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2025-2026学年福建省莆田五中九华分校高二（下）第一次月考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y（t）=2t2+1，则质点A在t=3s时的瞬时速度为（　　）
A. 10m/s B. 12m/s C. 14m/s D. 16m/s
2.设x,y∈R，向量，1，1），，y,1），，且，，则=（　　）
A. B. 3 C. D. 4
3.若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则t=（　　）
A. -3 B. -2 C. -1 D. 0
4.如图，在四面体O-ABC中，，，，且，，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
5.已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列选项正确的是（　　）
A. f（x）有2个极值点
B. f（x）在x=2处取得极大值
C. f（x）在（-∞，2）上单调递增
D. f（x）有极小值，没有极大值
6.函数f（x）=ax2-xlnx在上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. C. [1，+∞） D. （1，+∞）
7.设f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＜0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）
A. （-2，0）∪（0，2）． B. （-2，0）∪（0，+∞）
C. （-∞，-2）∪（2，+∞） D. （-∞，-2）∪（0，2）
8.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞)
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题正确的有（　　）
A. 已知函数f（x）=ln（2x+1），若f′（x0）=1，则x0=0
B. 已知函数f（x）在R上可导，若f′（1）=2，则
C.
D. 设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=x2+3xf′（2）+lnx,则
10.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AD的中点，P是线段BD1上的动点，且，则（　　）
A. 当时，MP⊥BD1 B. |MP|的最小值为
C. |PA|+|PC|的最小值为 D. 当C，C1，P，M四点共面时，
11.已知函数f（x）=x3-x+1，则（　　）
A. f（x）有两个极值点 B. f（x）有三个零点
C. 点（0，1）是曲线y=f（x）的对称中心 D. 直线y=2x是曲线y=f（x）的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a= ______.
13.已知向量，，则在上的投影向量坐标为 .
14.在四面体ABCD中，AB=CD=AC=BD=1，AD=BC，则该四面体体积的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设，.
（1）求cos＜＞；
（2）k与k互相垂直，求实数k的值.
16.(本小题15分)
如图，已知三棱锥A-BCD中，AB=1，AC=AD=2，且∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，E，F分别是AB，CD的中点.用空间向量法求解下列问题.
（1）求证：EF⊥CD；
（2）求EF的长；
（3）求异面直线AF和CE所成角的余弦值.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=（4x+2）lnx+a.
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，1）处的切线方程；
（2）若函数g（x）=（x+2）2-f（x）有且仅有一个零点，求a的值.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-ax2+x,g（x）=3lnx+3.
（1）若f′（x）是f（x）的导函数，且0为f′（x）的极值点，求a；
（2）当a=0时，过原点的直线l与f（x）的图象相切，证明：当x＞0时，l在g（x）图象的上方.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx+ax2-x（a＞0）.
（1）讨论f（x）的单调性：
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＜2ln2-3.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】AC
11.【答案】AC
12.【答案】4
13.【答案】（0，，-）
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由题设，，
所以．
（2）由，，
而k与k互相垂直，
所以
，
可得或k=2．
16.【答案】（1）证明：设，，，
则根据题意可得，，，=2，
所以=，=，
所以=（） （）
=-2-1-+1+2=0，所以，
所以EF⊥CD （2） （3）
17.【答案】6x-y-5=0 9
18.【答案】 证明：当a=0时，f（x）=ex+x，设l与f（x）的切点为（x0，f（x0）），
由f′（x）=ex+1，则有，即，
解得x0=1，故直线l：y=（e+1）x，则只需证：当x＞0时，（e+1）x＞3lnx+3，
令μ（x）=（e+1）x-3lnx-3，则，
则当时，μ′（x）＞0，当时，μ′（x）＜0，
故μ（x）在上单调递减，在上单调递增，
故，
即μ（x）＞0恒成立，即当x＞0时，l在g（x）图象的上方
19.【答案】当时，f（x）在，上单调递增，在单调递减；当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增 证明：由（1）知当且仅当时，f（x）有极大值x1和极小值x2，
且x1，x2是方程的两个正根，，，
所以
=，
令，
当时，，
则g（a）在内单调递减，
故，则f（x1）+f（x2）＜2ln2-3
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