逐渐增大，回路电流逐渐增大，导体棒受到的安培力逐渐增大，导体棒受到的合力逐渐减小，导体棒的加速度逐渐减小，所以导体棒ab在磁场中先做加速度逐渐减小的加速运动，当导体棒的加速度为0时，导体棒的速度达到最大，故A错误；
B．根据能量守恒可知，导体棒ab在磁场内的运动过程中，减少的机械能等于回路中产生的焦耳热和因摩擦产生的内能之和，故B错误；
CD．导体棒ab从释放到刚运动到虚线MN处的过程，由动能定理得mgsinα s-μmgcosα s=1 2mv2
解得v=4m/s
设导体棒ab的最大速度为vm，导体棒上的感应电动势为Em=BLvm
导体棒上的感应电流为Im= Em R+r
导体棒ab所受的安培力大小为F=BImL
导体棒速度最大时，由力的平衡条件得mgsinα-μmgcosα=F
联立解得vm=5m/s
导体棒ab从进入磁场到速度最大的过程中，设导体棒ab的位移为x，由动量定理得 mgsinα t-μmgcosα t-BLI t=mvm-mv
其中q=I t= ΔΦ R+r t=BLx
R+r t=
联立解得x=14.25m
该过程由动能定理得mgsinα x-μmgcosα x-W安=1 2mv2 m-1 2mv2
解得W安=26.25J
由功能关系可知整个电路上产生的焦耳热为Q=W安=26.25J
该过程定值电阻上产生的焦耳热为QR= R R+rQ=15.75J，故C正确，D错误。
4
故选C。
题型02 含容单棒问题
2.如图，两条平行的金属导轨所在平面与水平面成一定夹角θ，间距为d。导轨上端与电容器连接，电容器 电容为C。导轨下端与光滑水平直轨道通过绝缘小圆弧平滑连接，水平直轨道平行且间距也为d，左侧 末端连接一阻值为R的定值电阻。导轨均处于匀强磁场中，磁感应强度大小均为B，方向分别垂直导轨 所在平面。质量为m，电阻为r，宽度为d的金属棒MN从倾斜导轨某位置由静止释放，保证金属棒运动 过程始终与平行导轨垂直且接触良好，金属棒下滑到两个轨道连接处时的速度刚好是v，重力加速度为 g，忽略导轨电阻，水平导轨足够长。则下列说法正确的是( )
A.金属棒初始位置到水平轨道的高度为v2
2g
B.电容器两极板携带的最大电荷量为2CBdv
C.金属棒在水平轨道上运动时定值电阻产生的焦耳热为1 2mv2
D.金属棒在水平轨道运动的最大位移为mvR+r
B2d2
【答案】D
【详解】A．金属棒沿斜面下滑到底端时，重力势能转化为动能和电容器储存的电能(若倾斜导轨不光滑，还有摩擦生热)，即由能量关系可知mgh=1 2mv2+E电容
则金属棒初始位置到水平轨道的高度不等于v2
2g，A错误；
B．金属棒下滑到两个轨道连接处时的速度最大，此时电容器两端电压最大，最大值为Em=Bdv则电容器两极板携带的最大电荷量为Q=CEm=CBdv，B错误；
C．由能量关系可知，金属棒在水平轨道上运动时产生的总的焦耳热Q=1 2mv2+E电
因金属棒有内阻，则定值电阻产生的焦耳热不等于1
2mv2，C错误；

D．由动量定理-BdI Δt=0-mv
又q=I Δt,q=Bdx R+r 解得金属棒在水平轨道运动的最大位移x=mv(R+r) B2d2 ，D正确。
故选D。
题型03 等间距双棒问题
3.如图a所示，超级高铁是一种以“真空管道运输”为理论核心设计的交通工具，它具有超高速、低能耗、无
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噪声、零污染等特点。已知水平面上固定着两根金属导轨MN、PQ，两导轨的间距为L。质量为m的运输车下方固定着间距为D、与导轨垂直的两根导体棒1和2，每根导体棒的电阻为R，每段长度为D的导轨的电阻也为R。其他电阻忽略不计，重力加速度为g。不考虑摩擦及空气阻力。
(1)当运输车由静止离站时，在导体棒2后间距为D处接通固定在导轨上电动势为E的直流电源，此时导体棒1、2均处于磁感应强度为B，垂直导轨平面向下的匀强磁场中，如图b所示。(电源内阻不计，不考虑电磁感应现象)
a、求刚接通电源时回路内的干路电流；
b、求刚接通电源时运输车的加速度大小。
(2)当运输车进站时，管道内依次分布磁感应强度为B，宽度为D的匀强磁场，且相邻的匀强磁场的方向相反。求运输车以速度v0从如图c通过距离D后的速度v。
(3)当运输车进站时，运输车以速度v0减速直至停下的过程中行进的距离为nD，则n为多少？
【答案】(1)4E 11R，4BLE 11mR
(2)v0-B2L2D
mR
(3)Rmv0
B2L2D
【详解】(1)根据串并联电路有R总=R+R+ 3R+R=11 3R2 4R
闭合电路欧姆定律有I总=E R总 = E =4E 11R
11 4R
作用在导体棒1上的安培力F1=BI1L
作用在导体棒2上的安培力F2=BI2L
由牛顿第二定律有F合=F1+F2=B(I1+I2)L=BI总L=ma
解得a=4BLE
11mR
(2)当运输车运动过程中任意时刻速度为v 时，根据法拉第电磁感应定律，回路中感应电动势E=2BLv
回路中电流I=E
4R
则每根导体棒上安培力F=BIL=B2L2v
2R
由动量定理有-2∑FΔt=mv-mv0
联立上式可得B2L2x R =mv0-mv
当x=D时，解得v=v0-B2L2D
mR
(3)根据(2)分析可知，运输车运动过程中，动量定理可得-2∑FΔt=mv-mv0
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根据题意小车停下来，即v=0，联立解得B2L2nD R 则n=Rmv0 B2L2D =mv0-0
题型04 不等间距双棒问题
4.如图所示，两足够长的光滑平行导轨沿水平方向固定，且该导轨由两部分组成，左侧宽导轨的间距为L
=1.0m，右侧窄导轨的间距为l=0.5m，整个空间存在竖直向下、磁感应强度大小为B=1.0T的匀强磁
场。质量为m1=0.6kg、长为L=1.0m、阻值为R1=0.5Ω的导体棒a垂直放在左侧宽导轨上；质量为
m2=0.2kg、长为l=0.5m、阻值为R2=1.5Ω的导体棒b垂直放在右侧窄导轨上。t=0时刻同时给导体
棒a、b一个大小均为v0=12m/s、方向相反的初速度，整个过程导体棒a、b始终没有离开宽导轨和窄导
轨。两导体棒始终与导轨垂直并接触良好，不计导轨的电阻。求：
(1)当导体棒b的速度为0时，导体棒b的加速度大小；
(2)当回路中电流为0时，导体棒a、b的速度大小。
【答案】(1)a=5m/s2
(2)va=12 7m/s，vb=24 7m/s
【详解】(1)设导体棒b的速度为0时，导体棒a的速度为v，规定向右为正方向，对导体棒a由动量定理

得-BI LΔt=m1v-m1v0

对导体棒b由动量定理得BI lΔt=0--m2v0
解得v=4m/s
由法拉第电磁感应定律可知，导体棒a产生的感应电动势E=BLv，回路中的电流为I= E =2A
R1+R2
导体棒b所受的安培力为F安=BIl=1N
由牛顿第二定律得F安=m2a
此时导体棒b的加速度大小为a=5m/s2
(2)导体棒a、b的加速度分别为a1=BIL m1 ，a2=BIl m2
则a1 a2 =L l×m2 m1 =2
所以，导体棒b的速度先减为零，当回路中电流为0时，导体棒a、b的速度均向右，导体棒a、b的速度大小分别为va、vb，两导体棒产生的感应电动势相互抵消，则有BLva=Blvb
则有2va=vb 对导体棒a由动量定理得-BI LΔt =m1va-m1v0 对导体棒b由动量定理得BI lΔt =m2vb--m2v0 解得va=12 7m/s，vb=24 7m/s
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5.(2025·海南海口·模拟预测)如图所示，在水平面上固定光滑导轨PQ、RS，PR之间用导线连接，两导轨 间距是L。两导轨间有磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，虚线是匀强磁场的左、右边界， 在磁场左边导轨上有一根质量为m、有效电阻为R的导体棒MN，导体棒以初速度v0向右进入磁场，并 以速度v从右边穿出磁场，其余电阻不计，下列说法正确的是( )
A.导体棒在磁场中做匀减速直线运动
B.通过导体棒的电量是mv0-mv
BL
C.导体棒穿过磁场的过程中产生的热量是1 2mv2 0-1 2mv2
D.匀强磁场左、右边界之间的距离是mv0-v B2L2 R
【答案】BCD
【详解】A．根据牛顿第二定律有F安=ma，其中F安=BIL=B2L2v
