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北京市顺义区第一中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知数列满足，，则（ ）
A. 25 B. 30 C. 32 D. 64
2.下列求导结果正确的是（）
A. B. C. D.
3.已知a,b,c∈R，若-1，a,b,c,-3成等比数列，则实数a,b,c的乘积的值为（　　）
A. -3 B. ±3 C. D.
4.函数f(x)＝x3－12x－16的零点个数为()
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）．
A. 16种 B. 18种 C. 37种 D. 48种
6.函数f(x)＝x－ln(2x＋1)的单调递增区间是()
A. B. C. D.
7.设{an}是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“{an}为递增数列”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
9.设等差数列{an}的前n项和为Sn，．若 S12＞0，S13＜0，则数列{|an|}的最小项是（ ）
A. 第6项 B. 第7项 C. 第12项 D. 第13项
10.丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数为 ．
12.已知等比数列的首项为，前项和为，若，则的值为 .
13.已知函数，则过原点且与函数图象相切的直线方程为 ．
14.在数列{an}中，a1=4，a5=-3，且任意连续三项的和均为7，则a2026= ；记数列{an}的前n项和为Sn，则使得Sn≤100成立的最大整数n= .
15.函数（x＞0）的所有极值点从小到大排列成数列{an}，设Sn是{an}的前n项和，给出下列四个结论：
①数列{an}为等差数列；②a3=π；③ a4为函数f（x）的极小值点；④sinS2023=-.其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
17.(本小题12分)
已知函数
(1)求函数的单调区间和极值点；
(2)若的极小值为，求函数在上的最大值．
18.(本小题12分)
已知数列{an}是递增的等差数列，a2=3，且a1，a2，a5成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，设数列{cn}的前n项和为Tn，求满足的n的最小值.
19.(本小题12分)
已知函数，．
当时，若在上恒成立，求实数m的取值范围；
当时，若函数在区间上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
20.(本小题14分)
已知函数，a＞0．
（1）若a＝1，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
（2）求函数y＝f(x)的单调增区间；
（3）若f(x)存在极大值点x0，求证：f(x0)＜0．
21.(本小题15分)
若对 m,n∈N+，当m-n∈A时，都有am-an∈A，则称数列{an}受集合A制约．
（Ⅰ）若，判断{an}是否受N+制约，{an}是否受区间[0，1]制约；
（Ⅱ）若a1=1，a2=3，{an}受集合{2}制约，求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若记p：“{an}受区间[1，2]制约”，q：“{an}受集合{2}制约”，判断p是否是q的充分条件，p是否是q的必要条件，并证明你的结论．
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】0.5/
13.【答案】
14.【答案】4
44

15.【答案】②③④
16.【答案】解：（1）设等比数列的公比为，则，
由已知，，成等差数列，所以，即，
又，所以，解得或，
又是各项均为正数的等比数列，则，所以；
（2）由（1）可得，，
所以

.

17.【答案】解：（1），
令，得或
，的情况如下：
递减 递增 递减
所以是函数的极小值点；是函数的极大值点．增区间是，减区间是和；
（2）由已知的极小值为，即
解得，
由（1）知在上递减，在上递增，
又， ．
所以当时，取得最大值．

18.【答案】解：（1）设递增等差数列{an}的公差为d,d＞0，
依题意，，且a2=3，
则a1=a2-d=3-d,a5=a2+3d=3+3d,
所以有（3-d）（3+3d）=9，而d＞0，解得d=2，
an=a2+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1，
所以数列{an}的通项公式是an=2n-1．
（2）由（1）知，，
则，
由得：，解得n＞12，而n∈N*，则nmin=13，
所以满足的n的最小值是13．
19.【答案】解：当时，，
则，即，化简得，
，，
恒成立，该不等式等价于的最小值，
令，，
由，得 ，由，得，
在上递增，在上递减，
，
即有；
，，
．
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
当时，函数取得最小值，．
函数在区间上恰有两个不同的零点，
即有在和内，各有一个零点，
，即有,
解得．
实数a的取值范围是．
20.【答案】解：（1）当时， 得，
，，
切线方程为，即；
（2）函数定义域为，求导得,
① 时，解得或,故单调增区间为和,
②当时，，故单调增区间为,
③当时，解得或,故单调增区间为和
综上：①时，单调增区间为和,
②时，单调增区间为，
③ 时，单调增区间为和
（3）由(2)知
当时，函数y＝f( x)在上递增，在上递减，在上递增，
从而极大值点为,
此时，f()<0；
当时，函数y＝f( x)在上递增，在上递减，在上递增，
极大值点为,
此时，,
因，故，且，因此，又，故,
当a=1时,f(x)在(0,+)单调递增,此时f(x)无极值,不合题意;
综上,若f(x)存在极大值点,则f()<0.
21.【答案】解：（Ⅰ）若m,n∈N*，且m-n∈N*，则m＞n≥1，
而am-an=2m-2n=2n（2m-n-1），
由题意2n，（2m-n-1）∈N*，则，
∴{an}受N+制约．
由m,n∈N*，且m-n∈[0，1]，
当m-n=0，即m=n时，an-an=0∈[0，1]，
当m-n=1，即m=n+1时，，
∴{an}不受[0，1]制约，
综上，{an}受N+制约，{an}不受[0，1]制约．
（Ⅱ）由m,n∈N*，且m-n=2，有am-an=2，∴an+2-an=2．
∵a1=1，a2=3，∴{an}的奇数项、偶数项分别为首项为1，3，且公差均为2的等差数列，
当n=2k-1且k∈N*，则，
当n=2k且k∈N*，则，
∴数列{an}的通项公式为，且k∈N*．
（Ⅲ）p是q的充分不必要条件．
证明如下：p为真：{an}受集合[1，2]制约，由m,n∈N*，且m-n∈[1，2]，
当m-n=1，有an+1-an∈[1，2]成立，则an+2-an+1∈[1，2]，进而可得an+2-an∈[2，4]，①，
当m-n=2，有an+2-an∈[1，2]成立，结合①有an+2-an=2∈{2}，
此时，{an}受集合{2}制约，
q为真：{an}受集合{2}制约，
由m,n∈N*，且m-n=2∈[1，2]，有an+2-an=2∈[1，2]，
而m-n=1∈[1，2]，不一定有an+1-an∈[1，2]成立，
（反例：，且k∈N*，由题意得m-n=2-1=1，有a2-a1=4-1=3 [1，2]），
∴{an}不一定受区间[1，2]制约，
∴{an}受区间[1，2]制约，必受集合{2}制约，但受集合{2}制约，不一定受区间[1，2]制约，
综上，p是q的充分不必要条件．
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