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山东淄博实验中学、淄博齐盛高级中学2025-2026学年高二下学期4月教学诊断训练数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
3.甲组有2名男生，3名女生；乙组有3名男生，2名女生.若从甲、乙两组中各选2名学生，选出的4人中恰有1名女生的选法种数为（）
A. 24 B. 25 C. 30 D. 36
4.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（　　）
A. -24 B. -3 C. 3 D. 8
5.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）
A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种
6.已知函数，有两个极值点，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（）
A. 30种 B. 36种 C. 42种 D. 48种
8.设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，且，则下列等式一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A. B.
C. D. 数列是递增数列
11.已知直线与曲线相交于两点，与相交于两点，的横坐标分别为，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列an，bn都是等差数列，且，则数列an+bn的前100项的和是 .
13.设，函数，，若对任意的，存在使得成立，则实数的最小值是 ．
14.已知函数（其中，且）为其定义域上的单调函数，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设等比数列的前项和为，已知，.
(1)求和；
(2)设，证明：.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=mx-lnx,m∈R，e为自然常数.
（1）当m=1时，求函数y=f（x）在x=e处的切线方程；
（2）若函数y=f（x）在区间[1，e]上有最小值-2，求实数m的值.
17.(本小题15分)
已知数列的首项，的前项和为，且.
(1)证明数列是等比数列；
(2)令，求函数在点处的导数.
18.(本小题17分)
已知a∈R，函数f（x）=ex+ax2，g（x）是f（x）的导函数.
（1）当时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求证：存在唯一的，使得g（x0）=0；
（3）若存在实数a,b,使得f（x）≥b恒成立，求a-b的最小值.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2xx--x(aR)．
（1）求证：f(x)(2-a)-3x；
（2）若为函数f(x)的极值点，
①求实数a的取值范围；②求证：>1+．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】AD
10.【答案】BCD
11.【答案】AC
12.【答案】5150
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由为等比数列，，可得，
即，，解得，
所以，，.
（2），，
，
因为，所以，从而.

16.【答案】
17.【答案】解：（1）因为，所以，
所以，
又，即，
所以数列是公比和首项均为2的等比数列.
（2）由（1），所以，
所以，
所以，
设
所以，
所以，
所以，
又，所以.

18.【答案】单调增区间为（-∞，+∞），无减区间 证明：因为g（x）=f'（x）=ex+2ax，g'（x）=ex+2a，
当a＞0时，g'（x）＞0，所以函数g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
又，
所以存在唯一的，使得g（x0）=0
19.【答案】（1）证明：要证f(x)(2-a)-3x，只需证2xx-2x，因为x>0
即证xx-1．
设g(x)=x-1-x，因为g'(x)=(x>0)，
令g'(x)==0，可得x=1，
所以g（x）在（0,1）单调递减，（1，）单调递增，
所以g=g(1)=0，即xx-1成立．
故f(x)(2-a)-3x；
（2）解：①∵f(x)=2xx--x(aR)，存在极值点，
∴f'(x)=2x-2ax+1=0，在上存在变号零点，
则，即h(x)=-a在上存在变号零点，
则h'(x)=,令h'(x)>0得0< x<;令h'(x)<0得x>,
∴h(x)在(0,)上单调递增，在(,+)上单调递减，则h(x)max=h（），
所以要使函数f(x)存在极值点，只需h(x)max>0,解得a<，
综上所述，当a<时，函数f(x)存在极值点．
②由①得2-+1=0，
所以，要证>1+，
只需证>+1+．
由xx-1，则x+1．
当0<<1时，因为+1,<0，
所以>+1+．
当1时，因为xx-1,(-1)
所以，要证>+1+，
只需证>+1+(-1)，
即证>-+1，
即证<1对1成立．
令(x)=(x1)，
因为'(x)==，
所以(x)在(1,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，
所以(x)(2)=<1，
即1时，>+1+成立．
综上所述，>1+成立．
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