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北京市海淀区育英学校2025-2026学年八年级下学期期中模拟考试数学试题（四年制）
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（　　）
A. B. C. D.
3.画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（　　）
A. B.
C. D.
4.下列说法正确的是（）
A. 有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B. 全等三角形的周长和面积分别相等
C. 所有的等边三角形都是全等三角形
D. 到角两边距离相等的点在角的平分线上
5.已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，和是的高，它们相交于点．且，则图中全等三角形共有（ ）
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
7.等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）
A. 8 B. 9 C. 9或12 D. 12
8.如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点D，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n）（n＞0）.若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，当0＜a＜1时，点C的横坐标m的取值范围是（ ）
A. 0＜m＜2 B. 2＜m＜3 C. m＜3 D. m＞3
10.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别为，，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.如图，在中，，，，则 ．
12.如图，工人师傅制作门时，常用木条 固定长方形门框 ，使其不变形，这样做的根据是 ．
13.如图，点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA于点D，且CD＝2，如果E是射线OB上一点，那么CE长度的最小值是____．
14.如图所示的网格是正方形网格，则 ．
15.如图三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向．从岛看两岛的视角是 度，从岛看两岛的视角是 度．
16.已知点的坐标为，设点关于轴对称的点为点，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是 ，点的坐标是 ．
17.如图,在ABC中,AD为BC边上的中线,CEAB于点E,AD与CE交于点F,连接BF.若BF平分ABC,EF=2,BC=8,则CDF的面积为___.
18.在一个等腰三角形中，如果它的底角是顶角的两倍，这样的三角形我们称之为“黄金三角形”．如图，已知点A在∠MON的边OM上，点B在射线ON上，且∠OAB＝100°，以点A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合），当△ABC为“黄金三角形”时，那么∠OAC的度数等于 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧，，．
(1) 求证：；
(2) 若，求的度数．
20.(本小题6分)
下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在中，，
求作：点D，使点D在边上，且到和的距离相等．
作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M、N；
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；
③画射线，交于点D．
所以点D即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
(1) 使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2) 完成下面的证明．
证明：过点D作于点E，连接，．
在与中，
∵，，，
∴．
∴ ．
∵，
∴．
又∵，
∴（ ）（填推理的依据）
21.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，点．
(1) 作关于直线（直线上各点的纵坐标为1）的对称图形，其中点，，的对称点分别为点；
(2) 写出点的坐标；
(3) 求的面积．
22.(本小题7分)
已知：在中，，边的垂直平分线分别交于点D，交于点E．
(1) 求证：；
(2) 连接，若，求的周长．
23.(本小题8分)
如图，在中，D是上一点，．求的度数．
24.(本小题8分)
如图,ABC=,AB=BC,D为AC上一点,分别过A,C作BD的垂线,垂足分别为E,F,求证:EF=CF-AE.
25.(本小题8分)
如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD．以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，AD＝AE，∠DAE＝90°．解答下列问题
(1) 如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，求证：BD＝CE，BD⊥CE．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(2) 如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外）．先画出相应图形，再说明理由．
26.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，直线l为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作，关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题：
(1) 点的一次反射点为 ，二次反射点为 ；
(2) 若点在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，，，求射线与轴所夹锐角的度数．
(3) 若点在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】三角形具有稳定性
13.【答案】2
14.【答案】45°
15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】4
18.【答案】64°或28°
19.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴；
【小题2】
解：∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴

20.【答案】【小题1】
解：如图，即为补全的图形；
【小题2】
PAM
PAN
角平分线上的点到角的两边的距离相等

21.【答案】【小题1】
解：如图所示，即为所求；
【小题2】
解：由图可知；
【小题3】
解：∵，
∴轴，且点到的为距离为，
∴．

22.【答案】【小题1】
证明：∵在中，，
∴，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∴，
∴
∴平分，
∵，
∴；
【小题2】
解：∵在中，，，

∴，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴的周长为9．

23.【答案】解：设，则（三角形外角定理），
则，
，
解得，
．

24.【答案】证明：∵过A、C作BD的垂线，垂足分别为E．F，
∴∠E=∠BFC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，∠FBC+∠ABE=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
在△AEB和△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE=BF，BE=CF，
∴EF=BE-BF=CF-AE．
25.【答案】【小题1】
解：①证明：CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD．
理由：如图2中，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
又BA=CA，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE=∠B=45°且CE=BD，
∵∠ACB=∠B=45°，
∴∠ECB=45°+45°=90°，即CE⊥BD．
故答案为：CE⊥BD；CE=BD．
②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．
如图3中，
∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
又AB=AC，AD=AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴CE=BD，且∠ACE=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
即CE⊥BD；
【小题2】
如图4中，当∠BCA=45°时，CE⊥BD．
理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴AC=AG，∠AGC=45°，
即△ACG是等腰直角三角形，
∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC，
∴∠GAD=∠CAE，
又∵DA=EA，
∴△GAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠AGD=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
即CE⊥BD．

26.【答案】【小题1】


【小题2】
解：如图1中，当点A靠近y轴在第二象限时，如图所示：

点，关于直线l对称，点A、关于y轴对称，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴射线与轴所夹锐角的度数为；
同理当点A靠近x轴在第二象限时，
射线与轴所夹锐角的度数为，
综上可得：射线与轴所夹锐角的度数为或；
【小题3】
解：设点，则，，
∵是等腰直角三角形，
∴分三种情况：
①当时，
，即,
且，即，
解得：，即上的点均满足，如图所示：

②当时，不存在；
③当时，，且，即，
解得,即在x轴的负半轴上，如图所示：

综上所述，点A在轴的负半轴上或直线上．

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