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2026年中考数学第二轮专题复习之：“综合与实践”题型解析
“综合与实践”题型是山西中考特色压轴题，这种题通常以几何图形为背景，融合动态变换、操作探究、猜想证明等，难度大、综合性强。所以，这类题抓住“图形变换”的数学本质和“逆向思考”是破解关键。核心是 “在变化中寻找不变，在操作中发现规律”。
按要求完成操作：平移、旋转、折叠、拼接、画图，务必精准。
计算特殊值：计算特定条件下的长度、角度、面积，将结果明确写在试卷上。这是猜想的依据。
作图是语言：用铅笔、直尺、圆规规范作图，图中清晰标注已知条件和操作结果。
对比找规律：对比操作前后图形的变化，关注哪些量变了，哪些量不变。
提出猜想：用数学语言表述猜想，通常是“线段相等”、“角相等”、“平行/垂直”、“面积比为定值”等。
从特殊到一般：从第一问的特殊情形，推想第二、三问中更一般的情形下，结论是否依然成立。
寻找“工具箱”：回顾猜想涉及的知识点（全等、相似、勾股、特殊四边形性质、圆的性质等）。
构造辅助线：通过连接、延长、作平行线或垂线，构造出证明所需的“基本模型”（如“手拉手”、“一线三垂直”）。
规范书写：逻辑清晰，步骤完整，做到“言之有据”。
方法迁移：识别新问题与前面探究问题的共性，尝试使用相同的方法（如添加同样的辅助线，使用同样的证明思路）。
结论活用：将前面证明的一般性结论作为已知条件，直接用于新问题的求解。
注意边界：考虑极端情况（如点重合、三点共线），判断结论是否仍然成立。
1．综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”活动课上，老师给出了一张如图1所示的正方形纸片，点在线段上，点在线段上，且满足，连接．
数学思考：
(1)线段与的数量关系为___________，位置关系为___________．
猜想证明：
(2)如图2，连接交于点，将绕点顺时针旋转，取线段的中点并记为，连接，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．
拓展探究：
(3)在（2）的基础上继续将绕点顺时针旋转，若，当三点共线时，直接写出线段的长．
2．综合与实践：

在综合与实践课上，刘老师引导学生探究矩形的折叠．
矩形纸片中，点为射线上一点，小明沿折叠得到，点的对应点为，分别延长，交直线于点，N．
【问题提出】
（1）如图1，若点与点重合，请判断与的数量关系为______；
【再次探究】
（2）如图2，当点与点不重合时，（）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若，，当时，直接写出的长．
3．综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点A逆时针旋转得到矩形纸片，点B，C，D的对应点为、、；如图2．连接、，当在的延长线上时，延长，交于点E，试判断四边形的形状，并说明理由．
数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；
深入探究：（2）老师将如图1中的矩形纸片绕点A逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题．
①“奋进小组”提出问题：如图3，当点落在上时，连接，取的中点M，连接、，试猜想三条线段的数量关系，并加以证明，请你解答此问题；
②“团结小组”提出问题：如图4，当点落在上时，连接，交于点F．若，，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
4．综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作猜想：
如图1，四边形是矩形，，点E是边上一点，连接，沿折叠，使点D的对应点落在上．填空：，；
(2)探索证明：
如图2，在图1的条件下，延长与的延长线相交于点F，连接．求的度数和的值；
(3)拓展延伸：
如图3，四边形是正方形，E，F，G，H分别为的中点，连接．点M是边上一点，连接，将沿折叠，使点B的对应点落在或上时，直接写出的值．
5．综合与实践
问题背景
如图1，某数学兴趣小组在一次综合与实践活动中，用三张全等的直角三角形纸片探究数学问题，即、、是全等的直角三角形，其中．点与的中点重合，．
（1）①的长为_____；
②设与交于点，求的长．
类比延伸
（2）如图2，将绕点顺时针旋转，是的中点，是的中点，连接，求的最大值．
拓展探究
（3）如图3．将绕点顺时针旋转，延长，交于点，若，求的长．
6．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
如图①-②，D为等腰的斜边所在直线上的一个动点，连接，把绕着点C 逆时针旋转到的位置．同学们通过观察，发现了以下结论∶①；②；③如图②，若，四边形 的面积为 ，④、、的数量关系是 ；

(2)类比迁移
如图④-⑥，D为等腰的直角边所在直线上的一个动点，连接，把绕着点 D 逆时针旋转到的位置，连接．请你类比问题（1）中的结论，选用图④、图⑤、图⑥中的任意一个图形完成下列问题：
①求 的值；
②试探究、、的数量关系，并证明你的结论；

