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2025-2026学年天津四十五中高一（下）第一次月考数学试卷
一、单项选择题：本大题共9小题，共45分。
1.已知向量，且点B(2，-4)，则点A的坐标为（　　）
A. （-1，2） B. （1，-2） C. （5，-10） D. （-5，10）
2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.如果，是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（　　）
A. 与+ B. -2与+2
C. +与- D. -2与-+2
4.设复数z1=4+2i,z2=1-3i,则复数的虚部是（　　）
A. 4i B. -4i C. 4 D. -4
5.在△ABC中，a=1，b=4，，则△ABC的最大内角为（　　）
A. B. C. D.
6.△ABC三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则 的值为（　　）
A. -19 B. 19 C. 14 D. -18
7.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度沿AD方向行驶，到达对岸C点，且AC与江岸AB垂直，同时江水的速度为向东3km/h则船实际航行的速度为（　　）
A. 2km/h B. C. 4km/h D. 8km/h
8.△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，若且，则△ABC的形状是（　　）
A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形
C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形
9.如图梯形ABCD，AB∥CD且AB=5，AD=2DC=4，E在线段BC上，=0，则的最小值为（　　）

A. B. C. 15 D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.i是虚数单位，则||的值为 ．
11.在△ABC中，A=，a=c，则= ．
12.在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC=3，a+b=7，C=，则边c= ．
13.已知，是夹角为120°的两个单位向量，若向量在上的投影向量为，则实数λ= .
14.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东20°，则灯塔A与灯塔B的距离为 km.
15.已知平行四边形ABCD的面积为9，∠BAD=，||=6，E为线段BC的中点，若F为线段DE上的一点，且=λ+，则λ= ；的值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
设复数z1=1-ai（a∈R），复数z2=3+4i．
（1）若，求实数a的值；
（2）若是纯虚数，求|z1|．
17.(本小题15分)
已知向量=(-3，1)，=(1，-2)，=+，其中k∈R.
（Ⅰ）求及向量，夹角的余弦值；
（Ⅱ）若向量与向量-垂直，求实数k的值；
（Ⅲ）若向量=（1，-1），且向量与向量平行，求实数k的值.
18.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知a=2，acosC+ccosA=2bcosB.
（1）求B；
（2）若，求△ABC的面积.
19.(本小题16分)
如图，在△OAB中，，P为AB边上一点，且.
（1）设，求实数x、y的值；
（2）若，求的值.
20.(本小题16分)
在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求A；
（2）若，求b2+c2+3bc的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】
11.【答案】1
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】3
15.【答案】 ； ； 9
16.【答案】解：（1）∵z1=1-ai（a∈R），z2=3+4i，
∴z1+z2=4+（4-a）i，
由，得4-a=0，即a=4；
（2）由=是纯虚数，
得，即，
∴|z1|=||=．
17.【答案】解：（Ⅰ）由已知可得，，
又，，
所以；
（Ⅱ）由已知可得，-=2(-3，1)-(1，-2)=(-7，4)，=(-3，1)+(k，-2k)=(k-3，-2k+1)，
又向量与垂直，
所以，
即-7(k-3)+4(-2k+1)=-15k+25=0，
解得；
（Ⅲ）由已知可得，=k(1，-2)+(1，-1)=(k+1，-2k-1)，
又与向量平行，=(k-3，-2k+1)，
所以(k-3)(-2k-1)-(-2k+1)(k+1)=0，
解得．
18.【答案】

19.【答案】解：（1）已知在△OAB中，P为AB边上一点，且，
则
=
=
=，
又，
则，；
（2）在△OAB中，，，
则，
则=
=
=
=-8．
20.【答案】解：（1）根据题意，由正弦定理得，
又在锐角△ABC中，有，所以sinA＞0，
所以，所以；
（2）结合（1）可得，
由，则根据正弦定理有，
得b=2sinB，c=2sinC，
根据余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA，得b2+c2=3+bc,
所以
=，
又△ABC为锐角三角形，则有，得，
所以，所以，
故．
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