R
解得a=B2L2v ，即导体棒在磁场中做加速度随速度减小而减小的减速运动，选项A错误；
mR

BD．导体棒穿过磁场的过程，由动量定理有-BI Lt=mv-mv0
解得qIt=mv0-mv BL 由E =ΔФ Δt、I =E R和q=I t可得q=ΔΦ R=BLx
解得匀强磁场左、右边界之间的距离x=mv0-v B2L2 R ，故BD正确；
C．根据题意，由能量守恒定律可知，导体棒穿过磁场的过程中产生的热量Q=1 2mv2 0-1 2mv2，故C正
确。
故选BCD。
6.(2026·重庆沙坪坝·模拟预测)如图1所示，足够长的水平粗糙固定导轨左侧接有R=4Ω的定值电阻，导 轨处于磁感应强度B=1T的匀强磁场中，方向垂直纸面向里，导轨间距d=1m。一质量m=2kg的金 属棒在水平拉力F作用下以初速度v0开始从EF处沿导轨向右运动，金属棒中的电流i与位移x的关系 图像如图2所示。已知金属棒与导轨间动摩擦因数μ=0.2，g=10m/s2，忽略金属棒与导轨电阻，不计 电磁辐射。则( )
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A.金属棒在x=2m处的速度为5m/s
B.金属棒做匀加速直线运动
C.从开始到x=2m处回路产生的焦耳热为2.25J
D.从开始到x=2m处拉力做功为90.5J
【答案】D
【详解】A．由I-t图像可知I=x+0.25(A)
则金属棒在x=2m处的电流为I=2.25A
根据E=Bav,I=E
R
解得v=9m/s，A错误；
B．根据I=Bdv R =v 4=x+0.25，即v=4x+1
可得Δv Δx=4，又Δv Δx=Δv Δt Δt Δx=a
解得a=2v，加速度随v增大而增大，B错误；
C．回路中产生的焦耳热等于克服安培力做的功，安培力为FA=BId=x+0.25
由安培力与位移的线性关系知回路中产生的焦耳热为Q=W=FAx=0.25+22.25 ×2J=2.5J，C错误；
D．根据v=4x+1
可知金属棒在x=0处的速度v1=1m/s，在x=2m处的速度v2=9m/s
根据动能定理W-Q-μmgx=1 2mv2 2-1 2mv2
解得W=90.5J，D正确。
7.(2026·广东·模拟预测)我国第三艘航空母舰福建舰，采用先进的舰载机电磁弹射技术。某兴趣小组对如 下两种电磁弹射模型进行了讨论：两根足够长的光滑平行金属导轨水平固定，模型甲左端连接电源E， 模型乙左端连接电容C，质量均为m的相同金属棒分别垂直导轨放置在模型甲、乙上，两装置均处于方 向竖直向下、磁感应强度相同的匀强磁场中。设电源的电压恒为U，电容器的初始电压也为U，两模型 导轨间距均为l，电路中总电阻均为R。闭合开关S后，两金属棒均由静止开始向右加速。下列判断正 确的是( )
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A.两模型中金属棒中的电流方向均是由a→b
B.模型甲中金属棒做匀加速直线运动，模型乙中金属棒做加速度减小的加速运动C.两模型中金属棒的最终速度都与通过自身的电荷量成正比
D.模型甲中金属棒的最终速度可能为模型乙中金属棒最终速度的2倍
【答案】ACD
【详解】A．根据左手定则，金属棒中的电流方向均是由a→b，故A正确；
BC．对模型甲，根据ε=Blv，U-ε=iR，Bil=ma，Bilt=mv-0，q=it
联立解得v=qBl m，a=Bl(U-Blv) mR 模型甲中金属棒做加速度减小的加速运动，对模型乙，根据ε=Blv，U-q C-Blv=iR，Bilt=mv-0，
q=it，Bil=ma
联立解得v=qBl m，a=BlU mR- CvR-BmR2l2v
模型乙中金属棒做加速度减小的加速运动，故B错误，C正确；
D．a=0时，两种情况均达到稳定，对于模型甲中金属棒U=Blv1
解得v1=U Bl 对于模型乙中金属棒U-Blv2=q C，Blq=mv2
解得v2= BlCU CB2l2+m
所以v1 v2 =CB2l2+m CB2l2
模型甲中金属棒的最终速度可能为模型乙中金属棒最终速度的2倍，故D正确。故选ACD。
8.(2026·重庆梁平·二模)我国第三艘航母福建舰已正式下水，如图甲所示，福建舰配备了目前世界上最先进的电磁弹射系统。图乙是一种简化的电磁弹射模型，直流电源的电动势为E，电容器的电容为C，两条相距L的固定光滑导轨，水平放置处于磁感应强度B的匀强磁场中。现将一质量为m，电阻为R的金属滑块垂直放置于导轨的滑槽内处于静止状态，并与两导轨接触良好。先将开关K置于a让电容器充电，充电结束后，再将K置于b，金属滑块会在电磁力的驱动下加速运动，达到最大速度后滑离轨道。不
计导轨和电路其他部分的电阻，忽略空气阻力。下列说法正确的是( )
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A.金属滑块在轨道上运动的最大加速度为BEL
mR
B.金属滑块在轨道上运动的最大速度为 BLCE CB2L2+m 2
C.金属滑块滑离轨道的整个过程中流过它的电荷量为 CmE CB2L2+m
D.金属滑块滑离轨道的整个过程中电容器消耗的电能为 mB2L2C2E2 2CB2L2+m
【答案】ABC
【详解】A．开关K置于b的瞬间，流过金属滑块的电流最大，此时I=E
R
对应的安培力最大，以金属滑块为研究对象，根据牛顿第二定律F=BIL=mam
解得am=BEL mR，故A正确；
BC．金属滑块运动后，切割磁感线产生电动势，当电容器电压与金属滑块切割磁感线产生电动势相等
时，滑块速度不再变化，做匀速直线运动，此时速度达到最大，设金属滑块加速运动到最大速度时两端电压为U，电容器放电过程中的电荷量变化为Δq，放电时间为Δt，流过金属滑块的平均电流为I，在金属块滑动过程中，由动量定理得BIL Δt=mv-0
由电流的定义Δq=IΔt
由电容的定义C=Δq
ΔU
电容器放电过程的电荷量变化为Δq=CΔU ΔU=E-U
所以BLC(E-U)=mv
金属滑块速度最大时，根据法拉第电磁感应定律可得U=BLv
联立解得v= BLCE CB2L2+m Δq= CmE
CB2L2+m
故BC正确；
D．金属滑块滑离轨道的整个过程中，电容器消耗的电能一部分转化为金属滑块的动能
Ek=1 2mv2= mB2L2C2E2 2
2CB2L2+m
另一部分转化为了金属滑块的内能(焦耳热)，故D错误。
故选ABC。
9.(2026·山东聊城·一模)如图所示，整个区域内有竖直向下的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小B
=0.2T，两根间距为L=0.5m、半径为R=2m的光滑四分之一圆弧金属导轨竖直放置(底端切线水平)，
顶端连接阻值为r=0.8Ω的电阻。长为L、质量为m=0.1kg、阻值为r1=0.2Ω的金属棒从导轨顶端ab
处以恒定速率v=10m/s下滑，整个过程中金属棒与导轨接触良好，且始终与导轨垂直。导轨电阻忽略
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不计，重力加速度为g=10m/s2。下列说法正确的是( )
A.金属棒在ab处时两端电压为1.0V
B.金属棒运动到cd处时两端电压为1.0V
C.金属棒从导轨ab处运动至cd处的过程中，电阻r产生的热量为π 20J
D.金属棒从导轨ab处运动至cd处的过程中，电阻r产生的热量为π 25J
【答案】D
【详解】A．金属棒在ab处时B与v平行，金属棒不切割磁感线，无电动势产生，故ab两端电压为0，故A错误；
B．金属棒在cd处时，金属棒产生的电动势E=BLv=1.0V
则此时cd两端电压U= E r+r1r=0.8V，故B错误；
CD．金属棒从导轨ab处运动至cd处的过程中，金属棒做匀速圆周运动的角速度ω=v
R
则电动势瞬时值为E=BLvsinωt=1×sinωt(V)
则电流有效值为I= 1 A= 1 2A
2
r+r1
电阻r产生的热量为Q=I2rt
因为t=1 4×2πR =π 10s
联立解得Q=π 25J，故C错误，D正确。
故选D。
10.(2026·江西南昌·一模)如图所示，倾角为θ、间距为d的光滑导轨的上端连接一自感系数为L的线圈，空
间存在垂直于导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场，现将一根质量为m的导体棒从导轨上某
处由静止释放，由于电路中的总电阻极小，此后导体棒在导轨上做简谐运动，导体棒的最大速度与周期