(3)拓展应用
若，当点D在直线上运动至时，请直接写出的长和以A、B、D、E 为顶点的四边形的面积．
7．综合与实践
问题情境：（1）在综合与实践活动课上，老师出示了一个问题．
如图1，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕为，展开后，连接，．试探究四边形的形状，并说明理由．
独立思考：请解答老师提出的问题．
实践探究：（2）“希望小组”受此问题的启发，如图2，将平行四边形纸片改为矩形纸片，然后将矩形纸片沿着折痕折叠，使点与点重合，点落在点处，展开铺平，连接，若，求折痕的长．
解决问题：（3）“智慧小组”突发奇想，如图3，将平行四边形纸片沿着折叠，连接，若点的对应点恰好落在上，展开铺平，连接，当时，直接写出的长．

8．综合与实践
综合与实践课上，老师让学生们以“矩形的两次折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
如图①，在矩形中，，，点E是上一点，将沿直线折叠得到．根据以上操作，当时，则______°；
(2)实践探究
①如图②，连接，当点F在上时，的形状为______；
②如图③，点G是上一点，将沿直线折叠得到，连接，且E，F，H三点头线，判断线段与的位置关系，并说明理由；
(3)拓展应用
如图③，在（2）②的条件下，当中存在角时，求的长．
9．综合与实践

在综合与实践课上，同学们以如图1的两个含的直角三角尺为主题开展数学活动，其中，，．
(1)轴对称小组将以为对称轴翻折，如图2，与交于点P，连接，发现，请你证明这个结论．
(2)旋转小组将以中点为旋转中心，逆时针旋转到如图3的位置，、边与边、交于点、、，连接，求的长度．
(3)平移小组将沿向下平移到图4时，分别延长、，交、于点、，发现四边形恰好是正方形，直接写出此时正方形的面积．
10．综合与实践．
问题情境：
综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动．
实践操作：
如图1，将等腰Rt△AEF绕正方形ABCD的顶点A逆时针方向旋转，其中∠AEF＝90，EA＝EF，连接CF，点H为CF的中点，连接HD，HE，DE，得到△DHE．
应用探究：
（1）勤奋组：
如图2，当点E恰好落在正方形ABCD的对角线AC上时，判断△DHE的形状，并说明理由；
（2）善思组：
如图3，当点E恰好落在正方形ABCD的边AB上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
深入探究：
（3）创新小组：
发现若连接BE，在旋转Rt△AEF的过程中，为定值，请你直接写出其值　 　．
1．（2025山西中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．

(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；
(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．

