资源简介

/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第1-4章阶段性检测2025-2026学年北师版七年级数学下册（解析版）
全卷共三大题，25小题，考试时间：120分钟，满分为150分．
第I卷 （选择题，共40分）
一、选择题：本大题有10个小题，每小题4分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
【答案】C
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯．这个事件是随机事件．
故选：C．
“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗人李白眼里的雪花．单个雪花的质量其实很轻，
只有，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，据此解答即可．
【详解】解：，
故选：B．
3．如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质、平角的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
如图，先求出，然后根据平行线的性质可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
，
∵
∴
∵，
∴．
故选：B．
某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（ ）
A．50 B．56 C．60 D．66
【答案】A
【分析】根据三角形存在的条件，解答即可．
本题考查了三角形的三边长关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴50符合题意．
故选：A．
已知，则的值为（ ）
A．8 B．20 C．4 D．16
【答案】C
【分析】本题主要考查完全平方公式的变形运用，掌握完全平方公式是解题的关键．
根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
6．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，
绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数
C．一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，
从中任取球，取出的球是红球
D．在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯
【答案】C
【分析】本题考查了折线统计图，样本频率估计总体概率，根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：、掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，该选项不符合题意；
、掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数的概率为，该选项不符合题意；
、一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取球，取出的球是红球的概率为，该选项符合题意；
、在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯的概率为，该选项不符合题意；
故选：．
7. 如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，
则的面积为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】A
【分析】本题考查了求有关三角形中线的面积问题，由三角形的面积得，，，即可求解；掌握三角形中线将三角形面积平分是解题的关键．
【详解】解：点D、E、F分别为、、的中点，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），
此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：，系数为1；
，系数分别为1，1；
，系数分别为1，2，1；
，系数分别为1，3，3，1；…．
请依据上述规律判断：若今天是星期五，则经过天后是（ ）
A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天
【答案】D
【分析】本题主要考查整式乘法的规律探究，求得的余数．结合一个星期天，利用所给规律求得天的尾数，即可获得答案．
【详解】解：∵，
依题意，，
∵
∴的余数为2，
即的余数为2，
∴今天是星期五，则经过天后是星期天．
故选：D．
故选：C．
9.将如图，将长方形沿翻折，使点A落在点处，点B落在点处，再将得到的图形沿翻折，使点落在点处，点落在点处．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的性质，平角的定义，计算解答．
【详解】解：∵长方形沿翻折，使点A落在点处，点B落在点处，再将得到的图形沿翻折，使点落在点处，点落在点处．，
∴，，，
∵长方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
10．如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（ ）

A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】设点P、Q的运动时间为，分别表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①是对应边，②是对应边两种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵，点D为的中点，
∴，
设点P、Q的运动时间为，
∴，
∴
若与全等．则有：
①当时，，
解得：，
则，
故点Q的运动速度为：；
②当时，
∵，
∴，
∴．
故点Q的运动速度为．
所以，点的运动速度为或
故选：D．
第II卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共5个小题．每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．
11．一个不透明的盒子中装有白球和红球共个，它们除颜色不同外，其余均相同，
从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验次，
其中有次摸到红球．由此估计盒子中的红球有 个．
【答案】2
【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式，掌握相关知识是解决问题的关键．解题思路是先根据试验结果求出摸到红球的频率，再将频率近似看作概率，结合总球数求出红球个数．
【详解】解：计算摸到红球的频率：，
∵当试验次数很大时，频率可近似看作概率，
∴摸到红球的概率约为，
已知盒子中白球和红球共个，设红球有个，则
，
解得，
故答案为：．
12. 宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，
选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是___________
