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2025-2026学年河北省秦皇岛三中高二（下）月考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若f′（x0）=2，则=（　　）
A. -4 B. 4 C. 2 D. -2
2.已知函数f（x）=ex+x,则f（x）在x=0处的切线方程为（　　）
A. y=1 B. y=x+1 C. y=-x+1 D. y=2x+1
3.甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（　　）
A. 61 B. 62 C. 63 D. 64
4.某种产品的加工需要经过5道不同工序，如果指定其中某2道工序必须相邻，那么加工顺序共有（　　）
A. 96种 B. 72种 C. 48种 D. 36种
5.下列求导正确的是（　　）
A. （2x+1）′=2x B.
C. D. （xex）′=1+ex
6.（2-x）5展开式中的第4项是（　　）
A. -40x3 B. -40 C. 20x4 D. 20
7.已知函数f（x）=x（x2+bx+c）的图象如图所示，则x1 x2=（　　）
A. 0
B. l
C. 2
D.
8.若函数在（0，+∞）上不单调，则实数a的取值范围为（　　）
A. （0，1） B. （0，e] C. [e,+∞） D. （e,+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数f（x）满足f（1）=3，f′（1）=-3，则下列关于f（x）的图象描述正确的是（　　）
A. f（x）的图象在x=1处的切线斜率大于0 B. f（x）的图象在x=1处的切线斜率小于0
C. f（x）的图象在x=1处位于x轴上方 D. f（x）的图象在x=1处位于x轴下方
10.下列等式恒成立的是（　　）
A. B.
C. D.
11.已知函数，其导函数为f′（x），下列说法正确的有（　　）
A. 若f′（1）=4，则a2+b2≥8
B. 时，f（x）的单调递减区间为[2，+∞）
C. a=1，b=-1时，x=1为f（x）的极值点
D. a≤0，b=0时，f（x）无零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则函数 的导数为 .
13.2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火.现有5个不同造型的“LABUBU”.把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有 种不同的装法.
14.已知曲线f（x）=ex+1和g（x）=lnx+a存在一条过坐标原点的公切线，则实数a= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为1.
（1）求a；
（2）若过点（0，2）的直线l与f（x）的图象相切，求l的方程.
16.(本小题15分)
按要求列出式子，再计算结果，用数字作答.
（1）在5件产品中，有3件正品，2件次品，从这5件产品中任意抽取3件.
（i）抽出的3件中恰有1件正品的抽法有多少种？
（ii）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
（2）现有A，B，C等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法.
（i）若A，B之间恰有一人，有多少种不同的排法？
（ii）A不站左端，且B不站右端，有多少种不同的排法？
17.(本小题15分)
把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况．
（1）有几种不同的分配方法？
（2）每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？
（3）男售票员和女售票员分别分组，有几种不同的分配方法？
18.(本小题17分)
已知（+）n的展开式中，前三项的系数成等差数列．
（1）求n；
（2）求展开式中的有理项；
（3）求展开式中系数最大的项．
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx+ax2-（2a+1）x,其中a为常数.
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x∈（1，+∞），都有f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设，求证：当0＜x＜1时，.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】150
14.【答案】3
15.【答案】解：（1）因为，所以，
所以根据题意可得，解得a=2；
（2）由（1）知，f′（x）=e2x，
设切点坐标为（x0，y0），则，切线l的方程为，
又点（x0，y0）在曲线y=f（x）上，所以，代入得，
即，
整理可得，故l的方程为y-2=e（x-0），即ex-y+2=0．
16.【答案】解：（1）（i）抽出的3件中恰有1件次品是指1件正品，2件次品，则有种不同的抽法；
（ii）抽出的3件中至少有1件次品的抽法数，是在5件产品中任意抽出3件的抽法数，减去抽出的3件产品全是正品的抽法数，所以共有种不同的抽法．
（2）（i）将A、某人、B看作一个整体，进行捆绑，再将另外两人一起排列，所以一共有36种排法．
（ii）因为5个人全排列有排法，且A站左端有种排法，B站右端有种排法，A站左端且B站右端有种排法，所以A不站左端，且B不站右端有种排法．
17.【答案】解：（1）男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成，先安排2人上第一辆车，共有种，再安排第二辆车共有种，再安排第三辆车共有种，最后安排第四辆车共有种，这样不同的分配方法有 =2520（种）；
（2）要求男女各1人，因此先把男售票员安排上车，共有种不同方法，同理，女售票员也有种方法，
由分步乘法计数原理，男女各1人的不同分配方法为 =576（种）．
（3）男女分别分组，4位男售票员平分成两组共有=3种不同分法，4位女售票员平分成两组也有=3种不同分法，
这样分组方法就有3×3=9（种），对于其中每一种分法又有种上车方法，因而不同的分配方法有9 =216（种）．
18.【答案】解：（1）∵（+）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，∴2 =1+ ，求得n=8，或n=1（舍去）．
（2）由于（+）n的展开式的通项公式为Tr+1= ，
故当r=0，4，8，展开式为有理项，
故展开式中的有理项为x4， x，．
（3）第r+1项的系数为 ，检验可得，当r=2，或r=3时，该项的系数最大．
故展开式中系数最大的项为T3=7，T4=7．
19.【答案】函数f（x）的单调递增区间为，（1，+∞），单调递减区间为 [-1，0] 证明：令，
则，
因为0＜x＜1，，则x-1＜0，，
令g′（x）＞0，解得；令g′（x）＜0，解得；可知g（x）在内单调递增，在内单调递减，
则，
因为，则，可得，
即g（x）＜0，所以当0＜x＜1时，
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