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2026年江苏省无锡市宜兴市中考一模考试
数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.宜兴气象台发布的天气预报显示，明天宜兴某地下雨的可能性是，则“明天宜兴某地下雨”这一事件是( )
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是( )
A. B. C. D.
5.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 圆
6.一个正边形的每一个内角都是，则的值为( )
A. B. C. D.
7.年江苏省城市足球联赛又将拉开帷幕、足球比赛积分规则为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分．若某队进行了场比赛，其中负了场，共得分，则该队胜了几场？假设该队胜了场，根据题意可得方程为( )
A. B.
C. D.
8.四边形中，对角线相交于点，给出下列四个条件：；；；；从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、、、分别在反比例函数上，四边形是平行四边形，对角线相交于，延长交轴于点，若，的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
10.对某一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“型闭函数”，下列结论：
一次函数是“型闭函数”；
若一次函数是“型闭函数”，则；
反比例函数且是“型闭函数”，且，则；
二次函数是“型闭函数”，则的取值范围是．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.的立方根是 ．
12.年，无锡市国内生产总值超过亿元，其中数据用科学记数法表示为： ．
13.命题“如果，那么”是 命题．填“真”或“假”
14.写一个函数表达式，使其图像经过点，且函数值随自变量增大而增大： ．
15.长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为 ．
16.如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升、假设绳索与滑轮之间没有相对滑动，若滑轮上某一点旋转了，则重物上升的高度为 ．
17.如图，在等腰中，，，，过点作的平行线与的延长线交于点，则长为 ．
18.如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，为轴正半轴上一点，以为一边在第一象限内作等边使得点恰好落在线段上，点坐标为 ，将沿轴的正半轴向右平移得到，当将的面积分为两部分时，的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.计算和解不等式组：
；
．
四、解答题：本题共9小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
先化简：，再从、、中选一个合适的的值代入求值．
21.本小题分
如图，在中，对角线相交于点，于点，于点，且．
求证：；
求证：四边形是矩形．
22.本小题分
春四月，学校组织学生开展社会实践活动．九年级共安排了三辆大巴车、分别为号车、号车、号车，小明与小红可从中任选一辆搭乘．
在三辆大巴车中，小明选中号车的概率是 ；
求小明与小红搭乘同一辆车的概率．请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程
23.本小题分
年中央电视台春节联欢晚会首次启用了虚拟主持人和全息投影技术，大大增强了节目的互动性．为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的单选：歌舞类，语言类小品、相声，魔术杂技类，．互动类．调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图部分信息未给出：
请你根据以上信息解决下列问题：
本次调查的样本容量为 ，类所对应的扇形圆心角的度数是 ；
将条形统计图补充完整画图后请标注相应的数据；
若该校七年级共有名学生，请估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数．
24.本小题分
如图，已知中，，．
尺规作图：在和边上分别确定点、，使得，；不写作法，保留痕迹
在的条件下，若的周长为，求的长．
25.本小题分
如图，锐角为的内接三角形，为的高，垂足为，点为的中点．
求证：；
若，，求的半径．
26.本小题分
某校数学研究性学习小组以“利用斜坡观测实物高度”为主题分组开展综合与实践活动．
【活动准备】查找资料，准备好卷尺、标杆等测量工具
【活动地点】图是该校附近斜坡的横断面示意图．测得该斜坡坡度，段为水平路面，点位置设有指示牌，它与地面垂直．
【活动过程】
活动：如图所示，学习小组测得斜坡长为米．
求斜坡的高度；
活动：如图所示，当学习小组的指导老师李老师驾驶一辆小轿车在斜坡上点处，他的眼睛到斜坡的距离为米．李老师平视前方视线与斜坡平行，他刚巧能观测到指示路牌的牌杆顶端点．
求指示牌牌杆的高度；活动：如图，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为米，长为米．李老师利用大巴车停在该斜坡上的机会再次进行观测，此时大巴车的前下端点与点重合．李老师发现当他位于点与大巴车车尾点相距米时，他透过点刚巧能看到指示路牌的顶端点．
求指示牌的高度．
27.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称．
则抛物线解析式中 ， ；
当时，的取值范围是，求的值；
点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
28.本小题分
数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动．
【动手操作】
步骤如下：
第一步：如图，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点．
第二步：如图，在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠．使点的对应点落在所在直线上，折痕与交于点．
求证：．
【初步感知】
小组的同学们选用了如图所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点与点重合时，此时点、、三点在一条直线上．
求的长．
【应用创新】如图，小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠选取不同位置的点，且第二步折叠中，过点的折痕与交于点，把纸片展开后，连接当为直角三角形时，则的长为 ．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.假
14.答案不唯一
15.
