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数 学
注意事项：
1. 满分150分，答题时间为120分钟。
2. 请将各题答案填写在答题卡上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。
1. 下列各数中，最小的是
A. B.3 C. D..1
2.2025年12月，国家统计局发布权威数据：2025年全国粮食总产量达14 298亿斤，较2024年增加167.5亿斤，同比增长1.2%，连续两年稳定在1.4万亿斤以上。其中数据“14 298亿”用科学记数法表示为
A. B.
C. D.
3. 若，与互为余角，则的度数是
A. B.
C. D.
4. 如图，，，，则的度数为
A. B.
C. D.
5. 下列运算中，正确的是
A. B.
C. D.
6. 如图，是的直径，点，在上。若，则的度数为
A. B.
C. D.
7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A.
B.
C. 且
D. 且
8. 某中学对学生最喜欢的课外体育项目进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制出了如下不完整的统计图，则下列说法不正确的是
A. 这次随机抽样调查一共抽取了200份样本
B. 全校1 600名学生中，最喜欢排球的估计有240人
C. 被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有60人
D. 在扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角的度数是
第8题图 第9题图
9. 如图，在中，，点G是重心，连接AG，交BC于点D，， ，F是边AC上的一点.当时，CF的长为
A.1 B.
C. D.
10. 如图1，在正方形ABCD中，点P以每秒3 cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止.过点P作，PQ与边AD(或边CD)交于点Q，PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(s)的函数图象如图2所示.当点P运动3 s时，PQ的长为
A. cm B. cm
C. cm D. cm
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11. 因式分解： .
12. 如图，在的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若从①~④四个小正方形中再任意涂灰1个，使得新构成的灰色部分的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则应将小正方形 ____ 涂灰.(填编号)
第12题图 第13题图 第14题图
13. 反比例函数的图象如图所示，轴.若的面积为4，则k的值为 ____.
14. 如图，五边形ABCDE是正五边形，连接AC，AD，则的度数为 ____.
15. 发明小组成员自制一款泡茶器（图1），为检测泡茶器的实用性和安全性，小组成员对泡茶器的电路（图2）进行了测试，移动滑动变阻器指针，使电流表示数从1 A到4 A，在此过程中计算滑动变阻器的功率P，并绘制滑动变阻器的功率P（单位：W）与电流I（单位：A）的图象（图3）. 若该图象为抛物线的一部分，图象的顶点坐标为（2，220），则m的值为 .
16. 由表格规律可知，当时， .
m 1 2 3 4 5 …
a 3 5 7 9 11 …
b 1 4 9 16 25 …
三、解答题：本大题共6小题，共46分. 解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（6分）.
18.（6分）解不等式组：
19.（6分）化简：.
20.(8分)如图，的顶点都在⊙O上，BD为⊙O的直径，连接DC.
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作出的中点M.（不写作法，保留作图痕迹）
(2) 连接DM，交BC于点N. 若°，求的度数.
21.（10分）在一个不透明的袋子里装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀.
（1）若从袋中任取一个小球，球上的数字为1的概率为 .
（2）若从袋中一次性取出两个小球，请用列表法或画树状图法，求两个球上的数字之差的绝对值为1的概率.
22.（10分）如图，这是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根长度相等的支柱构成.小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面之间的夹角最大能达到 ，即 ；最小能达到 ，即 .已知该三脚架的支柱 ，求该三脚架可调节部分 的长.（结果精确到0.1 m，参考数据： ， ， ， ）
四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（8分）某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试. 现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（得分用表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解）. 整理得到如下信息：部分八、九年级被抽取学生的得分统计表、统计图（不完整）：
八、九年级被抽取学生的得分统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 79.8 82
九年级 79.8 79
根据以上信息，解答下列问题.
（1）上述图表中， ， ， .
（2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？ 请说明理由（答案不唯一，写出一条理由即可）.
（3）若该校八年级有1500名学生，九年级有1600名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有多少名.
24.（10分）如图，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，
一次函数的图象经过点A.
