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2026年高考全国Ⅰ卷数学模拟卷（三）
学生版 1
教师版 20
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：江西、湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、河南、安徽、福建、河北.
难度系数：（计算公式：0.85×5 + 0.80×5 + 0.75×5 + 0.75×5 + 0.70×5 + 0.65×5 + 0.60×5 + 0.45×5 + 0.65×6 + 0.55×6 + 0.45×6 + 0.70×5 + 0.65×5 + 0.45×5 + 0.60×13 + 0.55×15 + 0.60×15 + 0.45×17 + 0.40×17 = 91.1 ÷ 150 ≈ 0.61）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（2026·湖南新高考教研联盟·第二次联考）若集合 ， ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
（2026·安徽铜陵·模拟）抛物线 的焦点坐标为（ 　　）
A. B. C. D.
（2026·湘豫联盟·阶段检测）如图为某款仿生蝴蝶的设计示意图，在平面直角坐标系 中，每个小方格的边长为 ，蝴蝶翅膀的一个前尖端点 的坐标为 ，另一个前尖端点 、尾突点 均在格点上，则 与 的夹角的余弦值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
（2026·湖南长望浏宁·四月调研）在 中， ， 是 的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
（2026·河北承德·一模）某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为 米的正方体物件作为装饰，如图， 为该正方体的顶点， 为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面 .若平面 与平面 平行，且直绳索 的长度为 米，则点 到平面 的距离为（ 　　）
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
（2026·湖南衡阳八中·适应性练习）曲线 在点 处的切线与直线 和 围成的三角形的面积为（ 　　）
A. B. C. D.
（2026·浙江金华十校·模拟）在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， 的面积为 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
（2026·湖南衡阳八中·适应性练习）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，若 ，则 的大小关系是（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
（2026·广东湛江·二模）2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差 实际浓度 预测浓度，单位：）.如下表：
日期 1 2 3 4 5 6 7
预测误差
下列关于这7天预测误差 的描述中，正确的有（ 　　）
A. 这组数据的众数是
B. 这组数据的 分位数是
C. 这组数据的方差大于
D. 若第8天该模型预测误差为 ，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小
（2026·湖南长沙·模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 且斜率为 的直线 与 的右支交于点 ，则（ 　　）
A. 的离心率为
B.
C. 的最小值为
D. 若以实轴为直径的圆与 相切，则
（2026·湖南新高考教研联盟·第二次联考）如图，对每个正整数 ， 是抛物线 上的点，过焦点 的直线 交抛物线于另一点 ，并记 为抛物线上分别以 与 为切点的两条切线的交点.则（ 　　）
A.
B.
C. 若 ，则 的最小值为
D. 若 ，则
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
（2026·浙江湖州、衢州、丽水·二模）如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为 ，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为 的球），三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切.若汤圆与碗口等高，则 ________.
（2026·甘肃·二模）函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，对于 ，都有 ，若 ，则实数 的取值范围是 ________.
（2026·广东湛江·二模）若数列 满足 ，则称数列 为“ 和谐数列”.已知数列 是“和谐数列”，且 ，则满足条件的数列 的个数为 ________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（13分）（2026·山东日照·模拟）在 中，角 所对的边分别为 ， .
（1）求 的值；
（2）若 是边 上一点， ， ，求 的周长.
（15分）（2026·八省八校T8联考·湖北版）如图，在底面是菱形的直四棱柱 中， ， ， 为线段 上靠近 的三等分点， 为线段 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
（15分）（2026·湖南新高考教研联盟·第二次联考）在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了 组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表：
思维任务类型 信号同步 信号不同步 合计
逻辑推理
创造性想象
合计
（1）分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由.
（2）根据小概率值 的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？
附：
（17分）（2026·湖南长望浏宁·四月调研）已知动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）若曲线 与 轴的交点为 （ 在 的左侧），过点 的直线交曲线 于点 （位于第二象限）， 的角平分线交 于点 .