【答案】垂线段最短
【分析】本题考查了垂线段最短，解题的关键是正确理解点到直线的距离．根据垂线段最短即可得出答案．
【详解】解：宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短
13.已知，，则 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．对两个等式，利用完全平方公式展开再相减，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：6．
14. 把一张长方形纸片沿折叠后，D，C分别在M，N的位置上，与的交点为G，
若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握以上知识是解答本题的关键；
先根据平行线的性质得到，再由折叠的性质得到，由此利用平角的定义求出的度数即可求出的度数；
【详解】解：由题可得：，，
∴，
由折叠的性质得到，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
15. 如图，，，，
点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动，当点P运动结束时，点Q随之结束运动，当点P和点Q运动到某处时有与全等，则Q的运动速度是 ．
【答案】2或
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，运用全等三角形对应边相等列方程是解题的关键．
设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为，则，，，，根据题意分两种情况讨论：①，，②，，然后分别列出方程求解即可．
【详解】解：设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为，
则，，，，
若，
则，，
，，
解得：，；
若，
则，，
，，
解得：，；
综上，的运动速度是或，
故答案为：或．
三、解答题：本大题有10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了零指数幂，负指数幂，整式的混合运算等知识．
（1）先计算零指数幂，负指数幂，乘方运算，然后再计算乘除运算，最后再计算加减运算即可．
（2）先计算积的乘方运算，单项式乘以多项式，最后再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，涉及知识有：完全平方公式、多项式乘以多项式、多项式除以单项式，熟练掌握公式及法则是解题的关键．
将中括号中的第一项利用完全平方公式展开，第二项利用多项式乘以多项式的法则计算，去括号合并后，再利用多项式除以单项式的法则计算，得到最简结果，将x和y的值代入化简后的式子，即可得到原式的值．
【详解】解：
，
当时，原式．
18.已知：如图，点、分别在线段、上， AC∥DE， DF∥AE，
交于点，平分，求证：平分．
【分析】根据角平分线的定义可得，再由AC∥DE，可得，
从而得到，然后根据DF∥AE，可得，，
从而得到，即可求证．
【详解】证明：∵平分（已知）
∴（角平分线的定义）
∵AC∥DE（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
∵DF∥AE（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
且（两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
∴平分（角平分线的定义）
19如图，某广场是一块长为，宽为的长方形地块，广场中心有一个雕像，
现在政府对广场进行改造，计划将雕像四周（阴影部分）进行绿化，
已知雕像所占地块是一个边长为的正方形，则绿化的面积是多少平方米？
并求出当时的绿化面积．
【答案】绿化的面积是，当时的绿化面积为．
【分析】本题考查了整式的混合运算以及列代数式、求代数式的值，表示出长方形的面积，再表示出正方形的面积，两个面积相减即可得出绿化的面积，再把a，b的值代入即可得出绿化面积，熟记正方形面积和长方形面积公式是解题的关键．
【详解】解：由题意，得绿化的面积为
，
当时，
，
答：绿化的面积是，当时的绿化面积为．
20.如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，．
判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据平行线的性质得出，根据等式的性质得出，根据证明，得出，然后根据平行线的判定即可得出结论．
【详解】解：
理由：∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
21．小明和小强都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，
小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个数字，
随意转动一次转盘，若转到奇数，小明去参加活动；若转到偶数，小强去参加活动．

转盘转到奇数的概率是多少？
你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)这个游戏不公平，理由见解析
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）利用概率公式计算出小明和小强去参加活动的概率，然后比较判断即可．
【详解】（1）因为共有9种等可能的结果，其中奇数有1，3，5，7，9，共有5种等可能的结果，
所以．
（2）这个游戏不公平．
理由：因为共有9种等可能的结果，其中偶数有2，4，6，8，共有4种等可能的结果，
所以，
因为，所以这个游戏不公平．
22．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量某水潭的宽度．
问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？
组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，
比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，
确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，
从而计算水潭的宽度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：
方案 方案一 方案二
测量示意图
测量说明 如图①，测量员在地面上找一点， 在连线的中点处做好标记， 从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点与点在一条直线上，测出的长度 如图②，测量员在地面上找一点， 沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点处，使得，测出两点之间的距离
测量结果
经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，
我们学习了以下三角形全等的条件：①；②或；③，
请选择一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等的条件？