2．（2023山西中考真题）综合与实践
问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由
拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接．
①若，判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长
1．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．
在矩形中，是对角线，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点分别是点的对应点．
(1)如图1，连接，猜想的数量关系并说明理由．
(2)如图2，隐去对角线，当点恰好落在边上时，连接交于点．
①求证：．
②若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为______．
(3)若点落在直线上，请直接写出的长．
2．综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将正方形与正方形按图1所示的方式摆放，其中，试求的长．
数学思考：
（1）请你解答老师提出的问题．
深入探究：
（2）老师将图1中的正方形绕点逆时针方向旋转，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图2，当点落在边上时，连接、，延长与交于点，求的长．请你解答此问题．
②“智慧小组”提出问题：如图3，连接、，线段与交于点，当点在直线左侧时，连接，若存在实数满足等式，求出的值．请你思考此问题，直接写出结果．
3．综合与实践
问题情境：
在一节几何探究课上，老师提出这样一个问题：在正方形中，E是对角线上一点，以为一边作正方形，点F恰好在边所在的直线上，连接，求证：．
观察思考：
（1）如图1，当点F在边上时，请解答老师提出的问题．
探索发现：
受到老师的启发，综合与实践小组的同学进一步探究：H是的中点，连接．
（2）如图2，在图1的基础上，试猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）当E是的三等分点，时，请直接写出的长．
4．综合与实践
问题情境
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．已知矩形纸片，，如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，展开后折痕交于点．如图2，在图1的基础上，继续沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，展开后折痕交于点，延长交于点．
初步探究
（1）求证：四边形是平行四边形．
深入探究
（2）判断和的数量关系，并说明理由．
拓展延伸
（3）当四边形为菱形时，直接写出的值．
5．综合与实践
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们利用准备好的两个矩形纸片进行探究活动．
智慧小组准备了两张矩形纸片和，其中，将它们按如图所示的方式放置，点落在上，点落在的延长线上，连接和．
观察发现：
（1）如图连接，则和的位置关系是__________，___________．
操作探究：
（2）如图，将矩形绕点按顺时针方向旋转（），试探究（1）中和的数量关系是否仍然成立，并说明理由．
拓展延伸：
（3）在矩形旋转的过程中，当三点共线时，直接写出线段的长．
6．综合与实践
【问题情境】
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G，试判断四边形的形状，并说明理由．
【数学思考】
（1）请你解答以上老师提出的问题；
【深入探究】
（2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，让同学们提出新的问题并请你解答此问题．
“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．证明：．
【拓展提升】
（3）如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长．
2026年中考数学第二轮专题复习之：“综合与实践”题型解析
“综合与实践”题型是山西中考特色压轴题，这种题通常以几何图形为背景，融合动态变换、操作探究、猜想证明等，难度大、综合性强。所以，这类题抓住“图形变换”的数学本质和“逆向思考”是破解关键。核心是 “在变化中寻找不变，在操作中发现规律”。
按要求完成操作：平移、旋转、折叠、拼接、画图，务必精准。
计算特殊值：计算特定条件下的长度、角度、面积，将结果明确写在试卷上。这是猜想的依据。
作图是语言：用铅笔、直尺、圆规规范作图，图中清晰标注已知条件和操作结果。
对比找规律：对比操作前后图形的变化，关注哪些量变了，哪些量不变。
提出猜想：用数学语言表述猜想，通常是“线段相等”、“角相等”、“平行/垂直”、“面积比为定值”等。
从特殊到一般：从第一问的特殊情形，推想第二、三问中更一般的情形下，结论是否依然成立。
寻找“工具箱”：回顾猜想涉及的知识点（全等、相似、勾股、特殊四边形性质、圆的性质等）。
构造辅助线：通过连接、延长、作平行线或垂线，构造出证明所需的“基本模型”（如“手拉手”、“一线三垂直”）。
规范书写：逻辑清晰，步骤完整，做到“言之有据”。
方法迁移：识别新问题与前面探究问题的共性，尝试使用相同的方法（如添加同样的辅助线，使用同样的证明思路）。
结论活用：将前面证明的一般性结论作为已知条件，直接用于新问题的求解。
注意边界：考虑极端情况（如点重合、三点共线），判断结论是否仍然成立。
1．综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”活动课上，老师给出了一张如图1所示的正方形纸片，点在线段上，点在线段上，且满足，连接．
数学思考：
(1)线段与的数量关系为___________，位置关系为___________．
猜想证明：
(2)如图2，连接交于点，将绕点顺时针旋转，取线段的中点并记为，连接，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．
拓展探究：
(3)在（2）的基础上继续将绕点顺时针旋转，若，当三点共线时，直接写出线段的长．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】连接，则， ，，根据题意得，判定，有，，即可得到；
连接，由（1）知，和都是等腰直角三角形．可证得，有，进一步证得，得到．在中，即可；
当点在线段上时，由题意得，得到．利用勾股定理得，即可求得，利用（2）的结论即可求得；当点在线段上时，同上求得，利用（2）的结论即可求得．
【详解】（1）解： ．理由如下：
连接，如图，
∵四边形为正方形纸片，
∴， ，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
则
（2）．
理由：如图1，连接．
图1
由（1）知，和都是等腰直角三角形．
是的中点，
，
，
，
，
，
，
．
在中，，
，
．
（3）线段的长为或．
情况1：如图2，当点在线段上时，
图2
，
．
在中，．
是的中点，
．
，且点在同一条直线上，
，
在中，，
．
，
．
情况2：如图3，当点在线段上时，
图3
，
，
在中，．
是的中点，
．
，且点在同一条直线上，
．
在中，，
．
，
．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、平行线的判定和性质、解直角三角形、勾股定理和二次根式的混合运算，解题的关键是熟悉旋转的性质和相似三角形的性质，以及作辅助线．
2．综合与实践：

在综合与实践课上，刘老师引导学生探究矩形的折叠．
矩形纸片中，点为射线上一点，小明沿折叠得到，点的对应点为，分别延长，交直线于点，N．
【问题提出】
（1）如图1，若点与点重合，请判断与的数量关系为______；
【再次探究】
（2）如图2，当点与点不重合时，（）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若，，当时，直接写出的长．
【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）或．
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定；
（1）根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，由折叠可知：， 等量代换，即可得证；
（2）同（1）的方法证明即可；
（3）分两种情况讨论：①当点在线段上时，证明得出，，进而证明点与点重合；即可得出；②当点在的延长线上时，由可得：， 得出，设，则，在中，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴
∴
由折叠可知：，
∴
故答案为：．
（2）证明：四边形为矩形，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴；
（3）当时，线段的长为或．
①当点在线段上时，如图1，
由可得：，
∴，
∴，，
∴，
∵ 折叠可得，又在上，则
∴点与点重合，
∴；
②当点在的延长线上时，如图2，
由可得：，
∴，即，
则，
∵，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得：，
∴．
综上所述：当时，线段的长为或．