（i）求证：点 在定直线上；
（ii）连接直线 且与曲线 的另一个交点为 ，求 的取值范围.
（17分）（2026·湖南衡阳八中·适应性练习）设椭圆 的离心率为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为椭圆 上两个不同的动点（均不与 重合）.
（i）若直线 过点 ，求 面积的最大值；
（ii）若 是 的角平分线，试问直线 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
答案解析
一、单项选择题
1.
答案速览：D
详解：由 得 ，故 .由 得 ，故 .交集为 .
易错警示：常见错误：忽略根号下 的条件，误选A或C.防错方法：遇到根式先写定义域.
规律总结：通法：集合运算先分别化简集合，再求交、并、补.
2.
答案速览：C
详解：抛物线 化为标准方程为 ，故 ，即 ，焦点坐标为 .
易错警示：常见错误：未化为标准方程，误把 当作 .防错方法：求焦点坐标前必须先化成 或 的标准形式.
规律总结：通法：抛物线焦点坐标要先化成标准形式.
3.
答案速览：A
详解：由题图， ， ， . ， .
易错警示：常见错误：向量减法顺序错误或夹角公式分母漏乘模长.防错方法：严格按照“终减起”计算向量，夹角公式默念三遍“模长乘积在分母”.
规律总结：通法：夹角余弦公式 .
4.
答案速览：C
详解：在 中，.若 ，则 ，充分；若 ，则 ，必要.故为充要条件.
易错警示：常见错误：忽略三角形内角范围的限制，误认为 还可能对应 等.防错方法：三角形内角范围为 ，在此区间内余弦值与角一一对应.
规律总结：通法：判断充要条件需分别验证充分性和必要性.
5.
答案速览：D
详解：由正方体棱长为 ，知 .由 且平面 ，得 即为平面 到平面 的距离，为 .点 到平面 的距离为正方体对角线的一半，即 .故点 到平面 的距离为 米.
易错警示：常见错误：混淆点到平面的距离与两平行平面间的距离，直接用 错选C.防错方法：画截面图，明确点、面之间的位置关系，逐步计算.
规律总结：通法：利用等体积法或几何关系求点到平面的距离.
6.
答案速览：A
详解：，切线斜率为 ，切线方程为 ，即 .切线与 的交点为 ，与 的交点为 ，两直线交点为原点 .三角形面积为 .
易错警示：常见错误：求导错误或面积公式用错（忘记乘 ）.防错方法：求导后代入验证，面积公式默念“底乘高除以二”.
规律总结：通法：先求切线方程，再求交点坐标，最后求几何图形面积.
7.
答案速览：C
详解：由 ，得 .由正弦定理，
易错警示：常见错误：面积公式与正弦定理结合使用时不熟练，导致代换错误.防错方法：先由面积公式得边的关系，再统一用正弦定理化为角.
规律总结：技巧：利用正弦定理将边的乘积转化为角的正弦值乘积.
8.
答案速览：A
详解：由 知 为奇函数，且 .构造函数 ，则 .当 时，， 在 上单调递增.由奇偶性知 在 上单调递增.将 转化为 的函数值：，，.比较自变量大小：，故 .
易错警示：常见错误：不会构造辅助函数，导致无法比较.防错方法：看到含导数的抽象函数不等式，优先考虑构造 型函数.
规律总结：通法：对于含导数的抽象函数不等式，常构造函数 等利用单调性解题.
一题多解：
解法一（构造函数法）：如上.
解法二（特殊函数法）：取满足条件的特殊函数 ，代入计算得 ，，.可定性判断出 .（注：此法在小题中可快速判断，但需注意特殊函数是否严格满足所有条件）
对比：解法一严谨通用，解法二快速但对选择特殊函数要求高.
二、多项选择题
9.
