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2026年四川省绵阳市平武县初中第一次学业诊断（数学）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个数中，最大的数为（）
A. B. C. D.
2.随着人工智能、大数据、云计算等技术的广泛应用，某市积极推进多个公共算力中心的建设.若现有设备的算力为4×1017Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），预计新设备整体投产后，累计实现的算力将是现有设备的算力的5倍，达到mFlops,则m的值为（　　）
A. 8×1016 B. 2×1017 C. 5×1017 D. 2×1018
3.小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（）
A. B. C. D.
4.如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（）
A. B. C. D.
5.如图，在的正方形网格中，有一个格点（三角形的三个顶点都在格点上），则网格中所有与成轴对称的格点三角形有（ ）个．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
7.如图，的中线、交于点O，且，点D是边上的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D在线段的延长线上，则为（　　）
A. B. C. D.
9.如图， 为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且 ．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交 于D，E；②分别以D、E为圆心，大于 为半径作弧，两弧交于点P；③作射线 ，与 交于点F，则 的度数为（　　）
A. B. C. D.
10.如图，在△ABC中，边BC上的高是（　　）
A. AD
B. BE
C. BF
D. CF
11.如图，小明和爸爸在玩跷跷板.已知小明的体重为50kg,距离跷跷板支点的距离为1.2m,设爸爸的体重为xkg,距离跷跷板支点的距离为ym.若要使跷跷板保持平衡，则x与y应满足的关系式为（　　）.
A. y=60x B. C. D. y=50x
12.在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）经过（0，3），且当x＜0时，y的值随x值的增大而减小，则该抛物线与x轴交点的个数为（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不确定
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.分解因式： ．
14.如图，一次函数y=mx+n图象过点A（2，3）.设w=m+2n,则w的取值范围是 .
15.如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是 ；
16.定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程 （填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根．
17.已知实数x,y满足x2-xy+y2=6，则x2+xy+y2的最大值为 .
18.如图，点A在反比例函数的图象上，作轴于点B，点C在y轴上，若的面积为5，则k的值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.计算题
(1)
(2)
四、解答题：本题共6小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题20分)
每年的4月23日是世界读书日．某校为了解学生进行课外阅读的情况，在该校学生中随机抽取部分学生展开关于每周课外阅读时长的调查（每人必选其中一项），其中A：每周课外阅读小于1小时，B：每周课外阅读小时， C：每周课外阅读小时， D：每周课外阅读5小时以上．将参加调查的学生的数据整理后，依据样本数据得到如下两幅不完整的条形图和扇形图．
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
(1) 本次调查的样本容量是 ， ；
(2) 直接补全条形统计图；
(3) 扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为 ，
(4) 若该校有2000名学生，请你估计每周阅读时长不少于3小时的学生有多少人．
21.(本小题10分)
如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，若∠AEC=∠AFC.求证：BE=DF.
22.(本小题10分)
某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．
(1) 直接写出y与x的函数关系式；
(2) 当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？
23.(本小题15分)
在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点．
(1) 抛物线经过的定点的坐标为
(2) 当点在这个函数图象时，
①求抛物线的函数关系式；
②抛物线上有一点P，连结、，若的面积为1时，求点P的坐标；
③当时，函数的最小值是4，求m的值．
24.(本小题15分)
在平面直角坐标系中，我们约定：
①不重合的两点与为一对对换点；
②若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．
根据约定，解答下列问题：
(1) 反比例函数是对换函数吗？如果是，直接写出该函数图象上的一对对换点坐标；如果不是，说明理由．
(2) 若关于x的一次函数是对换函数，则k的值是多少？
(3) 对换函数中的实数m取满足条件的最小正整数时，求函数图象上的一对对换点坐标．
25.(本小题16分)

(1) 如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接．
①证明：；
②请直接写出的度数为 ；
(2) 如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接．
①请求出的度数；
②若，求线段的长．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】C
12.【答案】A
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】12
16.【答案】没有
17.【答案】18
18.【答案】
19.【答案】【小题1】
【小题2】
方程整理得：．
∵，，，，
∴，
∴，．

20.【答案】【小题1】
50
32
【小题2】
解：D的人数为（人）
∴C的人数为（人）
补全条形统计图如下：
【小题3】

【小题4】
解：（名）．
答：每周阅读时长不少于3小时的学生约有1040名．

21.【答案】∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∵∠AEC=∠AFC，∠AEB+∠AEC=∠AFD+∠AFC=180°，
∴∠AEB=∠AFD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF．
22.【答案】【小题1】解：y与x的函数关系式为y=
【小题2】解：设获得的利润为w元，
①当40≤x≤60时，w=（x-30）（-10x+700）=-10（x-50）2+4000，
∵-10＜0，
∴当x=50时，w有最大值，最大值为4000元；
②当60＜x≤70时，w=（x-30）（5x-200）-150（x-60）=5（x-50）2+2500，
∵5＞0，
∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，
∴当x=70时，w有最大，最大值为5（70-50）2+2500=4500（元），
∴4500>4000,
综上所述，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元．

23.【答案】【小题1】
，
【小题2】
解：①将点代入，
可得，
解得，
∴；
②令，
则，
解得或，
∴，，
∴，
设，
∴，
解得或或，
∴或或；
③∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
当即时，时，y有最大值，
∵函数的最小值是4，
∴，
解得或（舍去）；
当时，，y有最小值；
∵函数的最小值是4，
∴，
解得或（舍去），
当时，即，
当时，y有最小值，
∵函数的最小值是4，
∴此情况不存在，
综上所述：m的值为或．

24.【答案】【小题1】
解：设对换点为与，代入反比例函数解析式得：
，
由①得，
由②得，
故可得反比例函数是对换函数，
取，则，对应对换点坐标为和；
【小题2】
解：设对换点为与，代入一次函数解析式得：
，
由②得，
把①代入得：，
整理得，
又因为存在不重合的对换点，a不能取任意值，所以时等式不成立，
故且，
解得：；
【小题3】
解：设对换点为与，代入函数解析式得：
两式相减得，
整理得，
∵两点不重合，
∴，
∴，
∴，
∴代入得：，
∴，
∴当时，有最小值为，
∴，
又取最小正整数，
∴，此时，，对换点为和．

25.【答案】【小题1】
证明：①∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
②∵为等边三角形，
∴，
∴
由①得，
∴，
∴；
【小题2】
∵和均为等腰直角三角形，
则，
∴，
∵，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
∴；
②在等腰直角中，为斜边上的高，
∴，
∴，
由①得
∴，
∵，，
∴．

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