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2026年湖南省株洲市荷塘区中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2026的相反数是（　　）
A. -2026 B. 2026 C. D.
2.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录.下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3.株洲市2025年地区生产总值（GDP）达4063亿元，同比增长4%，其中4063亿用科学记数法表示为（　　）
A. 0.4063×1012 B. 4.063×1011 C. 4063×108 D. 4.063×1012
4.下列运算结果正确的是（　　）
A. a3 a2=a5 B. a2+a2=a4 C. （a3）3=a6 D. a-3=-a3
5.世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》.书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”.现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的.如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　）
A. 内错角相等，两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 对顶角相等 D. 两点确定一条直线
6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
7.如图是某班级的一次数学测试成绩统计图（说明：图中的50～60表示50≤x＜60，其余类推），则下列说法不正确的是（　　）
A. 参加测试的总人数为40人 B. 人数最少的得分段的频数为2
C. 得分在60～70分的人数最多 D. 本次测试的及格（≥60分）率为90%
8.如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（ ）
A. 一定不是平行四边形 B. 一定不是中心对称图形
C. 可能是轴对称图形 D. 当AC＝BD时，它为矩形
9.如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x,盘子摞在一起的厚度为y cm,则y与x之间的函数图象关系（不考虑自变量取值范围）大致为（　　）
A. B. C. D.
10.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上，且∠DOE=90°，DE交OC于P，下列结论正确的共有（　　）
①图中的全等三角形共有3对；
②AD=CE；
③∠CDO=∠BEO；
④OC=DC+CE；
⑤△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 ．
12.已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）满足反比例函数，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为0.5m,则k= .
13.为培养学生运用AI的意识，某校主办的科学社团展示活动，确定了“灵光”“Kimi”“豆包”和“千问”四个主题.若八年级的13班和14班分别随机选择其中一个主题来展示，则这两个班选择同一主题的概率是 .
14.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是 .
15.我们规定：如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成m×n,其中m与n都是两位数，m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称数A为“和九数”，并把数A分解成A=m×n的过程，称为“和九分解”.例如：因为1188=33×36，33和36的十位数字相同，个位数字之和为9，所以1188是“和九数”，1188分解成1188=33×36的过程就是“和九分解”.按照这个规定，最大的“和九数”是 .把一个“和九数”A进行“和九分解”，即A=m×n,若F（A）=m+n+1，G（A）=|m-n|，令，若H（A）能被3整除，则满足条件的自然数A的最大值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共3分。
16.解分式方程：=.
四、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
计算：.
18.(本小题9分)
先化简，再求值：，其中x=-4.
19.(本小题9分)
某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM=3米，∠BOM=18.17°.（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果精确到1米）
（1）求直吊臂OB的长；
（2）直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM=36°时，货物M上升了多少米？
20.(本小题9分)
如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A，B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交BD的延长线于点E，连接AC，AD.
（1）若∠ABD=2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线.
（2）连接BC，若BC=4，，求⊙O的半径长.
21.(本小题9分)
【问题情境】文园中学准备开展校庆活动，需选拔若干名身高相近的学生组成仪仗队进行方阵表演.为此，要先开展一次调查研究来了解全校学生的身高分布情况.
【调查方案】选取100个人进行调查，现有三种调查方案：
方案A：在各个班级后两排中随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析；
方案B：在各个班级随机选取100名男学生的身高作为样本进行调查分析；
方案C：在各个班级随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析.
（1）其中抽取的样本具有代表性的方案是______（填“A”“B”或“C”）.
【数据整理】学校根据样本数据，整理成表格（注：每组身高含最低值，不含最高值）；
身高段（单位：cm） 频数
①153 163 10
②163 173 50
③173 183 m
④183 193 10
【问题解决】请结合表中信息解答下列问题：
（2）填空：m=______；
（3）估计该校学生身高的中位数落在身高段______（填“①”“②”“③”或“④”）；
（4）现需选拔身高达到183cm及以上的人组成仪仗队，若该校有1500名学生，请估计能参加选拔校园仪仗队的学生人数.
22.(本小题9分)
2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作.随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率.拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣.若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元.
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价.
（2）该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且总费用不超过1000万元.最多能买A型机器人多少台？
23.(本小题9分)
综合与实践
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板ABCD的边AB、BC上分别取点E、F，且AE=BF，AF交DE于点O.连接AC，过点F作FG⊥AC，垂足为G，连接GD、GE，DE交AC于点P，GE交AF于点Q.
【活动猜想】
（1）GD与GE的数量关系是______，位置关系是______；
【探索发现】
（2）证明（1）中的结论；
【实践应用】
（3）若AD=3，AE=1，求QF的长；
【综合探究】
（4）若AD=3，则当AP= ______时，△DPG的面积最小.