答案速览：ACD
详解：数据排序：.众数为 ，A正确.，第 百分位数为第 个数 ，B错误.平均数为 ，方差 ，C正确.原平均数为 ，加入 后平均数变为 ，变小，D正确.
易错警示：常见错误：对百分位数的计算规则不清晰（整数和非整数的处理不同）.防错方法：计算 ，若为整数则取该数与下一数的均值，若非整数则向上取整.
规律总结：通法：求第 百分位数时，先计算 ，再根据是否为整数决定取法.
10.
答案速览：BCD
详解：，，，离心率 ，A错误.过 的直线与右支相交，斜率需满足 ，即 ，B正确.设 ，则 ，由 得当 时取最小值 ，C正确.由相切条件求得 ，进而解得 ，D正确.
易错警示：常见错误：将双曲线焦点三角形中的向量数量积计算与椭圆混淆.防错方法：明确双曲线中 ，代入 进行消元.
规律总结：通法：双曲线中与焦点有关的最值或定值问题，常设点坐标并利用双曲线方程消元化为单变量函数.
11.
答案速览：ABD
详解：设直线 方程为 ，联立 得 ，故 ，A正确.由切线性质可证 坐标为 ，且 ，由射影定理知B正确..若 ，则 ，当 时最小值为 ，C错误.若 ，代入求和得D正确.
易错警示：常见错误：直接用均值不等式求C选项的最小值时，忽略了 为正整数且函数在 处取最小值的特性.防错方法：对勾函数的最值点不一定在定义域内，需结合定义域判断.
规律总结：通法：抛物线的焦点弦问题常设点坐标，利用韦达定理整体代换.
一题多解：
解法一（代数法）：如上，通过联立方程和韦达定理进行代数运算.
解法二（几何法）：利用抛物线的光学性质和阿基米德三角形的几何性质，结合焦点弦的几何关系进行推导.
对比：代数法计算量稍大但思路直接，几何法计算量小但需对抛物线性质非常熟悉.
三、填空题
12.
答案速览：
详解：设三颗汤圆的球心分别为 ，它们构成边长为 的正三角形.碗的球心为 .由几何关系， 到汤圆球心距离为 .在正四面体 中可计算得到 .
易错警示：常见错误：空间想象能力不足，无法准确建立球心之间的几何关系.防错方法：画出轴截面图，将空间关系转化为平面几何问题.
规律总结：技巧：多个球相切问题，核心是连接球心，将空间问题转化为多面体的棱长关系.
13.
答案速览：
详解：由 为偶函数且在 上递增，知 在 上递减.由 ，得 ，即 或 ，解得 或 .
易错警示：常见错误：直接去掉 而不加绝对值，忽略偶函数的对称区间单调性相反.防错方法：偶函数中比较函数值大小，优先转化为比较自变量绝对值的大小.
规律总结：通法： 是偶函数，解 时常转化为 与 的不等关系.
14.
答案速览：
详解： 共 项，满足 ，且 .分类讨论：全为 有 种； 个 、 个 、 个 有 种； 个 、 个 有 种.共 个.
易错警示：常见错误：分类计数时遗漏或重复（如忽略 必须为 的限制）.防错方法：先处理特殊位置，再分类讨论剩余位置，列树状图辅助.
规律总结：通法：有限制条件的排列组合问题，先处理特殊位置，再分类讨论剩余位置.
一题多解：
解法一（分类讨论）：如上.
解法二（生成函数法）：设 的个数分别为 ，则 ，.枚举 求解.
对比：解法一直观易懂，适合项数较少的情况；解法二更具一般性，适合复杂限制条件.
四、解答题
15.
答案速览：（1）；（2）
详解：
（1）由 ，原式化为 .利用和差化积公式，
故 ，结合 ，得 ，.
（2）设 ，则 .在 和 中分别用余弦定理表示 和 ，由互补关系 得方程，解得 ，.周长为 .