和振幅的关系为vm=2π TA，重力加速度大小为g，下列说法正确的是( )
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A.导体棒简谐运动的振幅为2mgLsinθ B2d2 C.回路中的最大电流为2mgsinθ Bd B.导体棒的最大速度为 mg2Lsin2θ B2d2
D.导体棒简谐运动的周期为πmL 2Bd
【答案】BC
【详解】导体棒运动时，感应电动势E=Bdv
自感电动势E自=LΔI Δt 电路总电阻极小，故Bdv=LΔI Δt 即Bd Δx Δt=LΔI Δt
积分得Bd=LI，即Lx(以平衡位置为原点，位移为x)。
导体棒受力：mgsinθ-BId=ma
代入IBdLx，平衡位置处a=0，得mgsinθ=BL2d2 x0 ，A错误。
即平衡位置位移x0=mgLsinθ B2d2
以平衡位置为新原点，位移为x'，则x=x0+x'，代入得：ma=-B2d2 L x'
即简谐运动回复力F=-B2d2 L x'
角频率ω= Bd mL
A．导体棒从静止释放，初始位置为最大位移处，振幅A=x0=mgLsinθ B2d2 B．简谐运动最大速度vm=2π TA=ωA
代入ω= Bd mL、A=mgLsinθ B2d2
得vm= Bd mL mgLsinθ B2d2 = mg2Lsin2θ ，B正确。
B2d2
C．根据前面分析，可知最大电流Im=Bd L·2A
代入A=mgLsinθ B2d2 ，得Im=2mgsinθ Bd ，C正确。
D．简谐运动周期T=2π ω=2π B2d2=2πBdmL ，D错误。
故选BC。
11.(2026·浙江衢州·二模)如图所示，间距为L的足够长的光滑平行长直导轨水平放置，两导轨间有磁感应
强度大小为B的匀强磁场。电阻相等的导体棒L1和L2静止在导轨上，与导轨垂直并接触良好，且可以
沿导轨自由滑动。电动势为E、内阻不计的电源及电容为C的电容器、导轨构成如图所示的电路。已知
L1的质量m1大于L2的质量m2，不计导轨电阻，忽略电流产生的磁场，下列说法正确的是( )
13
A.先将S与1接触给电容器充电，稳定后将S拨到2的瞬间，L1的加速度大于L2的加速度
B.先将S与1接触给电容器充电，稳定后将S拨到2，L1、L2的最终速度大小为 BLCE m1+m2+B2L2C
C.撤去L1，将开关S拨到2，电容器未充电，给L2一个初速度v0，导体棒将一直减速到零
D.撤去L1，将开关S拨到2，电容器未充电，给L2一个初速度v0，导体棒做匀减速运动。
【答案】B
【详解】A．S拨到2的瞬间，电容器放电，此时L1与L2并联后与电容器串联，而L1与L2电阻相同，则通过L1与L2的电流相等，L1与L2所受的安培力大小相等，但L1的质量大于L2的质量，由牛顿第二定律知L1的加速度小于L2的加速度，故A错误；
B．S拨到2，稳定时，电容器两端的电压等于L1与L2两端产生的感应电动势，此时L1与L2以相同的速 度做匀速直线运动，对L1与L2整体，由动量定理BI LΔt=m1+m2 vm 又q=I t，CBLvm=CE-q
联立知L1与L2匀速运动的速度大小vm= BLCE m1+m2+B2L2C，故B正确；
CD．撤去L1，将开关S拨到2，电容器未充电，给L2一个初速度v0，设L2稳定时的速度为v，有电容器电压U=BLv

由动量定理BI LΔt=BLq=m2v0-v
又q=CU
联立可得v= m2v0 m2+B2L2C
可得导体棒做减速运动并最终做匀速直线运动，导体棒将不受安培力，可知导体棒不是一直减速到零，也不是做匀减速运动，故CD错误。
故选B。
12.(2026·山东淄博·一模)如图所示，左侧倾斜光滑平行金属导轨，导轨间距为L 2，与水平面夹角为θ，处于
垂直导轨平面向上磁感应强度大小为B的匀强磁场中；右侧水平平行金属导轨粗糙且足够长，导轨间距
为L，处于竖直向上磁感应强度大小为B 2的匀强磁场中，两段导轨相接。两导体棒ab、cd垂直导轨放
置，质量均为m，ab接入电阻为R，cd接入电阻为2R；cd与水平导轨间的动摩擦因数为μ(μ大静摩擦力等于滑动摩擦力。现将ab棒沿倾斜导轨由静止释放，ab滑到某位置时，cd棒恰好开始运
动；一段时间后ab在下滑过程中电流达到稳定。两棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻
不计，重力加速度大小为g。ab下滑过程中( )
14
A.cd恰好开始运动时，回路中的电流大小为μmg
BL
B.cd恰好开始运动时，ab的速度大小为12μmgR
B2L2
C.ab电流稳定时，cd的加速度大小为gsinθ-μg
D.ab电流稳定时，回路中的电流大小为mg(μ+sinθ)
BL
【答案】BD
【详解】A．cd恰好开始运动时，安培力与最大静摩擦力平衡。cd处磁场B =B 2，棒长L，回路电流为
I，则cd受到的水平安培力为F安cd=B IL=B 2IL
根据平衡条件可得B
2IL=μmg
解得I=2μmg，故A错误；
BL
B．设此时ab速度为v，ab的感应电动势为E=B L 2 v
回路总电阻R总=R+2R=3R
则回路电流I=E R总 =BLv 6R
代入I=2μmg
BL
解得v=12μmgR，故B正确；
B2L2
CD．电流稳定时，ab，cd加速度相同，对ab受力平衡，根据牛顿第二定律有mgsinθ-BI L 2=ma
对cd分析，由牛顿第二定律可得B 2IL-μmg=ma
联立解得I=mgμ+sinθ BL ，a=gsinθ-μg 2 ，故C错误，D正确。
故选BD。
13.(2026·辽宁沈阳·模拟预测)如图，质量为m、电阻为R0的均匀金属棒ab垂直架在水平面甲内间距为2L
的两光滑金属导轨的右边缘处。下方的导轨由光滑圆弧导轨与处于水平面乙的光滑水平导轨平滑连接
而成(即图中半径OM和O′P竖直)，圆弧导轨半径为R、对应圆心角为60°、间距为2L，水平导轨间距分
别为2L和L。质量也为m、电阻也为R0的均匀金属棒cd垂直架在间距为L的导轨左端。导轨MM′与
PP′、NN′与QQ′均足够长，所有导轨的电阻都不计。电源电动势为E、内阻不计。所有导轨的水平部
15
分均有竖直方向的、磁感应强度为B的匀强磁场，圆弧部分和其他部分无磁场。闭合开关S，金属棒ab
迅即获得水平向右的速度(未知，记为v0)做平抛运动，并在高度降低2R时恰好沿圆弧轨道上端的切线
方向落在圆弧轨道上端，接着沿圆弧轨道下滑。已知重力加速度为g，求：
(1)空间匀强磁场的方向及棒ab做平抛运动的初速度v0；
(2)通过电源E某截面的电荷量q；
(3)从金属棒ab刚落到圆弧轨道上端起至开始匀速运动止，这一过程中棒ab和棒cd组成的系统损失的
机械能 E。
【答案】(1)竖直向下，23gR
3
(2)m3gR
3BL
(3)38 15mgR
【详解】(1)安培力水平向右，根据左手定则，磁场方向竖直向下，金属棒ab做平抛运动，其竖直方向有
2R=1 2gt2，vy=gt
由于导体棒在高度降低2R时恰好沿圆弧轨道上端的切线方向落在圆弧轨道上端，有tan60°=vy
v0
解得v0=233gR
(2)金属棒ab弹出瞬间，由动量定理有BI 2L Δt=mv0-0
又I=q
t
整理有2BqL=mv0
解得q=m3gR 3BL (3)金属棒ab滑至水平轨道时，有mg2R+R(1-cos60°) =1 2mv2-1 2mv2
最终匀速运动，电路中无电流，所以棒ab和cd产生的感应电动势大小相等，即B 2L va=BL vb
此过程中，对棒ab，由动量定理有-BI 2L Δt =mva-mv
对棒cd，由动量定理有BI LΔt =mvb-0
由能量守恒，该过程中机械能的损失量为ΔE=1 2mv2-1 2mv2 a-1 2mv2
16
解得ΔE=38 15mgR
14.(2026·福建·模拟预测)如图所示，倾角为θ、宽度为L的光滑倾斜导轨EFGH顶端连接电动势大小为E、内阻为r的电源，FG以上区域存在垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一质量为m、电阻为2r的金属棒a垂直导轨放置，金属棒长度为L，与导轨始终接触良好，闭合开关S瞬间将金属棒a由静止释放，金属棒a向下运动一段时间达到匀速后穿出磁场边界FG，经过绝缘圆弧轨道进入足够长的光滑水平导轨MNPQ。已知重力加速度大小为g，导轨电阻不计，求：
(1)金属棒a释放瞬间加速度的大小；
(2)金属棒a在倾斜导轨EFGH匀速运动速度的大小；
