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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市德强学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各项中，倒数是-2025的是（　　）
A. 2025 B. C. -2025 D.
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器嫦娥五号，首次在380000公里外月球轨道上进行无人交会对接，数据380000用科学记数法表示应为（　　）
A. 38×104 B. 3.8×105 C. 0.38×106 D. 3.8×104
4.下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中与其他三个几何体的左视图与俯视图不相同的是（　　）
A. B. C. D.
5.将抛物线y=x2+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式是（　　）
A. y=（x+1）2-1 B. y=（x+1）2+3 C. y=（x-1）2-1 D. y=（x-1）2+3
6.如图，将△ABC绕顶点A逆时针旋转α得到△ADE.若点D恰好落在边BC上，且α=∠B，则旋转角α的大小是（　　）
A. 50°
B. 55°
C. 60°
D. 65°
7.如图，射线PA，PB切⊙O于点A，B，直线DE切⊙O于点C，交PA于点D，交PB于点E，若△PDE的周长是12cm,则PA的长是（　　）
A. 6cm
B. 3cm
C. 24cm
D. 12cm
8.现需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形.如图1，⊙O表示一圆形纸板，操作过程如下：第一次剪裁，将圆形纸板等分成4个扇形（如图2）；第二次剪裁，将上次得到的扇形中的某一个再等分成4个扇形（如图3）；以后按第二次剪裁的做法进行下去.按上述操作过程，若将原来的圆形纸板剪成151个扇形，共需进行剪裁（　　）
A. 49次 B. 50次 C. 51次 D. 52次
9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D，则∠BCD为（　　）度.
A. 30
B. 45
C. 36
D. 54
10.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=8cm,动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿A-D-C的方向运动，动点Q同时从A点出发，以1cm/s的速度沿A-B-C的方向运动，两动点到达C点停止运动.设运动的时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），则下列y关于x的函数图象正确的是（　　）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.在函数y=中，自变量x的取值范围是______．
12.把多项式ax2-9a分解因式的结果是 .
13.关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是 .
14.一个不透明盒子里装有3个红球、2个白球和5个黄球，它们除颜色外都相同.从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是 .
15.若扇形的圆心角为30°，半径为6，则扇形的弧长为 .
16.龙兴寺位于山西省新绛县城北街顶端的高崖上，初名“碧落观”，唐咸亨元年改称“龙兴寺”.龙兴寺中最为宝贵者为“舍利子宝塔”（如图1），它是我国最古老的宝塔之一.根据光的反射定律（如图2），小亮将一面镜子放在宝塔AB前50m的点E处，然后沿着直线BE后退到点C处.这时小亮恰好在镜子里看到宝塔的顶端A，通过测量得CE=3m.已知小亮眼睛离地面BC的距离DC为1.5m,那么该宝塔AB的高度是 m.
17.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”.已知手压水井的阻力和阻力臂分别是90N和0.3m,则动力F1（单位：N）与动力臂L1（单位：m）之间的函数表达式是 .
18.计算÷+的结果是 .
19.已知等腰△ABC的腰AB=AC=25cm,BC=14cm,则△ABC顶角的平分线AD= cm.
20.如图，在矩形ABCD中，∠DOC=60°，AB=1，AE平分∠BAD分别与BD，BC交于点H，E，连接OE.则下列结论：①∠EAC=15°；②∠EOC=∠AEB；③EH=EC；④.其中正确的是 .（填写序号）
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题6分)
先化简，再求代数式的值，其中a=tan60°-2sin30°.
22.(本小题6分)
如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹.
（1）在图1中作出BC边上的高AD；
（2）在图2中作出AC边上的点E，使得AE：CE=3：4；
（3）在图3中作出AB边上的点F，使得tan∠ACF=.
23.(本小题24分)
根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》.某中学开展了形式多样的国防教育培训活动.为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“x＜60”记为1分，“60≤x＜70”记为2分，“70≤x＜80”记为3分，“80≤x＜90”记为4分，“90≤x≤100”记为5分.现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
平均数 中位数 众数
第1小组 3.9 4 a
第2小组 b 3.5 5
第3小组 3.25 c 3
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为______度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
（2）a= ______，b= ______，c= ______；
（3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？
24.(本小题6分)
若过m边形的一个顶点有7条对角线，过n边形的一个顶点有3条对角线.求代数式n2-m的值.
25.(本小题6分)
端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用10000元购进A、B两种风味粽子共2800个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用之比为3：2.已知A种粽子的进货单价是B种粽子进货单价的2倍.