易错警示：常见错误：和差化积公式记错或符号搞反；互补角余弦互为相反数的关系忘记用.防错方法：默写一遍和差化积公式，互补角关系画图确认.
规律总结：通法：三角形中边角混合的等式，常利用正弦、余弦定理统一化为边或角的等式求解.
16.
答案速览：（1）见解析；（2）
详解：
（1）连接 交 于 ，连接 .由 为 三等分点及 为 中点，可证 .又 平面 ， 平面 ，故 平面 .
（2）以 为原点建系，求得 ，平面 的法向量 .由点面距公式
易错警示：常见错误：空间坐标系建错导致点坐标错误；平面法向量计算失误.防错方法：建系后先检查几个关键点的坐标，法向量算完后代入两个平面向量验证数量积为 .
规律总结：通法：证明线面平行常用线线平行或面面平行；求点到平面距离首选向量法（法向量投影）.
17.
答案速览：（1）有关，逻辑推理同步频率 ，创造性想象同步频率 ，差异明显；（2）无关
详解：
（1）逻辑推理任务同步频率为 ，创造性想象任务同步频率为 .两者存在明显差异，可初步认为有关.
（2）计算卡方：
因为 ，所以在 的水平下，没有充分证据表明思维任务类型与信号同步性有关.
易错警示：常见错误：卡方计算公式中分子、分母的数据代入错误；临界值查错或比较方向反了.防错方法：列联表四个数据 先标在表上，代入公式后验算一遍.
规律总结：通法：独立性检验先计算观测值 ，再与临界值比较，若 则拒绝独立假设，否则不能拒绝.
18.
答案速览：（1）；（2）（i）点 在定直线 上；（ii）
详解：
（1）由题意 ，化简得 .由距离之比为常数且大于 ，知轨迹为双曲线右支 .
（2）（i）设直线 ，联立双曲线求得 点坐标.由角平分线性质得 ，代入坐标化简得 ，为定直线.
（ii）由点 坐标求得 ，直线 与双曲线联立求出 ，进而表示出 ，利用 的范围求出取值范围为 .
易错警示：常见错误：轨迹方程漏掉 的限制；角平分线性质用错（误用为到角两边距离相等）.防错方法：由定义中的“比是常数 ”判断曲线为双曲线，且焦点在 轴上，故取右支；角平分线性质用内角平分线定理.
规律总结：通法：求轨迹方程常用直接法（翻译几何条件）；定点定值问题常设线参，利用韦达定理消参证明.
一题多解：
解法一（设线参）：如上，设直线 斜率 ，用 表示各点，最终消去 .
解法二（设点参）：设 ，利用角平分线性质直接表示 坐标，再代入直线方程求解.
对比：解法一参数少，计算相对简洁；解法二设点更能体现轨迹思想，但计算量稍大.
19.
答案速览：（1）；（2）（i）；（ii）定点
详解：
（1）由 ，得 .又上顶点 ，右焦点 ，.故 ，，，椭圆方程为 .
（2）（i）设直线 ，与椭圆联立，求出弦长 和 到直线的距离 ，表示出 面积.利用基本不等式求出最大值为 .
（ii）设 ，由角平分线性质得 到 距离相等.化简得 满足同一线性方程，进而得直线 恒过定点 .
易错警示：（i）中设直线方程为点斜式时忽略斜率不存在的情况；（ii）中角平分线应用距离公式时代入坐标出错.防错方法：设直线时优先考虑横截距式 ，避免讨论斜率；距离公式写出来后再代入点坐标.
规律总结：通法：椭圆中三角形面积最值问题，常联立方程用弦长公式和点线距公式建立目标函数；定点问题常先猜后证，通过特殊情况找定点，再一般性证明.
一题多解：
解法一（代数法）：如上，联立方程，利用韦达定理和距离公式.
解法二（齐次化法）：对于（ii），平移坐标系，将椭圆方程齐次化，构造关于斜率的二次方程，利用角平分线的斜率关系解题.
