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2026年福建省泉州市洛江区九年级4月质检数学试题
一、选择题：本题共11小题，每小题4分，共44分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中为无理数的是（）
A. B. C. 1 D.
2.2026年春运期间，全社会跨区域人员流动量约950000000人次．将950000000用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
3.下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
5.如图，该几何体的俯视图（）
A. B. C. D.
6.下列说法正确的是（）
A. 掷一枚均匀的硬币，正面朝上，这是随机事件；
B. 调查长江流域的水污染情况，可以采用全面调查的方法；
C. 某次抽奖活动中，中奖的概率为，表示每抽奖50次一定有一次中奖；
D. 甲、乙两人各进行10次射击测试，两人成绩的平均数都是8.5环，方差分别是2和1.5，则甲的成绩更稳定．
7.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ）
A. B. C. D.
8.如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高为（ ）．
A. B. C. D.
9.在趣味跳高比赛中,规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者.甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示,则获胜的同学是()
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
10.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2-4ax+4(a＞0)．若A(m-1，y1)，B(m，y2)，C(m+2，y3)为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，则m的取值范围是（ ）
A. m＜1 B. C. 0＜m＜1 D.
11.如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
12.分解因式：mn-2n= .
13.某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外都相同.将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是 .
14.如图，内接于，，与相切于点，则 度．
15.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，顶点，在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为6，点的纵坐标为，点的坐标为．则 ．
16.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a，b，c，d，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，可得，之后可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数．约公元前240年，阿基米德算得，已知，在此基础上使用两次“调日法”得到的近似分数为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：．
四、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题7分)
如图，点E，F在△ABC的边AC上，且EF＝BC，DE// BC，∠DFE＝∠B．求证：DE＝AC．
19.(本小题7分)
先化简，再求值：，其中．
20.(本小题8分)
我国古诗词源远流长，我校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为，，，四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：

(1) 本次共抽取了___________名学生的竞赛成绩，请补全条形统计图；
(2) 若我校共有1600人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为等级的学生人数；
(3) 我校在竞赛成绩为等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
21.(本小题10分)
如图，点是正方形的边上一个动点，连接．
(1) 在线段上求作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 若，求的最小值．
22.(本小题10分)
如图，在中，，，，是的中线，将沿折叠，点的对应点为点，连接．
(1) 求证：；
(2) 求的长．
23.(本小题11分)
已知抛物线．
(1) 求该抛物线的对称轴；
(2) 若点和是抛物线上的两点．当，都满足，求的取值范围；
(3) 点和分别在抛物线和上（、都不是原点），当时，若的值与无关，求的值．
24.(本小题13分)
综合实践：城市交通中的“绿波带”．
在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．
为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题：
(1) 假设汽车以的速度匀速行驶：
①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间．
②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围．
(2) 若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围．
25.(本小题14分)
如图1，在中，将沿弦所在直线折叠，交弦于点．连接，．
(1) 求证：；
(2) 如图2，若经过圆心点，求证：为正三角形；
(3) 如图3，弦为的直径，的延长线交于点，若，求的值．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】B
12.【答案】n（m-2）
13.【答案】12
14.【答案】50
15.【答案】4
16.【答案】
17.【答案】解：原式=
=
=6+2-1
=7．
18.【答案】证明：∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠C，
在△DEF和△ACB中，
，
∴△DEF≌△ACB（ASA），
∴DE＝AC．
19.【答案】解：
，
当时，原式．

20.【答案】【小题1】
解：本次共抽取的学生人数为：（人），
成绩为等级的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
【小题2】
解：（人）
∴估计竞赛成绩为等级的学生人数为人；
【小题3】
解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中的有种，
∴甲、乙两人同时被选中的概率为．

21.【答案】【小题1】
解：如图，点即为所求，
【小题2】
解：如图，以的中点为圆心，为直径画圆，
∵，
∴点始终在上，
如图，连接、，连接交于点，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点、、在同一直线上时，最小，为，
∴的最小值为．

22.【答案】【小题1】
证明：∵在中，，是的中线，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：∵在中，，，，
∴，
如图，延长和交于点，作于点，
由（1）可得：，
∵，，
∴，
∴，，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：∵，
∴对称轴为直线；
【小题2】
解：①当时，
∵，，对称轴为直线，
∴，，
∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
∵，即，
∴，即点的中点在对称轴的右侧，
∴点离对称轴更远，
∵抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∴恒成立；满足题意；
②当时，抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，，
∴点在对称轴的左侧，点关于对称轴的对称点为，
∵当，都满足，
∴，解得；
综上：或；
【小题3】
解：由题意，，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵的值与无关，
∴，
∴，
∴．

24.【答案】【小题1】
解：①A到B的时间：，
A路口秒绿灯，秒红灯．
汽车36秒到达B路口，遇到红灯，
因此不能全程绿灯通过；
在B路口等待红灯时间：，
B到C的时间：，
总时间：
答：不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒．
②B路口绿灯比A晚x秒亮起，绿灯时间段为至．
汽车36秒到达B路口，B路口为绿灯，
∴，解得，
∵，
∴x的取值范围是：，
C路口绿灯每次都延迟，因此：
第1次绿灯：，
第2次绿灯：，
汽车到达C路口的时间：，
由题意，100秒在第二次绿灯内，
∴，
解得，
∵，
∴y的取值范围是；
【小题2】
解：B比A晚24秒绿灯，B路口的绿灯时段：，
对B路口：，
解得，
C比A晚15秒绿灯，
因此：
C路口的第1次绿灯：，
C路口的第2次绿灯：，即
A到C总路程：，
对C路口：，
解得，
∵，
∴．

25.【答案】【小题1】
证明：如图，作点关于的对称点，连接、，
则，
∵四边形圆内接四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小题2】
证明：如图：作点关于直线的对称点，连接、、、，
∵与关于直线对称，
∴点在上，，，
又∵，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∵四边形圆内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
由（1）可得：，
∴为等边三角形；
【小题3】
解：如图，连接、，
设，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，，则，
∴（负值舍去），
∴．

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