16.
17.
18.
或
19.（1）解：原式
；
（2）解：
解不等式得，
解不等式得，
则不等式组的解集为．
20.解：
，
且，
且，
，
则原式．
21.（1）证明：，，
，
，，
，
；
（2）证明：由知，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形．
22.（1）解：有号车、号车、号车，共三辆大巴车，
小明选中号车的概率为；
（2）解：将号车、号车、号车分别用表示，
画树状图如下：
则共有种等可能的结果，其中小明与小红搭乘同一辆车的结果有种，
小明与小红搭乘同一辆车的概率为．
23.（1）解：本次调查的样本容量为，
类所对应的扇形圆心角的度数是．
（2）解：类的人数为，
补全条形图为：
（3）解：人
估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数为人．
24.（1）解：如图所示为所求：
（2）解：由作图知，
的周长为，
，
，
．
25.（1）证明：点为的中点，
，
，即．
，
，即，
，
．
（2）解：如图，连接，过点作，垂足为．
在中，，，
，，
，
在中，，
，，
，．
点为的中点．，
，
，
，
，，
，
由得，
，
，
，即，解得．
的半径为．

26.（1）解：如图，延长交斜坡底面水平线于点，
由题意得，
该斜坡坡度，
，
设米，则米，
在中，米，
，即，
解得负值舍去，
即米，
答：斜坡的高度为米；
（2）解：过点作于点，延长交斜坡底面水平线于点，
则，
由题意得，
，
，
四边形是矩形，
米，
，
，
由知米，则米，
，
米，
答：指示牌牌杆的高度为米；
（3）解：作交延长线于点，作于点，交于点，延长交斜坡底面水平线于点，
则四边形为矩形，四边形为矩形，
米，米，
米，
同理得米，则米，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
米，
，
，
，
米，
答：指示牌的高度为米．

27.（1）解：抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称，
解得；
（2）解：由知该抛物线的解析式为，
，
该抛物线的顶点坐标为，
令，
解得或，
抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为，
当时，即，此时，随的增大先增大到最大值再减小，
此时，，解得舍去；
当时，即，此时，随的增大而减小，
此时，，即，
解得或舍去；
综上，当时，的取值范围是，的值为；
（3）解：存在；
将代入，则，
，
设直线的解析式为，把代入，得，
解得
，
设，则，
，，，
当，，，为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
当为边时，则，即，
解得舍去或，
此时菱形的边长为；
当为对角线时，则，即，
解得或舍去，
此时菱形的边长为；
综上：存在以，，，为顶点的四边形是菱形，边长为或．
28.（1）证明：连接，如图：
由第一次折叠可得，，
四边形是矩形，
由第二次折叠可得，
，
，
，
；
（2）解：连接，如图：
由得，，
矩形，
，，
由折叠可得，
，
由得，
，
由折叠可得，
，
，
；
（3）解：当时，
矩形，
四边形是矩形，
，
，
由折叠可得，平分
，
为等腰直角三角形，
；
当时，连接，过点作于点，
则，
折叠，
，
，
三点共线，
，
，
，
同上可证明四边形为矩形，
，
，
由折叠可得，，
由得，
，
，
，
，
又
，
，
设，则
，
解得
，
综上：当为直角三角形时，则的长为或．
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