对比：解法一通用性强，计算量适中；解法二技巧性强，能大幅简化运算，但需熟练掌握平移齐次化技巧.
2026年高考全国Ⅰ卷数学模拟卷（三）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、江西、河南、安徽、福建、河北.
难度系数：（计算公式：0.85×5 + 0.80×5 + 0.75×5 + 0.75×5 + 0.70×5 + 0.65×5 + 0.60×5 + 0.45×5 + 0.65×6 + 0.55×6 + 0.45×6 + 0.70×5 + 0.65×5 + 0.45×5 + 0.60×13 + 0.55×15 + 0.60×15 + 0.45×17 + 0.40×17 = 91.1 ÷ 150 ≈ 0.61）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·湖南新高考教研联盟·第二次联考） 若集合 ， ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【详解】由 得 ，故 .由 得 ，故 .交集为 .
【易错警示】常见错误：忽略根号下 的条件，误选A或C.防错方法：遇到根式先写定义域.
【规律总结】通法：集合运算先分别化简集合，再求交、并、补.
2.（2026·安徽铜陵·模拟） 抛物线 的焦点坐标为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【详解】抛物线 化为标准方程为 ，故 ，即 ，焦点坐标为 .
【易错警示】常见错误：未化为标准方程，误把 当作 .防错方法：求焦点坐标前必须先化成 或 的标准形式.
【规律总结】通法：抛物线焦点坐标要先化成标准形式.
3.（2026·湘豫联盟·阶段检测） 如图为某款仿生蝴蝶的设计示意图，在平面直角坐标系 中，每个小方格的边长为 ，蝴蝶翅膀的一个前尖端点 的坐标为 ，另一个前尖端点 、尾突点 均在格点上，则 与 的夹角的余弦值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【详解】由题图， ， ， . ， .
【易错警示】常见错误：向量减法顺序错误或夹角公式分母漏乘模长.防错方法：严格按照“终减起”计算向量，夹角公式默念三遍“模长乘积在分母”.
【规律总结】通法：夹角余弦公式 .
4.（2026·湖南长望浏宁·四月调研） 在 中， ， 是 的（ 　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】在 中，.若 ，则 ，充分；若 ，则 ，必要.故为充要条件.
【易错警示】常见错误：忽略三角形内角范围的限制，误认为 还可能对应 等.防错方法：三角形内角范围为 ，在此区间内余弦值与角一一对应.
【规律总结】通法：判断充要条件需分别验证充分性和必要性.
5.（2026·河北承德·一模） 某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为 米的正方体物件作为装饰，如图， 为该正方体的顶点， 为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面 .若平面 与平面 平行，且直绳索 的长度为 米，则点 到平面 的距离为（ 　　）
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
【答案】D
【详解】由正方体棱长为 ，知 .由 且平面 ，得 即为平面 到平面 的距离，为 .点 到平面 的距离为正方体对角线的一半，即 .故点 到平面 的距离为 米.
【易错警示】常见错误：混淆点到平面的距离与两平行平面间的距离，直接用 错选C.防错方法：画截面图，明确点、面之间的位置关系，逐步计算.
【规律总结】通法：利用等体积法或几何关系求点到平面的距离.
6.（2026·湖南衡阳八中·适应性练习） 曲线 在点 处的切线与直线 和 围成的三角形的面积为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【详解】，切线斜率为 ，切线方程为 ，即 .切线与 的交点为 ，与 的交点为 ，两直线交点为原点 .三角形面积为 .
【易错警示】常见错误：求导错误或面积公式用错（忘记乘 ）.防错方法：求导后代入验证，面积公式默念“底乘高除以二”.
【规律总结】通法：先求切线方程，再求交点坐标，最后求几何图形面积.