答：方案一：_______方案二：_______．
(2)请写出方案一计算水潭的宽度的过程．
【答案】(1)②，③
(2)计算过程见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质解决实际问题，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由题意，结合三角形全等的判定定理求解即可得到答案；
（2）由（1）中方案一的求解过程，得到，再由全等三角形的性质即可得到水潭的宽度．
【详解】（1）解：方案一：
为的中点，
，
，
，
在和，
；
为的中点，
，
，
，
在和，
；
综上所述，方案一：②；
在和，
；
则方案二：③；
故答案为：②，③；
（2）解：方案一：
为的中点，
，
，
，
在和，
；
．
【模型发现】
某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，
于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；
请将下面的说理过程补充完整：
说明：如图，过P作．
∵．（辅助线的作法）
∴．（ ）
∵．（已知）
∴．（ ）
∴．（ ）
∵．（角的和差定义）
∴ ．（等量代换）
【方法应用】
（2）如图2，若，，，则 ；
【变式探究】
如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？
请说明理由；
【拓展延伸】
（4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131
【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
（1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得；
（2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案；
（3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系；
（4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数．
【详解】解：（1）如图，过P作，
∵，（辅助线的作法）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（角的和差定义）
∴．（等量代换）
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；
（2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：82；
（3），，之间的数量关系是：；理由如下：
过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，，之间的数量关系是：；
（4）∵的平分线和的平分线交于点Q，
∴设，，
∴，，
∴，，
由（1）的结论得：，
，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：131．
24.【阅读理解】
在学习《整式的乘法》时，我们通过借助图形的面积来直观说明整式的乘法公式，
了解公式的几何背景，体会了“以数解形、以形助数”的思想方法．
① 观察图1，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式 ．
② 根据上面的信息回答：若，，则的值为 ．
(2)【知识延伸】
若x满足，求的值．我们可以作如下解答：
设，，则，．
所以
请根据你对上述内容的理解，解答问题：
若x满足， 求的值
(3)【拓展探索】
如图2，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是面积为32的长方形，
延长线段，分别交，于点Q、P，若四边形和四边形都是正方形，
，，求正方形的边长
【答案】(1)①；②62
(2)
(3)
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，算术平方根的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）①观察图形，根据面积的关系即可得出结论；
②根据代入计算即可；
（2）设，，由题意得，， 由代入计算即可；
（3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据代入计算即可．
【详解】（1）解： ①通过两种表达方式相等，得到等式：；
故答案为：；
②∵，，
∴
，
故答案为：62；
（2）解：设，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，
由题意知，
∴，即，
∵长方形的面积为32，
∴，
∴，
∴该正方形的边长为12．
25. 在中，，点是射线上一动点(不与点重合)，
以为一边在的右侧作，使，，连接．
如图1，当点在线段上时，与有何数量关系，请说明理由．
在（1）的条件下，当时，那么________度．
设．
① 如图2，当点在线段上，时，请探究与之间的数量关系．并证明你的结论；
② 如图3，当点在线段的延长线上，时，
请将图3补充完整并直接写出此时与之间的数量关系．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)；
(3)①，证明见解析；②图见解析，．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质
（1）由题意可得，即可证明，可得，，即可解题；
（2）由题意可得，即可证明，可得，，即可解题；
（3）①由题意可得，即可证明，可得，根据即可解题；
②由题意可得，即可证明，可得，根据，即可解题；
【详解】（1）解：，理由：
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
；
故答案为：；
（3）解：①，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
②作出图形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第1-4章阶段性检测2025-2026学年北师版七年级数学下册
全卷共三大题，25小题，考试时间：120分钟，满分为150分．
第I卷 （选择题，共40分）
一、选择题：本大题有10个小题，每小题4分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗人李白眼里的雪花．单个雪花的质量其实很轻，
只有，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（ ）
A．50 B．56 C．60 D．66
已知，则的值为（ ）
A．8 B．20 C．4 D．16
6．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，
绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数
C．一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，
从中任取球，取出的球是红球
D．在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯
7. 如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，
则的面积为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），
此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：，系数为1；
，系数分别为1，1；
，系数分别为1，2，1；
，系数分别为1，3，3，1；…．
请依据上述规律判断：若今天是星期五，则经过天后是（ ）
A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天
9. 将如图，将长方形沿翻折，使点A落在点处，点B落在点处，
再将得到的图形沿翻折，使点落在点处，点落在点处．
若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，，点为的中点，
如果点在线段上以的速度由点向点运动，
同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．
则点的运动速度为（ ）

B．
C．或 D．或
第II卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共5个小题．每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．
11．一个不透明的盒子中装有白球和红球共个，它们除颜色不同外，其余均相同，
从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验次，
其中有次摸到红球．由此估计盒子中的红球有 个．
12. 宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，
选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是___________
已知，，则 ．
14. 把一张长方形纸片沿折叠后，D，C分别在M，N的位置上，与的交点为G，
若，则 ．
15. 如图，，，，
点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动，当点P运动结束时，点Q随之结束运动，当点P和点Q运动到某处时有与全等，则Q的运动速度是 ．
三、解答题：本大题有10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.计算：
(1)；
(2)．
17．先化简，再求值：，其中．
18.已知：如图，点、分别在线段、上， AC∥DE， DF∥AE，
交于点，平分，求证：平分．
19 如图，某广场是一块长为，宽为的长方形地块，广场中心有一个雕像，
现在政府对广场进行改造，计划将雕像四周（阴影部分）进行绿化，
已知雕像所占地块是一个边长为的正方形，则绿化的面积是多少平方米？
并求出当时的绿化面积．
20.如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，．
判断与的位置关系，并说明理由．
21．小明和小强都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，
小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个数字，
随意转动一次转盘，若转到奇数，小明去参加活动；若转到偶数，小强去参加活动．

转盘转到奇数的概率是多少？
你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
22．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量某水潭的宽度．
问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？
组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，
比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，
确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，
从而计算水潭的宽度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：
方案 方案一 方案二
测量示意图
测量说明 如图①，测量员在地面上找一点， 在连线的中点处做好标记， 从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点与点在一条直线上，测出的长度 如图②，测量员在地面上找一点， 沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点处，使得，测出两点之间的距离
测量结果
经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，
我们学习了以下三角形全等的条件：①；②或；③，
请选择一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等的条件？
答：方案一：_______方案二：_______．
(2)请写出方案一计算水潭的宽度的过程．
【模型发现】
某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，
于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；
请将下面的说理过程补充完整：
说明：如图，过P作．
∵．（辅助线的作法）
∴．（ ）
∵．（已知）
∴．（ ）
∴．（ ）
∵．（角的和差定义）
∴ ．（等量代换）
【方法应用】
（2）如图2，若，，，则 ；
【变式探究】
（3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？
请说明理由；
【拓展延伸】
（4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ．
24.【阅读理解】
在学习《整式的乘法》时，我们通过借助图形的面积来直观说明整式的乘法公式，
了解公式的几何背景，体会了“以数解形、以形助数”的思想方法．
① 观察图1，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式 ．
② 根据上面的信息回答：若，，则的值为 ．
(2)【知识延伸】
若x满足，求的值．我们可以作如下解答：
设，，则，．
所以
请根据你对上述内容的理解，解答问题：
若x满足， 求的值
(3)【拓展探索】
如图2，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是面积为32的长方形，
延长线段，分别交，于点Q、P，若四边形和四边形都是正方形，
，，求正方形的边长
25. 在中，，点是射线上一动点(不与点重合)，
以为一边在的右侧作，使，，连接．
如图1，当点在线段上时，与有何数量关系，请说明理由．
在（1）的条件下，当时，那么________度．
设．
① 如图2，当点在线段上，时，请探究与之间的数量关系．并证明你的结论；
② 如图3，当点在线段的延长线上，时，
请将图3补充完整并直接写出此时与之间的数量关系．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