(1)求k的值及点B的坐标．
(2)连接，求．
25.（10分）如图，在中，O是AB上（异于点A，B）的一点，恰好经过点B，C，
，垂足为D，且BC平分.
（1）判断AC与的位置关系，并说明理由.
（2）若，，求的半径.
26.（10分）如图，在正方形 中，， 为 上的一动点，连接 ，将 绕点 按顺时针方向旋转，与 的延长线交于点 .
【推理证明】
（1）如图1，求证：.
【深入探究】
（2）如图2，将 沿 翻折得到，连接 ，试探究在点 移动的过程中， 的面积是否发生变化.若发生变化，请求出 的面积的最小值；若不发生变化，请求出 的面积.
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，点 在线段 上，点 在线段 上，连接 ，.当时，求四边形 的面积.
图1 图2 图3
27.(12分)如图，抛物线 与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点
B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为D. 过点D向x轴作垂线，交x轴于点E，以AE和DE为邻边在第二象限内作矩形AEDF. 动点M从点D出发，沿DE向点E运动，运动的速度为每秒1个单位长度. 设点M的运动时间为t秒，过点M作，交AD于点G，过点G作于点H，交抛物线于点Q.
（1）求该抛物线的函数表达式.
（2）当M为DE的中点时，求GM的长.
(3)如图1，连接AQ，DQ，当的面积最大时，求t的值.
（4）如图2，点M运动的同时，点P从点A出发沿AF向点F运动，运动的速度为每秒1个
单位长度，K为矩形AEDF内一点，且点K在点G的正下方. 当四边形APGK为菱形
时，求t的值.
【九年级 数学第 1 页(共6页)】数学参考答案
1.A2.D3.B4.C5.B6.C7.D8.D9.C10.B
11.2a(a+2)(a-2)12.①13.-814.36°15.16516.79
1.解：(2-√)x2
=xB-√
X√2
=2-1
=1.
6分
18.解：
5x-3<5+x②，
解不等式①，得x>1;…3分
解不等式②，得x<2,
5分
故该不等式的解集为16分
1解：原式-（中号千2》
_x）.(x+2)(x-2)
x(x-2)
…2分
=2.(x十2(x-2)
x十2
x(x-2)
2
…6分
x
20.解：(1)（作法不唯一）如图，点M即为所求.
…4分
(2),∠A=40°，
∴.∠BDC=40.
M为BC的中点，
∴.BM=CM,
∠BDM=∠CDM=∠BDC=20
…6分
BD为⊙O的直径，
.∠BCD=90°，
【九年级数学·参考答案⊙第1页（共5页）】
∴.∠BND=∠BCD十∠CDM=90°+20°=110°.…8分
21.解：(1）…3分
(2)根据题意，画树状图如下：…
6分
开始
1341
共有12种等可能的结果，其中两个球上的数字之差的绝对值为1的有(1,2)，(2,1)，(2,3)，
(3,2),(3,4),(4,3),共6种情况，…8分
“两个球上的数字之差的绝对值为1的概率为22
61
…10分
2.解：在R△ABG中，：sim∠BAG=BG
AB'
BG=sin∠BAG·AB=sin60°AB=5X1.5≈0.86X1.5=1.299(m.…4分
2
在R△CDG中，：sin∠CDG=CG
CD'
∴.CG=sin∠CDG·CD=sin37°·CD≈0.6X1.5=0.9(m),…8分
.BC=BG-CG=1.299-0.9=0.399≈0.4(m).
答：该三脚架可调节部分BC的长为0.4m。…10分
23.解：(1)20；82；78.…3分
(2)八年级学生对人工智能的知晓程度更高.（写出一条理由即可）
理由：①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79；
②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78.…5分
2
(3)1500X20%+1600×10=620(名)，
答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有620名.…8分
y=-2x,
x=-2,
24.解：(1)由题意，得
1
解得
2x+5,
y=
y=4,
点A的坐标为（一2,4）.
:反比例函数y=的图象经过点A,
k=一2X4=—8.…3分
1
y=
2x+5,
x=一2或
=-8,
联立，得
解得
8
y=4
y=1,
y=-
【九年级数学·参考答案⊙第2页（共5页）】

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