7.（2026·浙江金华十校·模拟） 在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， 的面积为 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【详解】由 ，得 .由正弦定理，
【易错警示】常见错误：面积公式与正弦定理结合使用时不熟练，导致代换错误.防错方法：先由面积公式得边的关系，再统一用正弦定理化为角.
【规律总结】技巧：利用正弦定理将边的乘积转化为角的正弦值乘积.
8.（2026·湖南衡阳八中·适应性练习） 已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，若 ，则 的大小关系是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【详解】由 知 为奇函数，且 .构造函数 ，则 .当 时，， 在 上单调递增.由奇偶性知 在 上单调递增.将 转化为 的函数值：，，.比较自变量大小：，故 .
【易错警示】常见错误：不会构造辅助函数，导致无法比较.防错方法：看到含导数的抽象函数不等式，优先考虑构造 型函数.
【规律总结】通法：对于含导数的抽象函数不等式，常构造函数 等利用单调性解题.
【一题多解】
解法一（构造函数法）：如上.
解法二（特殊函数法）：取满足条件的特殊函数 ，代入计算得 ，，.可定性判断出 .（注：此法在小题中可快速判断，但需注意特殊函数是否严格满足所有条件）
对比：解法一严谨通用，解法二快速但对选择特殊函数要求高.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·广东湛江·二模） 2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差 实际浓度 预测浓度，单位：）.如下表：
日期 1 2 3 4 5 6 7
预测误差
下列关于这7天预测误差 的描述中，正确的有（ 　　）
A. 这组数据的众数是
B. 这组数据的 分位数是
C. 这组数据的方差大于
D. 若第8天该模型预测误差为 ，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小
【答案】ACD
【详解】数据排序：.众数为 ，A正确.，第 百分位数为第 个数 ，B错误.平均数为 ，方差 ，C正确.原平均数为 ，加入 后平均数变为 ，变小，D正确.
【易错警示】常见错误：对百分位数的计算规则不清晰（整数和非整数的处理不同）.防错方法：计算 ，若为整数则取该数与下一数的均值，若非整数则向上取整.
【规律总结】通法：求第 百分位数时，先计算 ，再根据是否为整数决定取法.
10.（2026·湖南长沙·模拟） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 且斜率为 的直线 与 的右支交于点 ，则（ 　　）
A. 的离心率为
B.
C. 的最小值为
D. 若以实轴为直径的圆与 相切，则
【答案】BCD
【详解】，，，离心率 ，A错误.过 的直线与右支相交，斜率需满足 ，即 ，B正确.设 ，则 ，由 得当 时取最小值 ，C正确.由相切条件求得 ，进而解得 ，D正确.
【易错警示】常见错误：将双曲线焦点三角形中的向量数量积计算与椭圆混淆.防错方法：明确双曲线中 ，代入 进行消元.
【规律总结】通法：双曲线中与焦点有关的最值或定值问题，常设点坐标并利用双曲线方程消元化为单变量函数.
11.（2026·湖南新高考教研联盟·第二次联考） 如图，对每个正整数 ， 是抛物线 上的点，过焦点 的直线 交抛物线于另一点 ，并记 为抛物线上分别以 与 为切点的两条切线的交点.则（ 　　）
A.
B.
C. 若 ，则 的最小值为
D. 若 ，则
【答案】ABD
【详解】设直线 方程为 ，联立 得 ，故 ，A正确.由切线性质可证 坐标为 ，且 ，由射影定理知B正确..若 ，则 ，当 时最小值为 ，C错误.若 ，代入求和得D正确.
【易错警示】常见错误：直接用均值不等式求C选项的最小值时，忽略了 为正整数且函数在 处取最小值的特性.防错方法：对勾函数的最值点不一定在定义域内，需结合定义域判断.
【规律总结】通法：抛物线的焦点弦问题常设点坐标，利用韦达定理整体代换.
【一题多解】
解法一（代数法）：如上，通过联立方程和韦达定理进行代数运算.
