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2025-2026学年河南省实验中学创新班七年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，数轴上的点P表示的无理数可能是（　　）
A. B. C. D. π
2.若x＞y,则下列不等式成立的是（　　）
A. x-3＞y+3 B. -6x＞-6y C. D. x+7＞y+7
3.以下列各组数为三边长的三角形中，能构成直角三角形的是（　　）
A. 1，2，3 B. 1，1， C. 6，7，10 D. 32，42，52
4.如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得∠2=151°，则∠1=（　　）
A. 63°
B. 67°
C. 61°
D. 69°
5.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE垂直平分BC，AD=3，则AC的长为（　　）
A. 9
B. 5
C. 4
D. 3
6.一次函数y1=ax+b与一次函数y2=bx-a（a,b均为常数，且ab≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
7.有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿恰齐足.”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿.若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完.设有牧童x人，竹竿y根.根据题意，列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
8.如图，在△ABC中，D为BC上一点，BD=8，CD=6，且AC=AD，记AB长为x,AC长为y,当x,y变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A. x2+y2 B. x2-y2 C. x2 y2 D.
9.《庄子 天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如图，直线l1：y=x+1与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线y=x于点O1，过点O1作y轴的平行线交直线l1于点A1，以此类推，令OA=a1，O1A1=a2，…，On-1An-1=an，则a1+a2…+a2026=（　　）
A. B. C. D.
10.将10个连续的偶数填写到如图所示的10个圆圈内，使得相邻两数差的绝对值的和最大，则最大值为（　　）
A. 50
B. 60
C. 100
D. 150
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.的平方根是 .
12.用反证法证明“已知△ABC，AB=AC，则∠B＜90°”时，应假设： .
13.若关于x的不等式组的整数解恰有4个，则m的取值范围是 .
14.定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”.如图，在△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=120°，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则CP的长为 .
15.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（5，0），点M为线段AB外一动点，且MA=4，连接MB，将线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MP、连接AP.当线段AP长最大时，点M的坐标为 .
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+2与直线y=x-2交于点A（3，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，n），过点P作垂直于y轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作垂直于x轴的直线，交直线y=kx+2于点N．
①当n=3时，求△PMN的面积；
②若2＜S△PMN＜6，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
（1）（-）-2-||；
（2）.
18.(本小题8分)
传统跳绳是某校体育特色课程，老师记录了八（1）班传统跳绳两组各10位同学1min跳绳的次数.
【数据收集】
A组 112 126 128 130 136 146 146 150 152 158
B组 127 131 134 135 145 148 150 152 152 155
【数据整理】老师对上面表格数据进行了简单的统计.
lmin跳绳的次数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值
A组 112 a 141 150 158
B组 127 134 b 152 155
（1）求表中的数据：a=______，b=______；
（2）两组同学跳绳次数绘制成箱线图，如图所示，则______（填“＞”、“＜”或“=”）；
【数据应用】
（3）请你利用四分位数、箱线图评价这两组同学的跳绳水平，并说明理由.
19.(本小题8分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-3，5），B（0，3），C（-4，1），直线m是第一、三象限的角平分线所在的直线.
（1）作出△ABC关于直线m对称的对称图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）连接CC1，则直线m与线段CC1的关系是______；
（3）在直线m上找一点P，连接PA，使PA平分△ABC的面积，请直接写出P点的坐标.
20.(本小题9分)
如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC=160m，BC=120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
21.(本小题10分)
“植树节”期间，某校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动.计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元.
（1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元；
（2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？
22.(本小题10分)
【探究】我们对完全平方公式作如下推导：
∵（a-b）2≥0（a、b≠0）
∴a2-2ab+b2≥0
∴a2+b2≥2ab（当a=b时成立）
令m=a2，n=b2，即有m+n≥2当m=n＞0时等号成立）.
我们称m+n≥2（m、n＞0）为“基本不等式”.
请用“基本不等式”解决以下问题.
【应用一】
若实数x、y＞0，且x+y=1
（1）的最小值为______；
（2）的最小值为______；
【应用二】
若实数x、y＞0，且xy=1
（3）的最小值为______；
（4）的最大值为______；
【应用三】
若实数x、y＞0，且=1，求x+y的最小值.（写出过程）
23.(本小题11分)
【探索发现】
如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D.过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”（不需要证明）.
已知：直线y=kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点.
【迁移应用】
（1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角△ABE，∠ABE=90°.