3．综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点A逆时针旋转得到矩形纸片，点B，C，D的对应点为、、；如图2．连接、，当在的延长线上时，延长，交于点E，试判断四边形的形状，并说明理由．
数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；
深入探究：（2）老师将如图1中的矩形纸片绕点A逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题．
①“奋进小组”提出问题：如图3，当点落在上时，连接，取的中点M，连接、，试猜想三条线段的数量关系，并加以证明，请你解答此问题；
②“团结小组”提出问题：如图4，当点落在上时，连接，交于点F．若，，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】（1）是平行四边形，理由见解析 （2）① ②
【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）证明两组对边分别平行即可得到结论；
（2）①连接，由旋转可得，，然后利用勾股定理解题即可；
②过点作于点，先根据三角形的面积得到，求出长，然后利用解题即可．
【详解】解：（1）∵是矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴是平行四边形；
（2）①
如图，连接，
由旋转可得，，
∴，
又∵M是的中点，
∴；
②过点作于点，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：
4．综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作猜想：
如图1，四边形是矩形，，点E是边上一点，连接，沿折叠，使点D的对应点落在上．填空：，；
(2)探索证明：
如图2，在图1的条件下，延长与的延长线相交于点F，连接．求的度数和的值；
(3)拓展延伸：
如图3，四边形是正方形，E，F，G，H分别为的中点，连接．点M是边上一点，连接，将沿折叠，使点B的对应点落在或上时，直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)；；
(3)的值为或．
【分析】（1）利用折叠的性质，，由正弦函数的定义可求得，再根据平行线的性质即可求得；求得，再利用正弦函数的定义可求得，据此求解即可；
（2）先证明四边形是平行四边形，即可求得；由（1）得，则设，则，求得，再证明，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）分当点落在上和上，同（1）或（2）的方法求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，沿折叠，使点D的对应点落在上，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴；
由折叠的性质得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
故答案为：；；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由折叠的性质得，，
∴，
∴，则，
∴四边形是平行四边形，
∴；
由（1）得，
∴设，则，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：设正方形的边长为，
∵E，F，G，H分别为的中点，
∴，
当点落在上时，
∵折叠，
∴，
同理，，
∴，，，
∴；
当点落在上时，
∵折叠，
∴，同理，则，
∴，
∴，
∴；
综上，的值为或．
【点睛】本题考查了矩形与折叠的问题，正方形与折叠的问题，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
5．综合与实践
问题背景
如图1，某数学兴趣小组在一次综合与实践活动中，用三张全等的直角三角形纸片探究数学问题，即、、是全等的直角三角形，其中．点与的中点重合，．
（1）①的长为_____；
②设与交于点，求的长．
类比延伸
（2）如图2，将绕点顺时针旋转，是的中点，是的中点，连接，求的最大值．
拓展探究
（3）如图3．将绕点顺时针旋转，延长，交于点，若，求的长．
【答案】（1）①2；②；（2）；（3）
【分析】（1）①由得到，根据中点的定义求得，根据得到，根据线段的和差即可解答；
②设与交于点．根据全等三角形的性质得到，，从而，，证明，得到，，证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）连接．得到，，根据即可求解；
（3）设与交于点，过点分别作于点，于点．由题意得，，则，设，则．
由得到．根据即可求出，从而．证明，得到，设，则．由得到，从而，因此，解得，再由即可求解．
【详解】解：（1）①∵，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：2；
②如图1，设与交于点．
∵、、是全等的直角三角形，
∴，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
∴，
∴
，
，
∵，
，
，即，
解得．
（2）如图2，连接．
是的中点，是的中点，
，，
，
的最大值为．
（3）如图3，设与交于点，过点分别作于点，于点．
由题意得，，
，设，则．
，
．
，
，解得，
，则，
．
，
∴，
，
，
．
，设，则．
，
，
，
，
，解得，
．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，相似三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，解直角三角形等，综合运用相关知识是解题的关键．
6．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
如图①-②，D为等腰的斜边所在直线上的一个动点，连接，把绕着点C 逆时针旋转到的位置．同学们通过观察，发现了以下结论∶①；②；③如图②，若，四边形 的面积为 ，④、、的数量关系是 ；

(2)类比迁移
如图④-⑥，D为等腰的直角边所在直线上的一个动点，连接，把绕着点 D 逆时针旋转到的位置，连接．请你类比问题（1）中的结论，选用图④、图⑤、图⑥中的任意一个图形完成下列问题：
①求 的值；
②试探究、、的数量关系，并证明你的结论；