解法二（几何法）：利用抛物线的光学性质和阿基米德三角形的几何性质，结合焦点弦的几何关系进行推导.
对比：代数法计算量稍大但思路直接，几何法计算量小但需对抛物线性质非常熟悉.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·浙江湖州、衢州、丽水·二模） 如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为 ，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为 的球），三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切.若汤圆与碗口等高，则 ________.
【答案】
【详解】设三颗汤圆的球心分别为 ，它们构成边长为 的正三角形.碗的球心为 .由几何关系， 到汤圆球心距离为 .在正四面体 中可计算得到 .
【易错警示】常见错误：空间想象能力不足，无法准确建立球心之间的几何关系.防错方法：画出轴截面图，将空间关系转化为平面几何问题.
【规律总结】技巧：多个球相切问题，核心是连接球心，将空间问题转化为多面体的棱长关系.
13.（2026·甘肃·二模） 函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，对于 ，都有 ，若 ，则实数 的取值范围是 ________.
【答案】
【详解】由 为偶函数且在 上递增，知 在 上递减.由 ，得 ，即 或 ，解得 或 .
【易错警示】常见错误：直接去掉 而不加绝对值，忽略偶函数的对称区间单调性相反.防错方法：偶函数中比较函数值大小，优先转化为比较自变量绝对值的大小.
【规律总结】通法： 是偶函数，解 时常转化为 与 的不等关系.
14.（2026·广东湛江·二模） 若数列 满足 ，则称数列 为“ 和谐数列”.已知数列 是“和谐数列”，且 ，则满足条件的数列 的个数为 ________.
【答案】
【详解】 共 项，满足 ，且 .分类讨论：全为 有 种； 个 、 个 、 个 有 种； 个 、 个 有 种.共 个.
【易错警示】常见错误：分类计数时遗漏或重复（如忽略 必须为 的限制）.防错方法：先处理特殊位置，再分类讨论剩余位置，列树状图辅助.
【规律总结】通法：有限制条件的排列组合问题，先处理特殊位置，再分类讨论剩余位置.
【一题多解】
解法一（分类讨论）：如上.
解法二（生成函数法）：设 的个数分别为 ，则 ，.枚举 求解.
对比：解法一直观易懂，适合项数较少的情况；解法二更具一般性，适合复杂限制条件.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2026·山东日照·模拟） 在 中，角 所对的边分别为 ， .
（1）求 的值；
（2）若 是边 上一点， ， ，求 的周长.
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）由 ，原式化为 .利用和差化积公式，
故 ，结合 ，得 ，.
（2）设 ，则 .在 和 中分别用余弦定理表示 和 ，由互补关系 得方程，解得 ，.周长为 .
【易错警示】常见错误：和差化积公式记错或符号搞反；互补角余弦互为相反数的关系忘记用.防错方法：默写一遍和差化积公式，互补角关系画图确认.
【规律总结】通法：三角形中边角混合的等式，常利用正弦、余弦定理统一化为边或角的等式求解.
16.（15分）（2026·八省八校T8联考·湖北版） 如图，在底面是菱形的直四棱柱 中， ， ， 为线段 上靠近 的三等分点， 为线段 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】
（1）连接 交 于 ，连接 .由 为 三等分点及 为 中点，可证 .又 平面 ， 平面 ，故 平面 .
（2）以 为原点建系，求得 ，平面 的法向量 .由点面距公式
【易错警示】常见错误：空间坐标系建错导致点坐标错误；平面法向量计算失误.防错方法：建系后先检查几个关键点的坐标，法向量算完后代入两个平面向量验证数量积为 .
【规律总结】通法：证明线面平行常用线线平行或面面平行；求点到平面距离首选向量法（法向量投影）.
17.（15分）（2026·湖南新高考教研联盟·第二次联考） 在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了 组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表：
思维任务类型 信号同步 信号不同步 合计
逻辑推理
创造性想象
合计
（1）分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由.