①直接写出OA=______，OB=______；
②点E的坐标______；
（2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，过点B在y轴左侧作BN⊥AB，并且BN=AB，连接ON，问△OBN的面积是否发生变化？若不变，求出其面积的值；若发生变化，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图4，当时，Q是直线AB上的动点，点C在x轴上的坐标为（6，0），动点P的坐标为（n,-3），当△PQC是以CQ为斜边的等腰直角三角形时，点Q的坐标是______.（直接写出答案即可）
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】∠B≥90°
13.【答案】-3≤m＜-2
14.【答案】或
15.【答案】（-2-2，2）或（-2-2，-2）
16.【答案】解：（1）∵直线y=kx+2与直线y=x-2交于点A（3，m）．
将A（3，m）代入y=x-2得m=3-2=1．
将A（3，1）代入y=kx+2得1=3k+2，
．
（2）①当n=3时，点P（3，3），
如图1，
当y=3时，3=x-2，则x=5，
∴M（5，3）．
当x=3时，，
∴N（3，1）．
PN=3-1=2，
PM=5-3=2．
∴，
=．
∴当n=3时，△PMN的面积为2．
②3＜n＜6或-3＜n＜0．
当x=n时，
如图2，
，
∴N（n，）．
当y=n时，n=x-2，
则x=n+2．
∴M（n+2，n）．
∴PM=2，
PN=或．
∴，
=．
或
=．
当2＜S△PMN＜6时，
或．
∴3＜n＜6或-3＜n＜0．
17.【答案】2+4 0
18.【答案】128;146.5 ＞ B组同学整体的跳绳水平比A组高，
由箱线图可知，B组跳绳成绩的上四分位数、中位数和下四分位数均高于A组，且B组数据的方差比A组小，成绩更稳定，所以B组同学整体的跳绳水平比A组高
19.【答案】△ABC关于直线m对称的对称图形△A1B1C1，如图1即为所求；
A1（5，-3）、B1（3，0）、C1（1，-4） 直线m垂直平分线段CC1 P（-1，-1）
20.【答案】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：
∴AC2+BC2=1602+1202=40000，AB2=2002=40000，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；
（2）甲方案所修的水渠较短；理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积=AB CH=AC BC，
∴CH===96（m），
AH+BH=AB=200m，
∵AC+BC=160m+120m=280m，CH+AH+BH=96m+200m=296m，
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠较短．
21.【答案】解：（1）设购买一棵甲种树苗需要x元，一棵乙种树苗需要y元，
由题意得：，
解得：，
答：购买一棵甲种树苗需要30元，一棵乙种树苗需要60元；
（2）设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（600-m）棵，
由题意得：m≤2（600-m），
解得：m≤400，
设总费用为w元，
由题意得：w=30m+60×0.9（600-m）=-24m+32400，
∵-24＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=400时，w有最小值，
此时，600-m=200，
答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，才能使购买树苗的总费用最少．
22.【答案】4 9 2 的最大值是7+2；【应用三】
23.【答案】3;4;（4，7） 当k变化时，△OBN的面积是定值，S△OBN=8；∵当k变化时，点A随之在x轴负半轴上运动时，
∴k＞0，
如图3，过点N作NM⊥OB于M，
∴∠NMB=∠AOB=90°，
∵∠MBN+∠MNB=90°，
∵BN⊥AB，
∴∠ABN=90°，
∴∠MBN+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠MNB，
∵BN=BA，∠NMB=∠AOB=90°，
∴△BMN≌△AOB（AAS），
∴MN=OB=4，
∴S△OBN=OB MN=×4×4=8，
∴k变化时，△OBN的面积是定值，定值为8 点Q的坐标是（，-）或（8，-8）．
设P（n，-3），
①如图4，当n＜6，若Q在P右侧，过点P作PS⊥x轴于S过点Q作QT⊥PS于T，
∴∠CSP=∠PTQ=90°，
∵∠2+∠3=90°，
∵∠CPQ=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∵PC=QP，∠CAP=∠PTQ=90°，
∴△PCS≌△QPT（AAS），
∴QT=PS=3，PT=SC=6-n，
∴ST=9-n，
∴点Q的坐标为（3+n，n-9），
∵k=-，
∴直线y=-x+4，
将点Q的坐标代入y=-x+4得：
n-9=-×（4+n）+4，
解得n=，
∴点Q的坐标为（，-）；②如图5，当n＜6时，若Q在P左侧，过点C作CT⊥l于T，过点Q作QS⊥l于S，
∴∠CTP=∠PSQ=90°，
∴∠2+∠1=90°，
∵∠CPQ=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∵PC=QP，∠CTP=∠PSQ=90°，
∴△PCT≌△QPS（AAS），
∴CT=PS=3，PT=QS=6-n，
∴Q（n-3，3-n），
∵k=-，
∴直线y=-x+4，
将点Q的坐标代入y=-x+4得：
3-n=-（n-3）+4，
解得：n=11（与n＜6矛盾，不合题意，舍去）；③当n=6时，
由题意可得，P（6，-3），C（6，0），
要使△PQC是以CQ为斜边的等腰直角三角形，
则Q的坐标为（3，-3）或（9，-3），
∵（3，-3）或（9，-3），均不在直线y=-x+4上，
∴此情况不存在，故舍去；④当n＞6时，过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，如图6，
∴∠CSP=∠PTQ=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠CPQ=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
∵PC=QP，∠CAP=∠PTQ=90°，
∴△PCS≌△QPT（AAS），
∴QT=PS=3，PT=SC=n-6，
∴ST=n-3，
∴点Q的坐标为（n-3，3-n），
∵k=-，
∴直线y=-x+4，
将点Q的坐标代入y=-x+4得：
3-n=-（n-3）+4，
解得：n=11，
∴点Q的坐标为（8，-8），
综上，点Q的坐标为（，-）或（8，-8），
故答案为：（，-）或（8，-8）
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