24.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx-6的顶点坐标为（2，-8）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，点E为线段BC上一点，过点E作EM∥y轴，交x轴于点M，当AE平分∠CEM时，求直线AE的解析式；
（3）如图2，点F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线AF分别与y轴、直线BC交于点D，E.若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3=2S2，求点F的坐标.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】x≥3
12.【答案】100
13.【答案】
14.【答案】30°
15.【答案】8928
5544

16.【答案】x=-5．
17.【答案】2．
18.【答案】，．
19.【答案】解：（1）由题意得，BM⊥OM，
∵∠BOM=18.17°，BM=3米，
∴在Rt△BOM中，（米），
答：直吊臂OB的长为10米；
（2）如图，设旋转后的点B，M的对应点为B′，M′，延长B′M′交OM于点F，过点B作BE⊥B′F于点E，
则∠BEF=90°，
由题意得B′M′=BM=3米，OB′=OB=10 米，
∴∠BEF=∠EFM=∠BMF=90°，
∴四边形EFMB为矩形，
∴BM=EF=3米，
在Rt△B′OF中，B′F=OB′×cos∠OB′M′=10×0.81=8.1（米），
∴M′F=B′F-B′M′=8.1-3=5.1≈5（米），
∴货物M上升了5米．
20.【答案】证明见解答；
⊙O的半径长为2．
21.【答案】C； 30； ②； 150
22.【答案】A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元 最多能买A型机器人5台
23.【答案】解：（1）相等，垂直；
（2）证明：过点G作GM⊥BC于M，过点G作NT⊥GM分别交AB、CD于T、N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，∠B=∠BCD=90°，
∴∠TGM=∠B=∠GMB=∠GMC=∠BCD=∠NGM=90°，
∴四边形TBMG为矩形，四边形GMCN为正方形，
∴GN=GM=MC=CN=BT，∠CNT=∠BTG=90°，BM=GT，
∴∠DNG=∠GTE=90°，
∴DC-CN=BC-CM，
即DN=BM=GT，
∵FG⊥AC，∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠CFG=45°，
∴CG=GF，
∴CM=MF，
∴GN=GM=MC=CN=BT=MF，
∵AE=BF，
∴AB-AE-BT=BC-BF-MF，
∴ET=NG，
∴Rt△DNG≌Rt△GTE，
∴DG=GE，∠NDG=∠EGT，
又∵∠NDG+∠NGD=90°，
∴∠EGT+∠NGD=90°，
∴∠DGE=90°，
∴DG⊥GE；
（3）在正方形ABCD中，
由AB=AD，∠DAE=∠ABF=90°，AE=BF，
∴Rt△DAE≌Rt△ABF，
∴∠ADE=∠BAF，AF=DE，
∴∠ADE+∠DEA=∠BAF+∠DEA=90°，
∴∠AOE=90°，
∴AF⊥DE，
在Rt△DAE中，AD=3，AE=1，
得，
由等面积法得，
即，
∴AO=，
在Rt△OAE中，，
由（2）可知DG=GE，DG⊥GE，
∴∠GED=45°，
∴△EOQ为等腰直角三角形，
∴，
∴；
（4）如图，构造△DGP的外接圆⊙H，连接DH，PH，GH，过点H作HR⊥AC于点R，
设⊙H的半径为r,过点D作DT⊥AC于T，
由（2）可知DG=GE，DG⊥GE，
∴∠GDP=45°，
∴∠PHG=2∠GDP=90°，
∵HP=HG，
∴△HPG是等腰直角三角形，，
∴，
∵正方形ABCD中，AD=3，△ACD是等腰直角三角形，，
∴，
∴当PG最小时，△DPG的面积最小，
∴当r最小时，△DPG的面积最小，，
∴当DH+HR最小时，△DPG的面积最小，由点到直线的最短距离可得，
当D、H、R依次共线，且DR⊥AC时，DH+HR最小，此时如图，点T与R重合，
则，
解得：，
∴，
∴．
24.【答案】解：（1）由题意得：y=a（x-2）2-8=ax2-4ax+4a-8=ax2+bx-6，
则4a-8=-6，则a=，
则抛物线的表达式为：y=x2-2x-6；
（2）∵ME∥y轴，AE平分∠CEM，
故∠DEC=∠AEM=∠CDE，即DC=CE，
由抛物线的表达式知，点B、C的坐标分别为：（6，0）、（0，-6），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=x-6，设点E（m,m-6），
由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为：y=（x+2），则点D（0，），
由点C、D、E的坐标得：CD=，CE=m=CD=，
解得：m=4-2，
则直线AE的表达式为：y=（1-）x+2-2；
（3）∵S1+S3=2S2，则AD+EF=2DE，
则xD-xA+xF-xE=2（xE-xD），即3xE-xF=2，
设点F（m,m2-2m-6），
由点A、F的坐标得，直线AF的表达式为：y=（m-6）（x+2），
联立上式和直线BC的表达式得：x-6=（m-6）（x+2），
解得：xE=，
则3×-m=2，
解得：m=4，
则点F（4，-6）．
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