(3)拓展应用
若，当点D在直线上运动至时，请直接写出的长和以A、B、D、E 为顶点的四边形的面积．
【答案】(1)③2
(2)①②
(3)，四边形的面积为或，四边形的面积为
【分析】（1）③证明，可得出，进而得出四边形 的面积为，即可求解；
④分点D在A的左侧；D在A、B之间；D在A的右侧讨论即可；
（2）①若选择图④，过点E作于F，证明，可得出，，利用勾股定理求出，然后代入计算即可；若选择图⑤，图⑥同理可求；
②分点D在C的左侧；D在C、B之间；D在B的右侧讨论即可；
（3）分D在C的左侧或B的右侧两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：③∵旋转，
∴，，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
∴四边形 的面积为；
故答案为：2；
④当D在A的左侧时，如图①，连接，

同理可证，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当D在A、B之间时，如图②，连接，

同理可证，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴；
当D在A的右侧时，如图③，连接，

同理可证，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴；
综上，；
故答案为：；
（2）解：①选择图④，过点E作于F，

∵旋转，
∴，，
又，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
选图⑤，过点E作于F，

同理可证，
∴，，
∴，
∴，
∴；
选图⑥，过点E作于F，

同理可证，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②
理由如下：
当点D在C的左侧时，如图④，过点E作于F，

∴，
由①知，，
∴
∴；
当D在C、B之间时，如图⑤，过点E作于F，

∴，
由①知，，
∴
∴；
当D在B的右侧时，如图④，过点E作于F，

∴，
由①知，，
∴
∴；
综上，
（3）解：∵，当点D在直线上运动至时，
∴D在C的左侧或B的右侧，
当D在C的左侧时，如图，过点E作于F，连接，

同（2）①可证，
∴，，
∴，
∴，
四边形的面积为；
当点D在B的右侧时，如图，过点E作于F，连接，，

同（2）①可证，
∴，，
∴，
∴，
四边形的面积为；
综上，，四边形的面积为或，四边形的面积为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形，合理分类讨论是解题的关键．
7．综合与实践
问题情境：（1）在综合与实践活动课上，老师出示了一个问题．
如图1，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕为，展开后，连接，．试探究四边形的形状，并说明理由．
独立思考：请解答老师提出的问题．
实践探究：（2）“希望小组”受此问题的启发，如图2，将平行四边形纸片改为矩形纸片，然后将矩形纸片沿着折痕折叠，使点与点重合，点落在点处，展开铺平，连接，若，求折痕的长．
解决问题：（3）“智慧小组”突发奇想，如图3，将平行四边形纸片沿着折叠，连接，若点的对应点恰好落在上，展开铺平，连接，当时，直接写出的长．

【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）；（3）
【分析】（1）由折叠的性质，可得，，．进而利用平行四边形的性质得，，，从而得，于是即可得四边形是菱形．．
（2）如图1，连接．由矩形的性质得，进而利用勾股定理得．设，则．再利用勾股定理求得．在菱形中，利用面积法即可得解．
（3）如图2，过点作，交的延长线于点，根据平行四边形的性质及勾股定理得，，．再证明，得．又在中，根据勾股定理，可得，从而即可得解．
【详解】解：（1）四边形是菱形．理由：
由折叠的性质，可得，，．
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）如图1，连接．
四边形为矩形，
，
．
设，则．
由折叠性质可得，，
，解得，
．
由（1），知四边形是菱形，
，
，
．
（3）如图2，过点作，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，，，
∴，，
，
，．
由折叠的性质，可得，
，，
．
，
，
，
．

在中，根据勾股定理，可得
，
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，菱形的判定及性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理，矩形的性质，菱形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题的关键．
8．综合与实践
综合与实践课上，老师让学生们以“矩形的两次折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
如图①，在矩形中，，，点E是上一点，将沿直线折叠得到．根据以上操作，当时，则______°；
(2)实践探究
①如图②，连接，当点F在上时，的形状为______；
②如图③，点G是上一点，将沿直线折叠得到，连接，且E，F，H三点头线，判断线段与的位置关系，并说明理由；
(3)拓展应用
如图③，在（2）②的条件下，当中存在角时，求的长．
【答案】(1)30
(2)①等腰三角形；②．理由见解析
(3)或．
【分析】（1）根据，，利用三角函数可求出的大小，即可求解；
（2）根据矩形的性质和折叠的性质证明即可求解；由折叠可得，，且四个角相加等于180度，即可证明；
（3）分两种情况讨论：当时，在中用勾股定理求解；当时，过点H作于点P．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，由折叠的性质得，
∴．
（2）①等腰三角形；
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
②．
理由：由折叠的性质得，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：如解图①，

