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2025-2026学年甘肃省武威六中高二（下）第一次段考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列导数运算正确的是（　　）
A. （cosx）′=sinx B. （2x）′=2x
C. D.
2.甲乙两人向同一目标射击一次，已知甲命中目标的概率0.4，乙命中目标的概率为0.5.假设甲乙两人命中率互不影响，求目标被命中的概率为（　　）
A. B. C. D.
3.已知函数f（x）在定义域内可导，其图象如图所示．记y=f（x）的导函数为y=f'（x），则不等式xf'（x）≤0的解集为（　　）
A. B.
C. D.
4.直线a,b的方向向量为，平面α，β的法向量分别为，则下列选项正确的是（　　）
A. 若a∥b,则 B. 若b∥β，则
C. 若a⊥α，则 D. 若α∥β，则
5.如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则等于（　　）
A.
B.
C.
D.
6.若函数f（x）=2x2-ax+lnx是增函数，则a的取值范围是（　　）
A. （-∞，4] B. （-∞，4） C. （-∞，2] D. （-∞，2）
7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足，则直线AP与直线D1B所成角的余弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=2，BC=1，AA1=2，点D在棱AC上，点E在棱BB1上，给出下列三个结论：
①三棱锥E-ABD的体积的最大值为；
②A1D+DB的最小值为；
③点D到直线C1E的距离的最小值为.
其中所有正确结论的个数为（　　）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数f（x）=x3-x+1，则（　　）
A. f（x）有两个极值点 B. f（x）有三个零点
C. 点（0，1）是曲线y=f（x）的对称中心 D. 直线y=2x是曲线y=f（x）的切线
10.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=AB=1，E为BC中点，F为线段PD上一点.（　　）
A. 若∠PBA=60°，则AE⊥PD
B. 若F为PD中点，则EF⊥PD
C. 若∠PBA=90°，则四棱锥P-ABCD外接球表面积为6π
D. 直线AE与平面PAD所成的角的余弦的取值范围是
11.已知函数，则下列说法中正确的是（　　）
A. 函数f（x）的最大值是
B. f（x）在（1，+∞）上单调递减
C. 对任意两个正实数x1，x2，且x1＞x2，若f（x1）=f（x2），则x1+x2≥2e
D. 若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+m=0有3个不等实数根，则m的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f（x）=x2+f'（2）lnx,则f'（2）= .
13.空间中A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，1，2），D（0，0，1），E（1，a,b），其中a,b∈R，且DE⊥平面ABC，则a+b的值为 .
14.对于以下命题：
①||-||=||是，共线的充要条件；
②对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若=2-+，则P、A、B、C四点共面．
③如果 ＜0，那么与的夹角为钝角
④若{，，}为空间一个基底，则{+，+，+}构成空间的另一个基底；
⑤若=-2+3，=-2+4-6，则∥．
其中不正确结论的序号是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知某班级中，有女生15人，男生17人，而且女生中不戴眼镜的有6人，男生中戴眼镜的有5人.现从这个班级中随机抽出一名学生：
（1）求所抽到的学生戴眼镜的概率；
（2）若已知抽到的是女生，求所抽到的学生戴眼镜的概率.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥B-ACDE中，正方形ACDE所在平面与正△ABC所在平面垂直，M，N分别为BC，AE的中点，F在棱CD上．
（1）证明：MN∥平面BDE．
（2）已知AB=2，点M到AF的距离为，求三棱锥C-AFM的体积．

17.(本小题15分)
已知函数.
（1）若a=1，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性.
18.(本小题17分)
在如图的长方体中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.
（1）当E为AB的中点时，求点E到平面ACD1的距离；
（2）AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）求证：.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】8
13.【答案】
14.【答案】①②③
15.【答案】
16.【答案】解：（1）证明：取BD的中点G，连接EG，MG，
∵M为棱BC的中点，
∴MG∥CD，且MG=CD，
又N为棱AE的中点，四边形ACDE为正方形，
∴EN∥CD，且EN=CD，
从而EN∥MG，且EN=MG，于是四边形EGMN为平行四边形，
则MN∥EG，
∵MN 平面BDE，EG 平面BDE，
∴MN∥平面BDE；
（2）过M作MI⊥AC于I，
∵平面ACDE⊥平面ABC，∴MI⊥平面ACDE，
过I作IK⊥AF于K，连接MK，则MK⊥AF，
∵AB=2，∴MI=2××=，∴MK===，
∴IK=，过C作CH⊥AF于H，易知==，则CH=×=，
∵CH==，∴CF=1，
从而VC-AFM=VF-ACM=×1×××22=．
17.【答案】解：（1）当a=1时，，定义域为（0，+∞），
，
所以当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）极小值为，无极大值．
（2）由题意知：f（x）定义域为（0，+∞），
，
当a＜0时，若，则f′（x）＞0，
若，则f′（x）＜0，
所以f（x）在上单调递增，在上单调递减，
当a＞0时，若，则f′（x）＜0，
若，则f′（x）＞0，
所以f（x）在上单调递减，在上单调递增，
综上所述：当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，
当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．
18.【答案】分别以DA，DC，DD1为x,y,z轴建立空间坐标系，
知E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），
（1）=（-1，0，1），=（-1，2，0），
设点E到平面ACD1的距离为d,=（x,y,z）是平面ACD1的法向量，
由，得，取=（2，1，2），
而=（0，1，0），
所以d==为所求；
（2）设AE=l,由（1）知，E（1，l,0），设=（x,y,z）是平面CED1的法向量，
=（-1，2-l,0），=（0，-2，1），
而，即，取=（2-l,1，2）
又平面ECD的法向量=（0，0，1），
由cos=，即=，
解得l=2-，即AE=2-．
19.【答案】x+y-2=0；
当0＜a＜1时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增；
当a≥1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
证明见解析．
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