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过8000元的资金再次购进A、B两种粽子共1600个，已知A、B两种粽子的进价不变，求A种粽子最多能购进多少个？
26.(本小题6分)
“关联”是解决数学问题的重要思维方式.角平分线的有关联想就有很多…
【问题提出】（1）如图①，PC是△PAB的角平分线，求证.
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”.
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”.
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明.
【作图应用】（2）如图②，AB是⊙O的弦，在优弧AB上作出点P，使得.
要求：①用直尺和圆规作图；
②保留作图的痕迹.
【结论应用】（3）在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=3，AC=4，求BC.
27.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，已知一次函数y=（2a-3）x+5-b的图象为直线l,它与x轴，y轴分别交于A，B两点.
（1）如果把l向上平移2个单位后得到直线y=5x+1，求a,b的值；
（2）当直线l过点（m,6-b）和点（m+3，4a-7）时，且-3＜b＜8，求a的取值范围；
（3）若平面内有动点P（2n-1，4-2n），不论n取何值，点P均不在直线l上，设△PAB的面积为S.求S的值（用含字母b的式子表示）.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】x＞1.5
12.【答案】a（x-3）（x+3）
13.【答案】a≤1
14.【答案】
15.【答案】π
16.【答案】25
17.【答案】F1=
18.【答案】
19.【答案】24
20.【答案】①②④
21.【答案】，．
22.【答案】解：（1）如图1，高AD即为所求．
（2）如图2，点E即为所求．
（3）如图3，点F即为所求．
23.【答案】①18；②详见解答；
5，3.5，3；
1260名．
24.【答案】2解：∵过m边形的一个顶点有7条对角线，过n边形的一个顶点有3条对角线，
∴m-3=7，n-3=3，
∴m=10，n=6，
∴n2-m=62-10=26．
25.【答案】A种粽子单价为5元/个，B种粽子单价为2.5元/个 A种粽子最多能购进1600个
26.【答案】解：（1）小明思路：过点B作BD∥PC交AP的延长线于点D，如图1，
∴，∠1=∠D，∠2=∠3，
∵PC是△PAB的角平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠D=∠3，
∴PD=PB，
∴；
小红思路：分别过点P，C作PD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足为D，E，F，如图2，
∵PC是△PAB的角平分线，
∴CE=CF，
∵，，
∴，
∴；
（2）①作弦AB的垂直平分线，交弦AB于点D，交⊙O点E，
由垂径定理得，
②再作线段BD的垂直平分线，交弦AB于点C，
③连接EC并延长交⊙O点P，如图3，
点P即为所求；
∵，
∴PC平分∠APB，
∵，
∴，
由（1）的结论得，
同理，点P2也为所求；
（3）如图4所示，作∠BAC的平分线交BC于点D，
∵AB=3，AC=4，

∴，
∴，
∵∠BAC=2∠BAD，∠BAC=2∠C，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠ABD=∠CBA，
∴△BDA∽△BAC，
∴，
∴AB2=BD BC，
即，
∴BC2=21，
∴（负值舍去）．
27.【答案】解：（1）由题意得：，
解得；
（2）由题意得：
，
则2a-b=-4，
即，
当b=-3时，则a=-3.5，当b=8时，则a=2，
∵，故a随b的增大而增大且-3＜b＜8，
∴-3.5＜a＜2，
∵2a-3≠0，即a≠1.5，
∴-3.5＜a＜2且a≠1.5；
（3）设点P（x,y），
则，即y=-x+3，
∴点P是直线y=-x+3上一动点，
∵不论n取何值，点P均不在直线l上，
故上述两条直线平行，
即2a-3=-1且5-b≠3，
解得，
∴直线l的解析式为y=-x+5-b,直线l及直线y=-x+3与x轴所交锐角都为45°，
∵平行线间的距离处处相等，
设直线y=-x+3与x轴交点C，
令y=-x+3=0，x=3,则C(3,0),
令y=-x+5-b=0，x=5-b,则A(5-b,0),
令x=0,则y=-x+5-b=5-b,则B（0,5-b）
①当5-b＞3，即b＜2时，AC=5-b-3=2-b,OB=5-b,
S=S△CAB=AC OB
=AC OB
=
=；
②当5-b＜3，即b＞2时，AC=3-(5-b)=b-2,OB=,
S=S△CAB
=
=，
=；
综上，S=；
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