当时，由（2）②知E，F，H三点共线，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴；
如解图②，

当时，过点H作于点P，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，（舍去），
∴，
∴；
当时，不存在．
综上所述，满足条件的的长为或．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，涉及到矩形的判定与性质，折叠的性质、勾股定理，灵活运用所学知识是解题关键．
9．综合与实践

在综合与实践课上，同学们以如图1的两个含的直角三角尺为主题开展数学活动，其中，，．
(1)轴对称小组将以为对称轴翻折，如图2，与交于点P，连接，发现，请你证明这个结论．
(2)旋转小组将以中点为旋转中心，逆时针旋转到如图3的位置，、边与边、交于点、、，连接，求的长度．
(3)平移小组将沿向下平移到图4时，分别延长、，交、于点、，发现四边形恰好是正方形，直接写出此时正方形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，，，根据对顶角相等可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形内角和定理可得，推得，根据等角对等边可得；
（2）根据旋转的性质可得，，根据直角三角形中，度所对的边是斜边的一半可得，，根据勾股定理求得，同理求得，即可根据勾股定理求解；
（3）根据相似三角形的判定和性质可得，根据勾股定理求得，根据正方形的性质可得，即可求得，最后利用正方形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵将以中点为旋转中心，逆时针旋转所得，
∴，，
∵，，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
即，
解得：，
同理可得，，，
即，
在中，．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
在中，，
∵四边形是正方形，
∴，
即，
又，
∴，
即，
∴，
解得：，
∴，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，全等三角形的判定和性质，等角对等边，旋转的性质，含度角的直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
10．综合与实践．
问题情境：
综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动．
实践操作：
如图1，将等腰Rt△AEF绕正方形ABCD的顶点A逆时针方向旋转，其中∠AEF＝90，EA＝EF，连接CF，点H为CF的中点，连接HD，HE，DE，得到△DHE．
应用探究：
（1）勤奋组：
如图2，当点E恰好落在正方形ABCD的对角线AC上时，判断△DHE的形状，并说明理由；
（2）善思组：
如图3，当点E恰好落在正方形ABCD的边AB上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
深入探究：
（3）创新小组：
发现若连接BE，在旋转Rt△AEF的过程中，为定值，请你直接写出其值　 　．
【答案】（1）勤奋组：△DHE是等腰直角三角形，见解析；（2）善思组：成立，见解析；（3）创新小组：
【分析】（1）结论：△DHE是等腰直角三角形．利用直角三角形斜边的中线的性质解决问题即可．
（2）即可成立，连接BH，过点H作HG⊥AB于G．想办法证明DH＝BH，BH＝EH，∠DHE＝90°，可得结论．
（3）利用相似三角形的判定和性质解决问题即可．
【详解】解：（1）结论：△DHE是等腰直角三角形．
理由：如图2中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDF＝90°，∠DCA＝45°，
∵点H是CF的中点，
∴DH＝DH＝HF＝CF，
∵∠CEF＝90°，CH＝HF，
∴EH＝CH＝HF＝CF，
∴DH＝HE，
∵DH＝CH＝HE，
∴∠HCD＝∠HDC，∠HCE＝∠HEC，
∵∠DHF＝∠HDC+∠HCD，∠FHE＝∠HCE+∠HEC，
∴∠DHE＝2∠DCH+2∠HCE＝2∠DCA＝90°，
∴△DHE是等腰直角三角形．
（2）如图3中，结论成立．
理由：连接BH，过点H作HG⊥AB于G．
∵四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°
∴A，F，A共线，
∵CB＝CD，∠BCH＝∠DCH＝45°，CH＝CH，
∴△BCH≌△DCH（SAS），
∴DH＝BH，∠CDH＝∠CBH，
∵∠FEA＝∠HGA＝∠CBA＝90°，
∴EF∥GH∥BC，
∴，
∵CH＝HF，
∴GB＝GE，
∵HG⊥BE，
∴HB＝HE，
∴∠HBE＝∠HEB，HE＝HD，
∵∠CDA＝∠CBA＝90°，∠CDH＝∠ABH，
∴∠ADH＝∠ABH＝∠HEB，
∵∠HEB+∠AEH＝180°，
∴∠ADH+∠AEH＝180°，
∴∠DHE+∠DAE＝180°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠DHE＝90°，
∴△DHE是等腰直角三角形．
（3）如图1中，连接AC，BE．
∵∠CAB＝∠EAF＝45°，
∴∠CAF＝∠BAE，
∵，
∴△BAE∽△CAF，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质和相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
1．（2025山西中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．