(3)金属棒a经过绝缘圆弧后，到达光滑水平导轨MNPQ时的速度大小为v,MQ右侧存在竖直向下、磁感应强度大小也为B的匀强磁场，金属棒b、c通过轻质绝缘弹簧连接，静止在水平导轨上，金属棒b恰好与磁场边界MQ重合，此时弹簧处于原长。三根金属棒a、b、c完全相同，金属棒a与b在MQ处发生碰撞，碰撞时间极短，碰后粘为一体一起运动，经过时间t后，弹簧达到最大压缩量x，此时弹簧的弹性势能为Ep，求这段时间内，金属棒c产生的焦耳热及金属棒c运动位移的大小。
【答案】(1)gsinθ-BEL 3mr (2)3mgrsinθ-BEL B2L2 (3)1 18mv2-2 3Ep，vt 3-2 3x 【详解】(1)金属棒a释放瞬间，通过金属棒的电流I= E r+2r
根据牛顿第二定律有mgsinθ-BIL=ma
解得a=gsinθ-BEL
3mr
(2)金属棒a在倾斜轨道上匀速运动时，根据平衡条件有mgsinθ=BI L
通过金属棒的电流I =E+BLvm
r+2r
解得vm=3mgrsinθ-BEL
B2L2
(3)金属棒a与b在MQ处发生碰撞，根据动量守恒定律有mv=2mv1
当金属棒a、b、c三者共速时，弹簧压缩量达到最大，根据动量守恒定律有2mv1=3mv2
根据能量守恒定律有1 2×2mv2 1=1 2×3mv2 2+Ep+Q
17
金属棒c产生的焦耳热Qc= 2r Q
2r+Rab
其中Rab=2r 2r 2r+2r
解得Qc=1 18mv2-2 3Ep
金属棒a、b、c运动过程中，根据动量守恒定律有2mv1=2mvab+mvc
两边同时对时间微元累加有∑2mv1Δt=∑2mvabΔt+∑mvcΔt
整理可得mv∑Δt=2m∑vabΔt+m∑vcΔt
其中∑Δt=t，∑vabΔt=sab，∑vcΔt=sc
代入并整理得mvt=2msab+msc
其中sab-sc=x
解得sc=vt 3-2 3x
15.(25-26高三上·河南·期末)如图所示，两足够长平行导轨倾斜固定在水平面上，倾角为α=37°，两导轨
之间的距离为L=1m，导轨顶端用导线连接一阻值为R=1.5Ω的定值电阻，长为L=1m、质量为m=
0.5kg、阻值为r=1.0Ω的导体棒ab垂直导轨放置，水平虚线MN下侧存在垂直导轨平面向上的匀强磁
场，磁感应强度大小为B=1.0T。现将导体棒ab从虚线上侧s=2m处静止释放，导体棒越过虚线MN
后经t=3.1s的时间刚好匀速。已知导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ=0.25，重力加速度g取
10m/s2，sin37°=0.6。忽略导轨和导线的电阻。求：
(1)导体棒ab刚越过虚线MN时的加速度大小；
(2)导体棒ab在磁场中达到的最大速度；
(3)导体棒ab从越过虚线MN到刚好匀速的过程中，定值电阻上产生的焦耳热。
【答案】(1)0.8m/s2
(2)5m/s
(3)15.75J
【详解】(1)导体棒ab从释放到刚运动到虚线MN处的过程，由动能定理得mgsinα s-μmgcosα s= 1
2mv2
解得v=4m/s
导体棒ab刚越过虚线瞬间，导体棒产生的感应电动势为E=BLv=4V
回路中的感应电流为I= E R+r=1.6A
导体棒ab所受的安培力大小为F1=BIL=1.6N
对导体棒ab由牛顿第二定律得mgsinα-μmgcosα-F1=ma
解得a=0.8m/s2
18
(2)导体棒进入磁场后，导体棒ab的速度逐渐增大，安培力逐渐增大，导体棒受到的合力逐渐减小，导体
棒的加速度逐渐减小，当导体棒的加速度为0时，导体棒的速度达到最大；设导体棒ab的最大速度为
vm，导体棒上的感应电动势为Em=BLvm
导体棒上的感应电流为Im= Em R+r
导体棒ab所受的安培力大小为F2=BImL
导体棒速度最大时，由力的平衡条件得mgsinα-μmgcosα=F2
代入数据解得vm=5m/s (3)导体棒ab从进入磁场到速度最大的过程中，设导体棒ab的位移为x，由法拉第电磁感应定律得E =
Δφ
Δt E 由闭合电路欧姆定律得I = R+r 又q=I Δt，ΔΦ=BLx，F =BI L 由动量定理得mgsinα t-μmgcosα t-F t=mvm-mv
整理得mgsinα t-μmgcosα t-B2L2x R+r=mvm-mv
解得x=14.25m
该过程由动能定理得mgsinα x-μmgcosα x-W安=1 2mv2 m-1 2mv2
解得W安=26.25J
由功能关系可知整个电路上产生的焦耳热为Q=W安=26.25J
该过程定值电阻上产生的焦耳热为QR= R R+rQ
解得QR=15.75J
16.(2025·河南郑州·三模)如图，水平面(纸面)内固定有两足够长、光滑平行金属导轨，间距为l，其左端接有
阻值为R的定值电阻。一质量为m的金属杆MN(长度略大于l)垂直放置在导轨上。在电阻和金属杆
间，有两个垂直于纸面向里的匀强磁场，圆形磁场面积为S，磁感应强度大小B1随时间的变化关系为B1
=kt(k为大于零的常量)；矩形磁场abcd磁感应强度大小B2=B。从t=0时刻开始，矩形磁场以速度v0
向右匀速运动；t=t0时，bc边恰好到达金属杆MN处。之后，金属杆跟随磁场向右运动；t=2t0时，系统
达到稳定状态。已知金属杆与导轨始终垂直且接触良好，整个过程金属杆未离开矩形磁场区域，不计金
属杆和导轨电阻，磁场运动产生的其他影响可忽略，求：
(1)t=0到t=t0时间内，流经电阻R的电荷量；
(2)t=t0时刻，MN加速度的大小；
19
(3)t=t0到t=2t0时间内MN与矩形磁场的相对位移。
【答案】(1)kSt0
R
(2)B2l2v0-kSBl
mR
(3)Blv0mR+kSt0B2l2-kSmR B3l3 【详解】(1)由电流定义式I=Δq Δt 欧姆定律I=E1 R 法拉第电磁感应定律E1=ΔΦ Δt=ΔB1 ΔtS=kS 得Δq=kS RΔt 累加求和，可知流过电阻R电荷量的绝对值q=kSt0 R
(2)t=t0时，由法拉第电磁感应定律E2=Blv0
由闭合电路欧姆定律I=Blv0-kS
R
由牛顿第二定律IlB=ma
联立求解得t=t0时刻，MN的加速度a=B2l2v0-kSBl
mR
(3)当t=2t0时，系统达到稳定状态，回路中电流为零，设此时金属杆的速度为vm，则Blv0-vm =kS
求解得vm=v0-ks
Bl
设在t=t0到t=2t0时间内，MN与矩形磁场的相对位移为Δx
由q=IΔt
I=E
R
E=ΔΦ
Δt
ΔΦ感生=2kt0-kt0 S=kt0S
ΔΦ动生=BlΔx
得qΔΦR=BlΔx-2Rkt0-kt0 S
对金属杆MN，由动量定理F安Δt=mvm
联立求解得Δx=Blv0mR+kSt0B2l2-kSmR
B3l3
17.(2026·海南省直辖县级单位·二模)如图所示，倾角为θ=53°的倾斜导轨与足够长的水平导轨用绝缘体
(长度不计)平滑衔接。两导轨的宽度均为L=1m，倾斜导轨顶端接有一不带电的电容器，电容C=
0.4F，倾斜导轨处有垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B1=1T。水平导轨处的磁场竖
直向上，磁感应强度大小以B2=B0+k1x随x均匀增大，其中B0未知，k1=1T/m，x为到衔接点的距离。
水平导轨上静置一导体棒b，b左侧垂直连接一个长度为L=1m的绝缘轻杆，轻杆左端有一小块橡皮泥
(质量不计)，橡皮泥与水平导轨左端对齐。倾斜导轨上距离衔接点d=2m处由静止释放一个导体棒a，
20
a运动到水平导轨处与轻杆碰撞并粘在一起向右运动，碰撞时间极短。已知两导体棒的质量均为m= 0.1kg，导轨及a棒的电阻不计，b棒接入电路的电阻为R=4Ω，导体棒a与倾斜导轨间的动摩擦因数μ =0.5，a、b棒在水平导轨上运动时各自受到的阻力大小均与速度成正比(不包括安培力及轻杆弹力)，即F阻=k2mgv，其中k2=1s/m。两棒与导轨始终垂直且接触良好，sin53°=0.8，重力加速度g取10m/s2，求：
(1)导体棒a下滑过程的加速度大小及滑到底端时的速度大小；
(2)导体棒a、b碰撞结束瞬间导体棒a的加速度大小；
(3)停止运动后导体棒b到衔接点的距离(结果可用分数表示)。
【答案】(1)1m/s2，2m/s
(2)11.25m/s2
(3)49 45m
【详解】(1)导体棒a与电容器连接，有I=ΔQ
Δt，ΔQ=CΔU，ΔU=B1LΔv
则I=CB1La
由牛顿第二定律可得mgsinθ-μmgcosθ-B1IL=ma
联立解得a=1m/s2
