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河南省南阳市社旗县2026年中招模拟考试（一）
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的绝对值是( )
A. B. C. D.
2.如图，一个由个相同小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
3.截至年月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
4.已知，是正整数，且满足，则与的关系正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图，直线和相交于点，，若，则的大小为( )
A. B. C. D.
6.关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况
7.如图，在平行四边形中，，对角线，交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是( )
A. B. C. D.
8.一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为( )
A. B. C. D.
10.在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是( )
A. 电池能量最多可充 B. 摩托车每行驶消耗能量
C. 一次性充满电后，摩托车最多行驶 D. 摩托车充满电后，行驶将自动报警
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作
12.不等式组的解集是 ．
13.一家鞋店在一段时间内销售了某款女鞋双，各种尺码的销售量如表所示：
尺码
销售量双
根据上述信息，在鞋的尺码组成的数据中，众数是 ．
14.如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ．
15.如图，在中，，，，点，分别在边，上，连接，把沿着折叠，点的对应点落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则 ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.计算与化简
四、解答题：本题共7小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩成绩为百分制且为整数进行整理、描述和分析成绩均不低于分，用表示，共分为四组：．，．，．，．，得分在分及以上为优秀，下面给出了部分信息：
八年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
九年级名学生竞赛成绩在组的数据是：，，，，，．
八九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级
九年级
根据以上信息，解答下列问题：
上述图表中的 ， ， ；
根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生知识竞赛的成绩较好？请说明理由写出一条理由即可；
若该校八年级有名，九年级有名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，为的中点．反比例函数的图象过点，交于点．
求反比例函数的表达式；
延长交轴于点，求的面积．
19.本小题分
如图，在中，是斜边的中点，，．
求证：四边形为菱形；
请在图中，用无刻度的直尺和圆规作射线，交于点保留作图痕迹，不写作法；
如图，若点为上一点，，且，，三点均在上，与相切于点，则的半径 直接写出答案，不说明理由
20.本小题分
随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低元，用元购买甲型健身器材的数量和用元购买乙型健身器材的数量相同．
求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．
该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
21.本小题分
如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端的高度小明先在竖起的标杆上的点处，测得点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点，，在同一直线上，并测得，已知，，，，三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端的高度．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数 与正比例函数 的图象都经过点 ，点 为二次函数图象上点 与点 之间的一点，过点 作 轴的垂线，交 于点 ，交 轴于点 ．
若点 为该二次函数的顶点，
求二次函数的表达式；
求线段 长度的最大值；
若该二次函数与 轴的一个交点为 ，且 ，求 的取值范围．
23.本小题分
九年级班学生在数学老师的指导下，以“图形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
【观察猜想】如图，是等边三角形，点在边上，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出线段与线段的数量关系： ， ；
【类比探究】
如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点点与点不重合．
如图，当点在线段上，且，时，以线段为边作等边三角形，连接，请判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，请直接写出线段的长．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.或
16.（1）
解：原式；
（2）
解：原式．
17.（1）解：八年级名学生的竞赛成绩中出现次数最多为次，
所以众数；
由题知，九年级名学生竞赛成绩在组的数据有个，
所以占，则，
根据扇形图可知，竞赛成绩在、占，共有名学生，
又名学生竞赛成绩中位数为从小到大排列第、位的平均值，
所以中位数，
故，，；
（2）
解：九年级学生的知识竞赛成绩更好，
因为均值相同，九年级的方差小于八年级的方差，方差越小成绩越稳定．
（3）
解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀人数估计有人；
九年级知识竞赛成绩达到优秀估计有人；
人．
答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有人．
18.（1）
解：四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，
，，，
点的坐标为，
为的中点，
点的坐标为，
代入，
得，
解得，
反比例函数的表达式为．
（2）
解：当时，，
点的坐标为，
令直线的表达式为，
将点，代入，
得，解得
直线的表达式为，
当时，得，
解得，
，
，，
的面积为．
19.（1）
证明：在中，，是的中点，
，
，，
，
四边形为菱形；
（2）
解：所求图形，如图所示．
（3）4/3
20.（1）
解：设甲型健身器材价格为元，则乙型健身器材的价格为 元，
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的根．
此时 ，
答：甲型健身器材价格为元，则乙型健身器材的价格为元．
（2）
解：根据题意，甲型健身器材买了 台，则购买乙型健身器材数量为 台，且 即 ，且为正整数，
根据题意，得 ，
由 ，得 随的增大而减小，
故当 时， 取得最小值，且最小值为 元，
故购买甲型健身器材台，购买乙型健身器材台时，费用最低，最低费用元．

21.解：如图所示，过点作于，设交于，则四边形，四边形都是矩形，
，
，
点和点重合，
；
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
，
答：避雷针顶端的高度为．
22.（1）解： 为二次函数的顶点，
，
解得 ，
二次函数表达式为 ；
因为正比例函数 经过点 ，
，
，
正比例函数表达式为 ，
设 ，则 ， ，
，
当 时，线段 的长度取得最大值 ；
（2）解：二次函数 经过点 ，
，即 ，
令 ，
解得 ， ，
二次函数与 轴的一个交点为 ， ，
，
，
，
，
，
，
的取值范围是 ．
23.（1）解：是等边三角形，
，，，
由旋转可得，，，
，
，
，，
；
（2）
，理由如下：
在菱形中，，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
；
如图，当在线段上，记与交于点，
四边形是菱形
，，
，
将线段绕点逆时针旋转得到，
，即，
，
，
又，
，
，
，
，
，
；
如图，当在线段上时，延长交于点
，
，
同理可得，
，
，
；

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