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21.3.1 矩形（第1课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．矩形的对角线相互垂直 B．矩形的对角线相等且互相平分
C．平行四边形是轴对称图形 D．平行四边形的对角线相等
2．如图，这是一农村民居侧面截图，屋坡分别架在墙体的点B，C处，且，侧面四边形为矩形．若测得，则（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，，垂直平分于点，则的长为（　　）
A． B． C．4 D．2
4．如图，在中，，D、E分别是的中点，F是上一点，，连接，若，则的长度为（　　）
A．10 B．12 C．13 D．16
5．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接、．若，，则下列结论：①垂直平分；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
6．在矩形中，对角线交于点O，若，则的长为_______．
7．如图，在中，，点D是的中点，，，则______．
8．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为______．
9．如图，在中，D，E分别是边的中点，F是延长线上一点，且．若，则的长为__________．
10．如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为____________．
三、解答题
11．如图，在矩形中，点E，F在BC上，且，连接．求证：．
12．在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．
(1)初步感知
如图①，当点落在边上时，线段的长度为____________；
(2)迁移探究
如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接，求线段的长度．
答案与解析
21.3.1 矩形（第1课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．矩形的对角线相互垂直 B．矩形的对角线相等且互相平分
C．平行四边形是轴对称图形 D．平行四边形的对角线相等
【答案】B
【解析】根据矩形的性质和平行四边形的性质逐项分析，即可作答．
解：A、矩形的对角线不一定相互垂直，故该选项不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故该选项符合题意；
C、平行四边形不一定是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D、平行四边形的对角线不一定相等，故该选项不符合题意；
2．如图，这是一农村民居侧面截图，屋坡分别架在墙体的点B，C处，且，侧面四边形为矩形．若测得，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由矩形的性质可得，易得，利用等边对等角可得，最后根据三角形内角和定理求解即可．
解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即选项B符合题意．
3．如图，在矩形中，，垂直平分于点，则的长为（　　）
A． B． C．4 D．2
【答案】B
【解析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，先证明是等边三角形，可得，则，利用所对的直角边等于斜边的一半得的长，最后利用勾股定理即可求解．
解：∵四边形是矩形，
，，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
∴，
．
4．如图，在中，，D、E分别是的中点，F是上一点，，连接，若，则的长度为（　　）
A．10 B．12 C．13 D．16
【答案】A
【解析】根据三角形中位线，得到，结合，得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解答即可；
解：，D、E分别是的中点，
，
，
，
，
；
5．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接、．若，，则下列结论：①垂直平分；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定、勾股定理，30度角的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据条件证明是等边三角形，得到，结合即可判断①；证明 ，根据全等三角形对应边相等即可判断②；证明即可判断③；结合勾股定理以及30度角所对的直角边是斜边的一半进行列式计算得，，根据全等三角形的性质以及三角形面积公式列式计算化简，即可作答．
解：①∵在矩形中，为中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
又，
∴垂直平分，故①正确；
②为等边三角形，
，
在和中，
∴，
，
，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
即垂直平分，
∴，
∵为的斜边，
∴，
即，
若与全等，则和的对边与也应相等，与上述结论矛盾，故②错误；
③由②知，
∴，
在和中，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，故③正确；
设，
为等边三角形，垂直平分
则，，
在中，，
在中，由①得，
则，
∴，
∴，
则，
，
，
∵垂直平分
即
则，，
，
故④正确；
∴其中正确结论的个数为3个．
二、填空题
6．在矩形中，对角线交于点O，若，则的长为_______．
【答案】7
【解析】根据矩形的对角线相等且互相平分，可得，代入的长度即可求解．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴．
7．如图，在中，，点D是的中点，，，则______．
【答案】
【解析】先根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半即可得到答案．
解：∵在中，，，，
∴由勾股定理得，
∵点D是的中点，
∴．
8．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为______．
【答案】
【解析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断是等边三角形是解题的关键．根据矩形的对角线互相平分且相等，可知，然后由可得为等边三角形，然后可求得，进而即可求解．
解：四边形为矩形，
，，且，
，
又 ，
为等边三角形，
，
，
故答案为：．
9．如图，在中，D，E分别是边的中点，F是延长线上一点，且．若，则的长为__________．
【答案】4
【解析】先得到是的中位线，即可求解，再根据是斜边上的中线求解即可．
解：∵D，E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴
∵，点E是边的中点，
∴．
10．如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为____________．
【答案】或
【解析】分情况讨论：当时，当时，分别利用矩形的性质和勾股定理进行计算即可．
解：如图1，当时，
矩形中，，，
，
把沿折叠，使点落在点处，
，，，
，
，，三点共线，
，，
，
，
解得，
；
如图2，当时，
矩形中，，，
，
把沿折叠，使点落在点处，
，，，
，
四边形是正方形，
；
综上所述，当为直角三角形时，的长为或．
三、解答题
11．如图，在矩形中，点E，F在BC上，且，连接．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】本题考查了全等三角形的判定．利用证明即可．
证明：∵四边形是矩形，
∴，．
在和中，
∵，
∴．
12．在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．
(1)初步感知
如图①，当点落在边上时，线段的长度为____________；
(2)迁移探究
如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）根据旋转的性质，可得，根据矩形的性质，勾股定理，即可求出；
（2）根据旋转 ，矩形的性质，可得，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，根据等角对等边，则，再根据勾股定理，即可求解．
解：（1）∵四边形是矩形，
∴，，
由旋转可得，，
在中，，
∴，
解得：．
（2）四边形是矩形，
∴，，
由旋转可得，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，设，
∴，
∴，
解得：，
即．
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