(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；
(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．

【答案】(1)正方形，见解析
(2)①，见解析；②
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形；
（2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；②设的交点为M，过M作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
【详解】（1）解：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
（2）：①．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如图：设的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为．

【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
2．（2023山西中考真题）综合与实践
问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由
拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接．
①若，判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）①．理由见解析；②5或
【分析】（1）由折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，进而得到，由等角对等边推出，从而证明，即可四边形是菱形；
（2）①由（1）推出，由折叠的性质得到，结合已知可得，进而推出，得到，再根据三角形内角和定理即可求出，即可得到与的位置关系；②分是以为腰为底的等腰三角形和是以为腰为底的等腰三角形两种情况讨论，如图，延长交于点H，设交点为，利用三角形相似的性质建立方程求解即可．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）证明：①，理由如下：
由（1）知四边形是菱形，
∴，
由折叠的性质得到，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
解：②∵，，，
∴，
当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，延长交于点H，设交点为，则，
∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质得，，，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，则，
同理得，，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵是以为腰为底的等腰三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
综上，的长为或．
【点睛】本题考查折叠的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，合理作出辅助线，构造三角形全等，结合分类讨论的思想是解题的关键．
1．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．
在矩形中，是对角线，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点分别是点的对应点．
(1)如图1，连接，猜想的数量关系并说明理由．
(2)如图2，隐去对角线，当点恰好落在边上时，连接交于点．
①求证：．
②若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为______．
(3)若点落在直线上，请直接写出的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)①见解析；②
(3)或
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，，进而证明，即可得出；
（2）①过点作于点，连接，由旋转的性质可得，，可得，进而得，得，由旋转可知，因此，进而证明，即可得出结论；
②过点作于点，根据题意，若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为的长度，先证明，得，由①得，，即，求出即可；
（3）分两种情况进行讨论，第一种情况，过点作于点，过点作于点，易得四边形是矩形，根据等面积法和勾股定理即可求出的长； 第二种情况，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，易得四边形是矩形，根据等面积法和勾股定理即可求出的长．
【详解】（1），理由如下：
矩形中，，是对角线，，，
，
，
由旋转的性质可得，，，，
，
，
；
（2）证明：如图所示，过点作于点，连接，
由旋转的性质可得，，
，
，
，
，
又，，
，
由旋转可知，，
，
，，
，
；
②如图所示，过点作于点，
根据题意，若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为的长度，
由旋转的性质可得，，，
，
，
又，，
，
，
，
由①得，，
；
（3）分两种情况进行讨论，
第一种情况，如图所示，过点作于点，过点作于点，
，，矩形，
四边形是矩形，
，即，
，
，
，，
，，
；
第二种情况，如图所示，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，
，，矩形，
四边形是矩形，
，即，
，
，
，，
，，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了图形的变换—旋转、矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，具备一定的画图能力，会用分类讨论的思想是解题的关键．
2．综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将正方形与正方形按图1所示的方式摆放，其中，试求的长．
数学思考：
（1）请你解答老师提出的问题．
深入探究：
（2）老师将图1中的正方形绕点逆时针方向旋转，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图2，当点落在边上时，连接、，延长与交于点，求的长．请你解答此问题．
②“智慧小组”提出问题：如图3，连接、，线段与交于点，当点在直线左侧时，连接，若存在实数满足等式，求出的值．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）由勾股定理求出的长即可求出；
（2）由勾股定理求出，再证明，得， 证明可求出；
（3）在上取点M，使，连接，求出，分别证明和，得出,，由勾股定理得出，从而得
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴
∵
∴
在中，
在中，
∴；
（2）在中，
∴
在中，
∴
∴，
∴，
又
∴，
∴即
∴；
（3）在上取点M，使，连接，