由运动学公式可得v2 0=2ad
解得v0=2m/s
(2)两棒相碰，由动量守恒得mv=2mv共
导体棒a的感应电动势为E1=B0Lv共
导体棒b的感应电动势为E2=BbLv共，Bb=B0+k1L
所以电流为I=E2-E1 R =k1L2v共 R
两棒整体所受安培力大小为F安=BbIL-B0IL=k2 1L4v共
R
根据牛顿第二定律可得F安+2k2v共mg=2ma
解得a=11.25m/s2
(3)由(2)知两棒受到的安培力大小为F安=k2 1L4v
R
由动量定理可得-2k2mgvt-F安t=0-2mv共，x=∑vt
解得x=4 45m
21
所以导体棒b停下的位置到衔接点的距离xb=x+L=49 45m
18.(2025·贵州黔南·三模)如图所示，绝缘水平面上固定一平行金属导轨，导轨两端分别与足够长的倾斜平 行金属导轨平滑连接，导轨间距均为L=1m，水平导轨中部的cdef矩形区域内有竖直向上的匀强磁场， 磁感应强度大小B=0.5T。现有质量m1=1kg的金属棒a从左侧轨道上高为h=5m处由静止释放，穿 过磁场区域后，与静止的质量m2=2kg的金属棒b发生弹性碰撞。碰后瞬间b棒的速度大小为v2= 25
4m/s，并沿右侧轨道上升到最大高度时锁定。已知两金属棒接入电路的阻值均为r=0.2Ω，导轨电阻 不计，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度g取10m/s2，不计一切摩擦阻力。求：
(1)a棒刚进入磁场区域时的加速度大小a0；
(2)矩形区域cf的长度x；
(3)a棒最终停止时与cd间的距离Δx及整个运动过程中a棒产生的焦耳热Qa。
【答案】(1)a0=6.25m/s2
(2)x=1m
(3)Δx=0，Qa=5.47J
【详解】(1)a棒下降高度h，由动能定理：m1gh=1 2m1v2
解得v0=10m/s
a棒进入磁场区域时有
E=BLv0，I=E 2r，F=BIL
联立解得a0=F m1 =6.25m/s2
(2)a、b发生弹性正碰，设碰前a棒速度为v，碰后速度为v1，则有
m1v=m1v1+m2v2，1 2m1v2=1 2m1v2 1+1 2m2v2 2
联立解得：v1=m1-m2 m1+m2 v， v2= 2m1 v=25 4m/s
m1+m2
解得：v=75 8m/s，v1=-25 8m/s
a棒第一次穿过磁场，由动量定理有

-BI L Δt=m1v-m1v0
-∑B2L2 2rviΔt=m1v-m1v0
∑viΔt=x
解得：x=1m
(3)a棒第二次进入磁场至最后停止，在磁场中运动的总路程为s，满足关系B2L2 2rs=m1v1
解得s=5m
22
故Δx=0
整个运动过程中电路产生的焦耳热：Q=m1gh-1 2m2v2 2 a棒产生的焦耳热：Qa=1 2Q=175 32J≈5.47J
19.(25-26高二下·黑龙江双鸭山·开学考试)如图甲所示，两条相距L=1m的平行金属导轨位于同一水平面内固定放置，其左端接一阻值为R=3Ω的定值电阻，右端放置一接入阻值r=1Ω、质量m=1kg的金属杆，金属杆与导轨间的动摩擦因数μ=0.1，初始时杆与MP端相距d=2m。导轨置于竖直向下的磁场中，其磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。在金属杆中点施加一水平作用力F(F未知)，使0~2s内杆静止不动。在t=2s时，改变F使杆开始向右做加速度大小a=1m/s2的匀加速直线运动，至5s末力F做的功为27J，导轨电阻不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。求：
(1)t=1s时力F的最小值和对应方向；
(2)0~5s内通过金属杆的电荷量；
(3)0~5s内电阻R上产生的焦耳热。
【答案】(1)1N，方向水平向右
(2)4.25C
(3)19.5J
【详解】(1)0 2s内感应电动势E1=ΔΦ Δt=ΔB ΔtS=4V
感应电流I1=E1 R总 =1A
安培力F1=BI1L=2N
由左手定则可知安培力方向水平向左
最大静摩擦力fm=μmg=1N
由题可知金属杆静止，当F最小时，则有F+fm=F1
解得F=1N，方向水平向右
(2)0 2s内通过金属杆的电荷量q1=I1t1=2C
2 5s内金属杆的位移x=1 2at2 2=4.5m 通过金属杆的电荷量q2=I Δt =E Δt =ΔΦ R总 R总 =BLx R总 =2.25C
故0 5s内通过杆的电荷量为q=q1+q2=4.25C
(3)0 2s内，电阻R的焦耳热为QR1=I2 1Rt1=6J
23
2 5s内，由功能关系有W-μmgx=1 2mv2+Q焦
5s时金属杆的速度v=at2=3m/s
联立解得Q焦=18J
电阻R的焦耳热为QR2= R R+rQ焦=13.5J
故QR=QR1+QR2=19.5J
20.(2025·河北·一模)匝数n=10的圆形线圈处在方向竖直向上、磁感应强度大小随时间均匀变化的磁场 B1中，与水平金属导轨相连。水平导轨M1M2、N1N2部分光滑，P1P2、Q1Q2部分粗糙，连接导轨的M2P1、 N2Q1部分为光滑绝缘体。M1M2N1N2区域内存在垂直导轨平面竖直向上的匀强磁场B2，P1P2Q1Q2区域 内存在垂直导轨平面竖直向上的匀强磁场B3，导轨间距均为L=0.5m。在导轨末端P2Q2间接有电阻 R。在M1N1与M2N2间静止放置一导体棒a，在M2N2与P1Q1之间静止放置另一相同的导体棒b。已知 B1=0.6tT ，B2=1T，B3=2T，a、b棒质量均为m=0.5kg，长度均为0.5m，两棒电阻均为r=1Ω，电 阻R的阻值为0.5Ω，取重力加速度大小g=10m/s2，导体棒与粗糙导轨之间的动摩擦因数μ=0.2，不计 其他电阻，a、b棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。已知圆形线圈中产生的感应电动势为3V。
(1)求圆形线圈的面积S。
(2)闭合开关，导体棒a开始向右运动，在未离开磁场B 时速度已达到最大，求导体棒a的最大速度vm
和该过程通过导体棒a的电荷量q。
(3)导体棒a离开磁场B2后与导体棒b发生碰撞并粘在一起，两棒立即通过P1Q1进入磁场B3，之后经过时间t=1.0s后停止，求导体棒在磁场B3中运动的位移x和此过程电阻R产生的焦耳热Q。
【答案】(1)0.5m2
(2)6m/s，6C
(3)1m，1.25J
【详解】(1)根据法拉第电磁感应定律可得E=nΔΦ Δt=nΔB ΔtS
由B1=0.6tT
可得ΔB
Δt=0.6T/s
代入数据，解得S=0.5m2
(2)a棒达到最大速度时，加速度为零，回路中的电流为零，导体棒a产生的感应电动势与圆形线圈中产生的感应电动势相等，有E=B2Lvm
解得vm=6m/s
a棒加速过程中，设某时刻a棒中电流大小为i1，其所受安培力Fi1=B2i1L
安培力的冲量大小为I安1=∑Fi1Δt=∑B2i1LΔt=B2L∑i1Δt=B2Lq
对a棒根据动量定理可得I安1=mvm
24
解得q=6C
(3)a棒与b棒碰撞，设碰后速度为v1，根据动量守恒定律有mvm=2mv1
解得v1=3m/s
两棒并联电阻为r并=r 2=0.5Ω
两棒在磁场B3中做减速运动，设某时刻速度大小为v，则产生的感应电动势E =B3Lv
回路中的电流i2= E R+r并
两棒所受安培力大小Fi=B3i2L
两棒在磁场B3中运动的过程，安培力的冲量大小为I安2=∑FiΔt=∑B3i2LΔt=B3L∑i2Δt=
B3L∑B3Lv R+r并 Δt
因为∑vΔt=x
所以I安2=B2 3L2x
R+r并
两棒在磁场B3中运动的过程，根据动量定理-μ×2mgt-I安2=0-2mv1
解得x=1m
导体棒和导轨间由于摩擦产生的热量Q =μ×2mgx=2J
根据能量守恒可得1 2×2mv2 1=Q +Q总
解得Q总=2.5J
在此过程中，电阻R产生的焦耳热为Q= R Q=1.25J
R+r并
25电磁感应中的单双棒运动问题
命题预测 电磁感应中单、双导体棒运动问题，是2026高考物理核心高频考点，预计将以计算题形式呈现，作为力学与电磁学综合题型考查，兼具基础性和选拔性。该题型以导轨滑杆为经典模型，串联法拉第电磁感应定律、楞次定律、安培力公式等核心知识，融合力学运动分析、动量定理、能量守恒规律，全面考查学生知识迁移、多过程分析与综合解题能力，是区分物理学科素养的关键题型，也是高考物理的重难点内容。 2026年考查将聚焦两类模型，单棒问题侧重考查导体切割磁感线的感应电动势、安培力求解，以及导体棒在合力作用下，从变加速运动到匀速直线运动的状态变化，基础设问覆盖速度、电荷量、焦耳热计算；双棒问题难度更高，重点考查两棒相互作用下的系统动量守恒、能量转化守恒，常围绕最大共速、回路电功率、系统内能增量等设问。备考需夯实基础规律，梳理模型解题思路，强化专项练习，突破动量与能量结合的解题难点，提升答题准确率与速度。
