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山东省济南第一中学等校2025-2026学年高二下学期期中数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知，则（ ）
A. B. C. D.
2.从6本不同的数学书，4本不同的英语书中任取1本，则不同的取法种数是（）
A. 10 B. 24 C. D.
3.函数的极小值点为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
4.5名大学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有（）
A. 8种 B. 15种 C. 种 D. 种
5.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒容积最大时，（ ）
A. 2 B. C. D. 4
7.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足3f（x）+xf′（x）＞0，则必有（　　）
A. f（10）＞8f（20） B. f（10）＜8f（20）
C. 8f（10）＜f（20） D. f（10）＜4f（20）
8.若，且不等式对任意的恒成立，则t的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列关于各函数导数的计算，正确的有（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10.已知函数f(x)=+a(a0),g(x)=+2,则( )
A. f(0)< g()
B. 当a=1时,函数h(x)=f(x)+g(x)在(0,1)上单调递增
C. 当a=2时,过点(0,2)且与曲线y=f(x)相切的直线方程为2ex-y+2=0
D. 当a=1时, 直线y=x+2是曲线y=f(x)与曲线y=-+x+2的公切线
11.已知函数，则（ ）
A. B. 有4个极值点
C. 在上有零点 D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 .
13.2025的不同正因数的个数为 ．
14.五一长假期间，要从6人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天的情况，则不同的安排方法种数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
袋中装有9个白球和8个红球，每个球编有不同的号码，现从中同时取出2个球.
(1)正好是白球、红球各1个的取法有多少种？
(2)正好是2个红球的取法有多少种？
(3)至少有1个白球的取法有多少种？
(4)2个球的颜色相同的取法有多少种？
16.(本小题15分)
2026年2月6日至22日冬奥会在意大利举办，某高山滑雪运动员在冬奥会期间的一次滑雪比赛中滑行的路程S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为
（1）求该运动员从1 s到3 s时滑雪的平均速度；
（2）求该运动员在t＝5 s时滑雪的瞬时速度；
（3）当该运动员的滑雪路程为90 m时，求此时的滑雪速度．
17.(本小题15分)
已知函数（）.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，，求的取值范围.
18.(本小题17分)
已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若恰有3个零点，求的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数.
(1)当，时，证明：.
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
(3)若方程的两根分别为，且，证明：.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】 /
13.【答案】15
14.【答案】3750
15.【答案】解：（1）从9个白球中取1个白球，有9种取法，
从8个红球中取1个红球，有8种取法，所以共有种取法.
（2）从8个红球中取2个红球，有种取法.
（3）至少有1个白球的取法包含两类：第一类是1个白球、1个红球，第二类是2个白球.
由分类加法计数原理知共有种取法.
（4）2个球的颜色相同包含两类：第一类是2个白球，有种取法；
第二类是2个红球，有种取法.
故共有种取法.

16.【答案】解:(1)当0t3时,S(3)-S(1)=27-7=20m,
所以从1s到3s时的滑雪的平均速度为=10m/s.
(2) 因为S(5+t)-S(5) = 2+3(5+t)-65=2+23t,
所以=(2t+23 ) = 23 m / s ,
即该运动员在t=5s时滑雪的瞬时速度为23m/s.
(3)当0t3时,S(t)S(3)=27m<90m,
所以t>3,S(t)=+3t(t>3).
由+3t=90,即(2t+15)(t-6)=0,解得t=6或t=-(舍去).
因为S'(t)=4t+3,所以此时的滑雪速度为S'(6) =27 m/s.
17.【答案】解：（1）当时，，易得的定义域为，
，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）由，即，即对恒成立，
设函数，则（），
设函数（），易知在上单调递减，所以，
所以，则在上单调递减，得，
所以，即的取值范围为.

18.【答案】解：（1），定义域为.
则，所以，
又，
则曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）令，得，
即.
设函数，则，
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则.
当时，，当时，，且当时，，当时，，
作出的大致图象，如图所示.
令，则.
显然不是方程的根，
所以函数有两个零点，因为，
所以且，
所以且，
得，即的取值范围为.

19.【答案】解：（1）令，则.
因为，所以.
令，则在上恒成立，所以在上单调递增.
因为，所以，
所以在上单调递增，所以，所以.
（2）因为，所以.
因为，所以，
所以.
因为函数在上单调递增，所以，即.
令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
（3）由（2）知，方程的两根即方程的两根，
令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以；
令，
则，所以在上单调递增.
因为，所以，所以.
因为，所以.
因为，，且在上单调递增，
所以，即.

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