∵
∴，
在正方形中，；
在正方形中，
∵
∴
在和中，
，
∴
∴
在和中，
，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键
3．综合与实践
问题情境：
在一节几何探究课上，老师提出这样一个问题：在正方形中，E是对角线上一点，以为一边作正方形，点F恰好在边所在的直线上，连接，求证：．
观察思考：
（1）如图1，当点F在边上时，请解答老师提出的问题．
探索发现：
受到老师的启发，综合与实践小组的同学进一步探究：H是的中点，连接．
（2）如图2，在图1的基础上，试猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）当E是的三等分点，时，请直接写出的长．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）或
【分析】（1）由正方形的性质证明即可；
（2）过点E作的平行线交的延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，先证明，再证明，即可求解；
（3）分类讨论，当点E靠近点A时和当点E靠近点C时，先证明出，求出，则即可求解，再对运用勾股定理求解即可．
【详解】证明：如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）
证明：过点E作的平行线交的延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，
∵，
∴，
∵，
∵点H为中点，
∴，
∴，
∴，，
即
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
（3）当点E靠近点A时，如图：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
由（2）得，
∴；
当点E靠近点C时，如图：
此时，
同（2）可得
∴，
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．
4．综合与实践
问题情境
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．已知矩形纸片，，如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，展开后折痕交于点．如图2，在图1的基础上，继续沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，展开后折痕交于点，延长交于点．
初步探究
（1）求证：四边形是平行四边形．
深入探究
（2）判断和的数量关系，并说明理由．
拓展延伸
（3）当四边形为菱形时，直接写出的值．
【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）在矩形中，，，，又根据折叠推出，根据内错角相等推出，，即可得证；
（2）由矩形推出，由根据折叠得，，由（1）知，，由推出，进而，，即可得出结论；
（3）四边形为菱形，进而推出，又，推出，在中，，根据折叠得，即可求解．
【详解】解：如图分别标记，，，，，
（1）证明：在矩形中，，，
∴，即，
∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，继续沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：和的数量关系：．
理由：在矩形中，，
∴，
∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，
∴，，，
∴，
由（1）知：四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵四边形为菱形，
∴，
由（2）知：，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴当四边形为菱形时，的值为．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等角对等边，菱形的性质，特殊角三角函数等知识点．解题的关键是特殊平行四边形的判定和性质，折叠的性质．
5．综合与实践
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们利用准备好的两个矩形纸片进行探究活动．
智慧小组准备了两张矩形纸片和，其中，将它们按如图所示的方式放置，点落在上，点落在的延长线上，连接和．
观察发现：
（1）如图连接，则和的位置关系是__________，___________．
操作探究：
（2）如图，将矩形绕点按顺时针方向旋转（），试探究（1）中和的数量关系是否仍然成立，并说明理由．
拓展延伸：
（3）在矩形旋转的过程中，当三点共线时，直接写出线段的长．
【答案】（1）；；（2）成立，见解析；（3）或
【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，计算较复杂，做出正确的辅助线是解题的关键．
（1）由矩形性质得到的长度，求的长度，用勾股定理求解的长度，可得，用勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故．
（2）连接和，结合矩形性质和勾股定理可求的长度，求得，且，故，可得、，求得，故，得证；
（3）有两种情况，若当点在的延长线上，在直角三角形中求，则，结合（2）中，可求；若点在线段上，在直角三角形中求，则，结合（2）中，可求．
【详解】解：如下图，连接，延长相交于，
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，，
∴在中，，
同理：，
，
∴
∵，
∴是直角三角形，
∴，．
故答案为：垂直，；
（2）成立
理由：如下图，连接和．
四边形是矩形，，
∴，，
∴
四边形是矩形，，
∴，
∴
在和中，
，，
∴．
，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴
（3）的长为或
情况一：如下图，当点在的延长线上时，
，
∴为直角三角形，
∴，即，
∴，
∴．
由（2）得，
∴．
情况二：如图，当点在线段上时，
，
∴为直角三角形，
∴，即，
∴，
∴．
由（2）得，
∴．
综上所述，当三点共线时，线段的长为或．
【点睛】本体考查图像旋转问题，用到旋转的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形全等的判定和性质，孰料掌握知识点、正确做出辅助线是解题关键．
6．综合与实践
【问题情境】
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G，试判断四边形的形状，并说明理由．
【数学思考】
（1）请你解答以上老师提出的问题；
【深入探究】
（2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，让同学们提出新的问题并请你解答此问题．
“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．证明：．
【拓展提升】
（3）如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长．
【答案】（1）正方形，见解析；（2）见解析；（3）
【分析】对于（1），先根据“三个角是直角的四边形是矩形”证明四边形为矩形，再根据得，即可得出答案；
对于（2），先根据“等角对等边”得，进而确定，再根据三角形面积相等得，然后由（1）得出答案；
对于（3），设，的交点为，并作，根据得出，再根据“等角对等边”得，再根据勾股定理求，
进而求出，然后由，求出，可得，再证明，根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出答案．
【详解】（1）结论：四边形为正方形．
理由如下：
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形．
，
．
矩形为正方形；
（2）证明：，
，
，
．
，即，
，
，
．
由（1）得，
；
（3）解：如图，设，的交点为，过作于点，
，
，，，，，
．
，
，
．
，
点G是的中点，
由勾股定理得，
．
，
，
即，
．
，，，
，
，
，
即的长为．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，余弦等，勾股定理是求线段的长的常用方法．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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