高频考法 1.不含容单棒问题 1.1.含容单棒问题 1.2.等间距双棒问题 1.3.不等间距双棒问题
考向一不含容单棒问题
模型 规律
阻尼式(导轨光滑) 1、力学关系：FA=BIl=B2l2v R+r；a=FA m=B2l2v m(R+r)2、能量关系：1 2mv2 0-0=Q 3、动量电量关系：-BI l Δt=0-mv0；q=nΔ R+r=Bl Δs R+r
电动式(导轨粗糙) 1、力学关系：FA=B(E-E反) R+rl=B(E-Blv) R+rl；a=FB-μmg m=
B(E-Blv) m(R+r)l-μg 2、动量关系：BLq-μmgt=mvm-0 3、能量关系：qE=Q+μmgS+1 2mv2 m 4、稳定后的能量转化规律：IminE=IminE反+I2 min(R+r)+μmgvm 5、两个极值：(1)最大加速度：v=0时,E反=0,电流、加速度最大。 Im=RE+r；Fm=BIml；am=Fm-mμmg
（2）最大速度：稳定时，速度最大，电流最小。 Imin=E-Blvm R+r,μmg=Fmin=BIminl=BE-Blvm R+rl
1
发电式(导轨粗糙) 1、力学关系：a=F-FB-μmg m=F m-B2l2v m(R+r)-μg
2、动量关系：Ft-BLq-μmgt=mvm-0 3、能量关系：Fs=Q+μmgS+1 2mv2 m 4、稳定后的能量转化规律：Fvm=(BLvm)2 +μmgvm R+r 5、两个极值： (1)最大加速度：当v=0时，am=F-μmg m。=F m-B2l2vm m(R+r)-μg=(2)最大速度：当a=0时，a=F-FB-μmg m
0
考向二含容单棒问题
模型 规律
放电式(先接1，后接2。导 轨光滑) 1、电容器充电量：Q0=CE 2、放电结束时电量：Q=CU=CBlvm 3、电容器放电电量：ΔQ=Q0-Q=CE-CBlvm 4、动量关系：BI l Δt=BlΔQ=mvm；vm=BlCE m+B2l2C5、功能关系：W安=1 2mv2 m=m(BlCE)2 2(m+B2l2C)2
无外力充电式(导轨光滑) 达到最终速度时：
1、电容器两端电压：U=Blv(v为最终速度) 2、电容器电量：q=CU 3、动量关系：-BI l Δt=-Blq=mv-mv0；v=mv0 m+B2l2C
有外力充电式(导轨光滑) 1、力学关系：F-FA=F-BLI=ma 2、电流大小：I=ΔQ Δt=CΔU Δt=CBlΔv Δt=CBla3、加速度大小：a=F m+CB2L2
考向三双棒问题
模型 规律
1、电流大小：I=Blv2-Blv1 R1+R2=Bl(v2-v1) R1+R2
2、稳定条件：两棒达到共同速度 3、动量关系：m2v0=(m1+m2)v
2
无外力等距式(导轨光 滑) 4、能量关系：1 2m2v2 0=1 2(m1+m2)v2共+Q；Q1 Q2=R1 R2
有外力等距式(导轨光 滑) 1、电流大小：I=Blv2-Blv1 R1+R2。(任意时刻两棒加速度)2、力学关系：a1=FA m1；a2=F-FA m2
3、稳定条件：当a2=a1时，v2-v1恒定；I恒定；FA恒定；两棒匀加速。 4、稳定时的物理关系： F=(m1+m2)a；FA=m1a；FA=BIl=BBl(v2-v1) R1+R2l；
v2-v1=(R1+R2)m1F B2l2(m1+m2)
无外力不等距式 (导轨光滑) 1、动量关系：-BL1I Δt=m1v1-m1v0；-BL2I Δt=m2v2-0 2、稳定条件：BL1v1=BL2v2 3、最终速度：v1=m1L2v0；v2=m1L2L1v0m1L2 2+m2L2m1L2 2+m2L24、能量关系：Q=1 2m1v2 0-1 2m1v2 1-1 2m2v2
5、电量关系：BL2q=m2v2-0
有外力不等距式 (导轨光滑) F为恒力，则：
1、稳定条件：l1a1=l2a2，I恒定，两棒做匀加速直线运动 2、常用关系：a1=F-FA1 m1；a2=FA2 m2；l1a1=l2a2；FA1 FA2=l1 l23、常用结果：FA1=l2 1m2F；FA2=l1l2m2F；l2 1m2+l2 2m1l2 1m2+l2 2m1a1=l2F；a2=l1l2F；l2 1m2+l2 2m1l2 1m2+l2 2m1此时回路中电流为：I=l1m2 F B与两棒电阻无关l2 1m2+l2 2m1
典例·靶向·突破
题型01 不含容单棒问题
1.如图所示，两足够长平行导轨倾斜固定在水平面上，倾角为α=37°，两导轨之间的距离为L=1m，导轨
顶端用导线连接一阻值为R=1.5Ω的定值电阻。长为L=1m、质量为m=0.5kg、阻值为r=1.0Ω的导
3
体棒ab垂直导轨放置，水平虚线MN下侧存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B= 1.0T。现将导体棒ab从虚线上侧s=2m处静止释放，导体棒ab越过虚线MN后经t=3.1s的时间刚好匀速。已知导体棒与导轨之间的动摩擦因数μ=0.25，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，忽略导轨和导线的电阻。则( )
A.导体棒ab在磁场中做匀加速直线运动
B.导体棒ab在磁场内的运动过程中，减少的机械能等于回路中产生的焦耳热
C.导体棒ab从越过虚线MN到刚好匀速的过程中位移为14.25m
D.导体棒ab从越过虚线MN到刚好匀速的过程中定值电阻R上产生的焦耳热为QR=26.25J
题型02 含容单棒问题
2.如图，两条平行的金属导轨所在平面与水平面成一定夹角θ，间距为d。导轨上端与电容器连接，电容器 电容为C。导轨下端与光滑水平直轨道通过绝缘小圆弧平滑连接，水平直轨道平行且间距也为d，左侧 末端连接一阻值为R的定值电阻。导轨均处于匀强磁场中，磁感应强度大小均为B，方向分别垂直导轨 所在平面。质量为m，电阻为r，宽度为d的金属棒MN从倾斜导轨某位置由静止释放，保证金属棒运动 过程始终与平行导轨垂直且接触良好，金属棒下滑到两个轨道连接处时的速度刚好是v，重力加速度为 g，忽略导轨电阻，水平导轨足够长。则下列说法正确的是( )
A.金属棒初始位置到水平轨道的高度为v2
2g
B.电容器两极板携带的最大电荷量为2CBdv
C.金属棒在水平轨道上运动时定值电阻产生的焦耳热为1 2mv2
D.金属棒在水平轨道运动的最大位移为mvR+r
B2d2
题型03 等间距双棒问题
3.如图a所示，超级高铁是一种以“真空管道运输”为理论核心设计的交通工具，它具有超高速、低能耗、无
4
噪声、零污染等特点。已知水平面上固定着两根金属导轨MN、PQ，两导轨的间距为L。质量为m的运输车下方固定着间距为D、与导轨垂直的两根导体棒1和2，每根导体棒的电阻为R，每段长度为D的导轨的电阻也为R。其他电阻忽略不计，重力加速度为g。不考虑摩擦及空气阻力。
(1)当运输车由静止离站时，在导体棒2后间距为D处接通固定在导轨上电动势为E的直流电源，此时导体棒1、2均处于磁感应强度为B，垂直导轨平面向下的匀强磁场中，如图b所示。(电源内阻不计，不考虑电磁感应现象)
a、求刚接通电源时回路内的干路电流；
b、求刚接通电源时运输车的加速度大小。
(2)当运输车进站时，管道内依次分布磁感应强度为B，宽度为D的匀强磁场，且相邻的匀强磁场的方向相反。求运输车以速度v0从如图c通过距离D后的速度v。
(3)当运输车进站时，运输车以速度v0减速直至停下的过程中行进的距离为nD，则n为多少？
5
题型04 不等间距双棒问题
4.如图所示，两足够长的光滑平行导轨沿水平方向固定，且该导轨由两部分组成，左侧宽导轨的间距为L =1.0m，右侧窄导轨的间距为l=0.5m，整个空间存在竖直向下、磁感应强度大小为B=1.0T的匀强磁 场。质量为m1=0.6kg、长为L=1.0m、阻值为R1=0.5Ω的导体棒a垂直放在左侧宽导轨上；质量为 m2=0.2kg、长为l=0.5m、阻值为R2=1.5Ω的导体棒b垂直放在右侧窄导轨上。t=0时刻同时给导体 棒a、b一个大小均为v0=12m/s、方向相反的初速度，整个过程导体棒a、b始终没有离开宽导轨和窄导 轨。两导体棒始终与导轨垂直并接触良好，不计导轨的电阻。求：