（2）根据小概率值 的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？
附：
【答案】（1）有关，逻辑推理同步频率 ，创造性想象同步频率 ，差异明显；（2）无关
【详解】
（1）逻辑推理任务同步频率为 ，创造性想象任务同步频率为 .两者存在明显差异，可初步认为有关.
（2）计算卡方：
因为 ，所以在 的水平下，没有充分证据表明思维任务类型与信号同步性有关.
【易错警示】常见错误：卡方计算公式中分子、分母的数据代入错误；临界值查错或比较方向反了.防错方法：列联表四个数据 先标在表上，代入公式后验算一遍.
【规律总结】通法：独立性检验先计算观测值 ，再与临界值比较，若 则拒绝独立假设，否则不能拒绝.
18.（17分）（2026·湖南长望浏宁·四月调研） 已知动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）若曲线 与 轴的交点为 （ 在 的左侧），过点 的直线交曲线 于点 （位于第二象限）， 的角平分线交 于点 .
（i）求证：点 在定直线上；
（ii）连接直线 且与曲线 的另一个交点为 ，求 的取值范围.
【答案】（1）；（2）（i）点 在定直线 上；（ii）
【详解】
（1）由题意 ，化简得 .由距离之比为常数且大于 ，知轨迹为双曲线右支 .
（2）（i）设直线 ，联立双曲线求得 点坐标.由角平分线性质得 ，代入坐标化简得 ，为定直线.
（ii）由点 坐标求得 ，直线 与双曲线联立求出 ，进而表示出 ，利用 的范围求出取值范围为 .
【易错警示】常见错误：轨迹方程漏掉 的限制；角平分线性质用错（误用为到角两边距离相等）.防错方法：由定义中的“比是常数 ”判断曲线为双曲线，且焦点在 轴上，故取右支；角平分线性质用内角平分线定理.
【规律总结】通法：求轨迹方程常用直接法（翻译几何条件）；定点定值问题常设线参，利用韦达定理消参证明.
【一题多解】
解法一（设线参）：如上，设直线 斜率 ，用 表示各点，最终消去 .
解法二（设点参）：设 ，利用角平分线性质直接表示 坐标，再代入直线方程求解.
对比：解法一参数少，计算相对简洁；解法二设点更能体现轨迹思想，但计算量稍大.
19.（17分）（2026·湖南衡阳八中·适应性练习） 设椭圆 的离心率为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为椭圆 上两个不同的动点（均不与 重合）.
（i）若直线 过点 ，求 面积的最大值；
（ii）若 是 的角平分线，试问直线 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）定点
【详解】
（1）由 ，得 .又上顶点 ，右焦点 ，.故 ，，，椭圆方程为 .
（2）（i）设直线 ，与椭圆联立，求出弦长 和 到直线的距离 ，表示出 面积.利用基本不等式求出最大值为 .
（ii）设 ，由角平分线性质得 到 距离相等.化简得 满足同一线性方程，进而得直线 恒过定点 .
【易错警示】（i）中设直线方程为点斜式时忽略斜率不存在的情况；（ii）中角平分线应用距离公式时代入坐标出错.防错方法：设直线时优先考虑横截距式 ，避免讨论斜率；距离公式写出来后再代入点坐标.
【规律总结】通法：椭圆中三角形面积最值问题，常联立方程用弦长公式和点线距公式建立目标函数；定点问题常先猜后证，通过特殊情况找定点，再一般性证明.
【一题多解】
解法一（代数法）：如上，联立方程，利用韦达定理和距离公式.
解法二（齐次化法）：对于（ii），平移坐标系，将椭圆方程齐次化，构造关于斜率的二次方程，利用角平分线的斜率关系解题.
对比：解法一通用性强，计算量适中；解法二技巧性强，能大幅简化运算，但需熟练掌握平移齐次化技巧.
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