(1)当导体棒b的速度为0时，导体棒b的加速度大小；
(2)当回路中电流为0时，导体棒a、b的速度大小。
6
5.(2025·海南海口·模拟预测)如图所示，在水平面上固定光滑导轨PQ、RS，PR之间用导线连接，两导轨 间距是L。两导轨间有磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，虚线是匀强磁场的左、右边界， 在磁场左边导轨上有一根质量为m、有效电阻为R的导体棒MN，导体棒以初速度v0向右进入磁场，并 以速度v从右边穿出磁场，其余电阻不计，下列说法正确的是( )
A.导体棒在磁场中做匀减速直线运动
B.通过导体棒的电量是mv0-mv
BL
C.导体棒穿过磁场的过程中产生的热量是1 2mv2 0-1 2mv2
D.匀强磁场左、右边界之间的距离是mv0-v B2L2 R
6.(2026·重庆沙坪坝·模拟预测)如图1所示，足够长的水平粗糙固定导轨左侧接有R=4Ω的定值电阻，导 轨处于磁感应强度B=1T的匀强磁场中，方向垂直纸面向里，导轨间距d=1m。一质量m=2kg的金 属棒在水平拉力F作用下以初速度v0开始从EF处沿导轨向右运动，金属棒中的电流i与位移x的关系 图像如图2所示。已知金属棒与导轨间动摩擦因数μ=0.2，g=10m/s2，忽略金属棒与导轨电阻，不计 电磁辐射。则( )
A.金属棒在x=2m处的速度为5m/s
B.金属棒做匀加速直线运动
C.从开始到x=2m处回路产生的焦耳热为2.25J
D.从开始到x=2m处拉力做功为90.5J
7.(2026·广东·模拟预测)我国第三艘航空母舰福建舰，采用先进的舰载机电磁弹射技术。某兴趣小组对如下两种电磁弹射模型进行了讨论：两根足够长的光滑平行金属导轨水平固定，模型甲左端连接电源E，模型乙左端连接电容C，质量均为m的相同金属棒分别垂直导轨放置在模型甲、乙上，两装置均处于方
7
向竖直向下、磁感应强度相同的匀强磁场中。设电源的电压恒为U，电容器的初始电压也为U，两模型导轨间距均为l，电路中总电阻均为R。闭合开关S后，两金属棒均由静止开始向右加速。下列判断正确的是( )
A.两模型中金属棒中的电流方向均是由a→b
B.模型甲中金属棒做匀加速直线运动，模型乙中金属棒做加速度减小的加速运动C.两模型中金属棒的最终速度都与通过自身的电荷量成正比
D.模型甲中金属棒的最终速度可能为模型乙中金属棒最终速度的2倍
8.(2026·重庆梁平·二模)我国第三艘航母福建舰已正式下水，如图甲所示，福建舰配备了目前世界上最先 进的电磁弹射系统。图乙是一种简化的电磁弹射模型，直流电源的电动势为E，电容器的电容为C，两 条相距L的固定光滑导轨，水平放置处于磁感应强度B的匀强磁场中。现将一质量为m，电阻为R的金 属滑块垂直放置于导轨的滑槽内处于静止状态，并与两导轨接触良好。先将开关K置于a让电容器充 电，充电结束后，再将K置于b，金属滑块会在电磁力的驱动下加速运动，达到最大速度后滑离轨道。不 计导轨和电路其他部分的电阻，忽略空气阻力。下列说法正确的是( )
A.金属滑块在轨道上运动的最大加速度为BEL
mR
B.金属滑块在轨道上运动的最大速度为 BLCE CB2L2+m 2
C.金属滑块滑离轨道的整个过程中流过它的电荷量为 CmE CB2L2+m
D.金属滑块滑离轨道的整个过程中电容器消耗的电能为 mB2L2C2E2 2CB2L2+m
9.(2026·山东聊城·一模)如图所示，整个区域内有竖直向下的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小B =0.2T，两根间距为L=0.5m、半径为R=2m的光滑四分之一圆弧金属导轨竖直放置(底端切线水平)，顶端连接阻值为r=0.8Ω的电阻。长为L、质量为m=0.1kg、阻值为r1=0.2Ω的金属棒从导轨顶端ab处以恒定速率v=10m/s下滑，整个过程中金属棒与导轨接触良好，且始终与导轨垂直。导轨电阻忽略
8
不计，重力加速度为g=10m/s2。下列说法正确的是( )
A.金属棒在ab处时两端电压为1.0V
B.金属棒运动到cd处时两端电压为1.0V
C.金属棒从导轨ab处运动至cd处的过程中，电阻r产生的热量为π 20J
D.金属棒从导轨ab处运动至cd处的过程中，电阻r产生的热量为π 25J
10.(2026·江西南昌·一模)如图所示，倾角为θ、间距为d的光滑导轨的上端连接一自感系数为L的线圈，空间存在垂直于导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场，现将一根质量为m的导体棒从导轨上某
处由静止释放，由于电路中的总电阻极小，此后导体棒在导轨上做简谐运动，导体棒的最大速度与周期
和振幅的关系为vm=2π TA，重力加速度大小为g，下列说法正确的是( ) mg2Lsin2θ
A.导体棒简谐运动的振幅为2mgLsinθ B2d2 B.导体棒的最大速度为
B2d2
C.回路中的最大电流为2mgsinθ Bd D.导体棒简谐运动的周期为πmL 2Bd
11.(2026·浙江衢州·二模)如图所示，间距为L的足够长的光滑平行长直导轨水平放置，两导轨间有磁感应 强度大小为B的匀强磁场。电阻相等的导体棒L1和L2静止在导轨上，与导轨垂直并接触良好，且可以 沿导轨自由滑动。电动势为E、内阻不计的电源及电容为C的电容器、导轨构成如图所示的电路。已知 L1的质量m1大于L2的质量m2，不计导轨电阻，忽略电流产生的磁场，下列说法正确的是( )
9
A.先将S与1接触给电容器充电，稳定后将S拨到2的瞬间，L1的加速度大于L2的加速度
B.先将S与1接触给电容器充电，稳定后将S拨到2，L1、L2的最终速度大小为 BLCE m1+m2+B2L2C
C.撤去L1，将开关S拨到2，电容器未充电，给L2一个初速度v0，导体棒将一直减速到零
D.撤去L1，将开关S拨到2，电容器未充电，给L2一个初速度v0，导体棒做匀减速运动。
12.(2026·山东淄博·一模)如图所示，左侧倾斜光滑平行金属导轨，导轨间距为L 2，与水平面夹角为θ，处于
垂直导轨平面向上磁感应强度大小为B的匀强磁场中；右侧水平平行金属导轨粗糙且足够长，导轨间距为L，处于竖直向上磁感应强度大小为B 2的匀强磁场中，两段导轨相接。两导体棒ab、cd垂直导轨放
置，质量均为m，ab接入电阻为R，cd接入电阻为2R；cd与水平导轨间的动摩擦因数为μ(μ大静摩擦力等于滑动摩擦力。现将ab棒沿倾斜导轨由静止释放，ab滑到某位置时，cd棒恰好开始运
动；一段时间后ab在下滑过程中电流达到稳定。两棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻
不计，重力加速度大小为g。ab下滑过程中( )
A.cd恰好开始运动时，回路中的电流大小为μmg
BL
B.cd恰好开始运动时，ab的速度大小为12μmgR
B2L2
C.ab电流稳定时，cd的加速度大小为gsinθ-μg
D.ab电流稳定时，回路中的电流大小为mg(μ+sinθ)
BL
13.(2026·辽宁沈阳·模拟预测)如图，质量为m、电阻为R0的均匀金属棒ab垂直架在水平面甲内间距为2L
的两光滑金属导轨的右边缘处。下方的导轨由光滑圆弧导轨与处于水平面乙的光滑水平导轨平滑连接
而成(即图中半径OM和O′P竖直)，圆弧导轨半径为R、对应圆心角为60°、间距为2L，水平导轨间距分
别为2L和L。质量也为m、电阻也为R0的均匀金属棒cd垂直架在间距为L的导轨左端。导轨MM′与
PP′、NN′与QQ′均足够长，所有导轨的电阻都不计。电源电动势为E、内阻不计。所有导轨的水平部
分均有竖直方向的、磁感应强度为B的匀强磁场，圆弧部分和其他部分无磁场。闭合开关S，金属棒ab
迅即获得水平向右的速度(未知，记为v0)做平抛运动，并在高度降低2R时恰好沿圆弧轨道上端的切线
方向落在圆弧轨道上端，接着沿圆弧轨道下滑。已知重力加速度为g，求：
10
(1)空间匀强磁场的方向及棒ab做平抛运动的初速度v0；
(2)通过电源E某截面的电荷量q；
(3)从金属棒ab刚落到圆弧轨道上端起至开始匀速运动止，这一过程中棒ab和棒cd组成的系统损失的机械能 E。
11
14.(2026·福建·模拟预测)如图所示，倾角为θ、宽度为L的光滑倾斜导轨EFGH顶端连接电动势大小为E、内阻为r的电源，FG以上区域存在垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一质量为m、电阻为2r的金属棒a垂直导轨放置，金属棒长度为L，与导轨始终接触良好，闭合开关S瞬间将金属棒a由静止释放，金属棒a向下运动一段时间达到匀速后穿出磁场边界FG，经过绝缘圆弧轨道进入足够长的光滑水平导轨MNPQ。已知重力加速度大小为g，导轨电阻不计，求：
(1)金属棒a释放瞬间加速度的大小；
(2)金属棒a在倾斜导轨EFGH匀速运动速度的大小；
(3)金属棒a经过绝缘圆弧后，到达光滑水平导轨MNPQ时的速度大小为v,MQ右侧存在竖直向下、磁感应强度大小也为B的匀强磁场，金属棒b、c通过轻质绝缘弹簧连接，静止在水平导轨上，金属棒b恰好与磁场边界MQ重合，此时弹簧处于原长。三根金属棒a、b、c完全相同，金属棒a与b在MQ处发生碰撞，碰撞时间极短，碰后粘为一体一起运动，经过时间t后，弹簧达到最大压缩量x，此时弹簧的弹性势能为Ep，求这段时间内，金属棒c产生的焦耳热及金属棒c运动位移的大小。
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15.(25-26高三上·河南·期末)如图所示，两足够长平行导轨倾斜固定在水平面上，倾角为α=37°，两导轨之间的距离为L=1m，导轨顶端用导线连接一阻值为R=1.5Ω的定值电阻，长为L=1m、质量为m= 0.5kg、阻值为r=1.0Ω的导体棒ab垂直导轨放置，水平虚线MN下侧存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1.0T。现将导体棒ab从虚线上侧s=2m处静止释放，导体棒越过虚线MN后经t=3.1s的时间刚好匀速。已知导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ=0.25，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6。忽略导轨和导线的电阻。求：
(1)导体棒ab刚越过虚线MN时的加速度大小；
(2)导体棒ab在磁场中达到的最大速度；
(3)导体棒ab从越过虚线MN到刚好匀速的过程中，定值电阻上产生的焦耳热。
13
16.(2025·河南郑州·三模)如图，水平面(纸面)内固定有两足够长、光滑平行金属导轨，间距为l，其左端接有阻值为R的定值电阻。一质量为m的金属杆MN(长度略大于l)垂直放置在导轨上。在电阻和金属杆间，有两个垂直于纸面向里的匀强磁场，圆形磁场面积为S，磁感应强度大小B1随时间的变化关系为B1
=kt(k为大于零的常量)；矩形磁场abcd磁感应强度大小B2=B。从t=0时刻开始，矩形磁场以速度v0
向右匀速运动；t=t0时，bc边恰好到达金属杆MN处。之后，金属杆跟随磁场向右运动；t=2t0时，系统
达到稳定状态。已知金属杆与导轨始终垂直且接触良好，整个过程金属杆未离开矩形磁场区域，不计金
属杆和导轨电阻，磁场运动产生的其他影响可忽略，求：
(1)t=0到t=t0时间内，流经电阻R的电荷量；
(2)t=t0时刻，MN加速度的大小；
(3)t=t0到t=2t0时间内MN与矩形磁场的相对位移。
14
17.(2026·海南省直辖县级单位·二模)如图所示，倾角为θ=53°的倾斜导轨与足够长的水平导轨用绝缘体(长度不计)平滑衔接。两导轨的宽度均为L=1m，倾斜导轨顶端接有一不带电的电容器，电容C= 0.4F，倾斜导轨处有垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B1=1T。水平导轨处的磁场竖直向上，磁感应强度大小以B2=B0+k1x随x均匀增大，其中B0未知，k1=1T/m，x为到衔接点的距离。水平导轨上静置一导体棒b，b左侧垂直连接一个长度为L=1m的绝缘轻杆，轻杆左端有一小块橡皮泥(质量不计)，橡皮泥与水平导轨左端对齐。倾斜导轨上距离衔接点d=2m处由静止释放一个导体棒a，a运动到水平导轨处与轻杆碰撞并粘在一起向右运动，碰撞时间极短。已知两导体棒的质量均为m= 0.1kg，导轨及a棒的电阻不计，b棒接入电路的电阻为R=4Ω，导体棒a与倾斜导轨间的动摩擦因数μ =0.5，a、b棒在水平导轨上运动时各自受到的阻力大小均与速度成正比(不包括安培力及轻杆弹力)，即F阻=k2mgv，其中k2=1s/m。两棒与导轨始终垂直且接触良好，sin53°=0.8，重力加速度g取10m/s2，求：
(1)导体棒a下滑过程的加速度大小及滑到底端时的速度大小；
(2)导体棒a、b碰撞结束瞬间导体棒a的加速度大小；
(3)停止运动后导体棒b到衔接点的距离(结果可用分数表示)。
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18.(2025·贵州黔南·三模)如图所示，绝缘水平面上固定一平行金属导轨，导轨两端分别与足够长的倾斜平 行金属导轨平滑连接，导轨间距均为L=1m，水平导轨中部的cdef矩形区域内有竖直向上的匀强磁场， 磁感应强度大小B=0.5T。现有质量m1=1kg的金属棒a从左侧轨道上高为h=5m处由静止释放，穿 过磁场区域后，与静止的质量m2=2kg的金属棒b发生弹性碰撞。碰后瞬间b棒的速度大小为v2= 25
4m/s，并沿右侧轨道上升到最大高度时锁定。已知两金属棒接入电路的阻值均为r=0.2Ω，导轨电阻 不计，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度g取10m/s2，不计一切摩擦阻力。求：
(1)a棒刚进入磁场区域时的加速度大小a0；
(2)矩形区域cf的长度x；
(3)a棒最终停止时与cd间的距离Δx及整个运动过程中a棒产生的焦耳热Qa。
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19.(25-26高二下·黑龙江双鸭山·开学考试)如图甲所示，两条相距L=1m的平行金属导轨位于同一水平面内固定放置，其左端接一阻值为R=3Ω的定值电阻，右端放置一接入阻值r=1Ω、质量m=1kg的金属杆，金属杆与导轨间的动摩擦因数μ=0.1，初始时杆与MP端相距d=2m。导轨置于竖直向下的磁场中，其磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。在金属杆中点施加一水平作用力F(F未知)，使0~2s内杆静止不动。在t=2s时，改变F使杆开始向右做加速度大小a=1m/s2的匀加速直线运动，至5s末力F做的功为27J，导轨电阻不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。求：
(1)t=1s时力F的最小值和对应方向；
(2)0~5s内通过金属杆的电荷量；
(3)0~5s内电阻R上产生的焦耳热。
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20.(2025·河北·一模)匝数n=10的圆形线圈处在方向竖直向上、磁感应强度大小随时间均匀变化的磁场 B1中，与水平金属导轨相连。水平导轨M1M2、N1N2部分光滑，P1P2、Q1Q2部分粗糙，连接导轨的M2P1、 N2Q1部分为光滑绝缘体。M1M2N1N2区域内存在垂直导轨平面竖直向上的匀强磁场B2，P1P2Q1Q2区域 内存在垂直导轨平面竖直向上的匀强磁场B3，导轨间距均为L=0.5m。在导轨末端P2Q2间接有电阻 R。在M1N1与M2N2间静止放置一导体棒a，在M2N2与P1Q1之间静止放置另一相同的导体棒b。已知 B1=0.6tT ，B2=1T，B3=2T，a、b棒质量均为m=0.5kg，长度均为0.5m，两棒电阻均为r=1Ω，电 阻R的阻值为0.5Ω，取重力加速度大小g=10m/s2，导体棒与粗糙导轨之间的动摩擦因数μ=0.2，不计 其他电阻，a、b棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。已知圆形线圈中产生的感应电动势为3V。
(1)求圆形线圈的面积S。
(2)闭合开关，导体棒a开始向右运动，在未离开磁场B 时速度已达到最大，求导体棒a的最大速度vm
和该过程通过导体棒a的电荷量q。
(3)导体棒a离开磁场B2后与导体棒b发生碰撞并粘在一起，两棒立即通过P1Q1进入磁场B3，之后经过时间t=1.0s后停止，求导体棒在磁场B3中运动的位移x和此过程电阻R产生的焦耳热Q。
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