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2026学年八年级数学下册期中检测卷（1-3章）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法正确的是（　　）．
A．等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线
B．在同一平面内，两条不平行的线段必相交
C．三角形的三条高线交于一点
D．有一个内角为的等腰三角形是等边三角形
4．实数，在数轴上的位置如图所示，则下列不等式变形中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．用反证法证明“在中，，，中不可能有两个角是钝角”时，假设，，中有两个角是钝角，不妨令，，则所得结论与下列四个选项相矛盾的是（ ）．
A．已知 B．三角形内角和等于
C．钝角三角形的定义 D．以上结论都不对
6．如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　）
A． B． C． D．
7．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在等腰三角形中，，于点D，于点E．若，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动．各组展示作图痕迹如下，其中是角平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为是等边三角形，一动点从点开始，以每秒1个单位长度的速度，沿……规则作循环运动，那么第2021秒结束后，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．一个等边三角形的边长是4，面积是____．
12．命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是________．
13．若不等式组无解，则的取值范围是______．
14．如图，已知，，的角平分线与的外角角平分线交于点D，则______度．
15．如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____；
16．高速公路某收费站出城方向有编号分别为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口20分钟通过小客车的数量都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量如下表所示：
收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A
通过小客车数/辆 125 150 140 170 115
在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口编号是________．
三、解答题（本题共8小题，共72分。）
17．（8分）解不等式（组）
(1)（将该不等式的解集表示在数轴上）；
.
18．（8分）如图，在中，
(1)在线段上找一点，使它到、两点的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，，求线段的长．
19．（8分）如图，要使四边形木架（由四根木条钉成）不变形，可以再钉上几根木条．
(1)请在图①中画出你想到的方法（至少画两种），至少要钉几根木条？
(2)五边形呢？请在图②中画出你想到的方法（至少画两种），至少要钉几根木条？
(3)由以上探究猜想，要使n边形的木架不变形，至少要钉上几根木条？
20．（8分）如图，四边形是汉丰湖某处的休闲步道．经测量，点B在A的正南方向，点D在A的西南方向，点C在B的正西方向，米，米，点D在点C的北偏西方向上．
(1)求步道的长度（结果保留根号）；
(2)周末，小明和父亲在C处晨练，晨练结束后两人同时步行到A处，已知：小明速度为70米/分，沿的方向行走，小明父亲速度为100米/分，沿的方向行走，他们谁先到家？请说明理由．（结果精确到0.1，参考数据：，）
21．（8分）把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形．
(1)在图中画出三角形；
(2)写出、、的坐标；
(3)求在平移过程中扫过的面积．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过，两点，与一次函数交于点，一次函数与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
23．（10分）某数码配件店计划购进A、B两款手机壳，已知购进3个A种手机壳和2个B种手机壳共需190元，购进4个A种手机壳和3个B种手机壳共需270元．
(1)每个A种手机壳和每个B种手机壳的进价分别是多少元？
(2)A种手机壳每个售价45元，B种手机壳每个售价75元．若该配件店计划购进A、B两种手机壳共100个，其中A种手机壳不少于40个，两种手机壳全部售出后获得的利润不低于2080元，问有哪几种进货方案？
(3)厂家为拓宽市场，下调了两种手机壳的进价：每个A种手机壳降价5元，每个B种手机壳降价10元，该配件店若用（2）中获利最大的方案进货，节省下来资金全部用于再次同时购进A、B两种手机壳，请直接写出再次购进时，两种手机壳数量之和最大的购进方案．
24．（12分）已知，如图，是的外角平分线，平分，且、交于点．
(1)求证：．
(2)请探究，在中，、内角平分线形成的与的关系？、外角平分线形成的与的关系？（直接写出结果）
参考答案
一、选择题
1．C
解：A、选项图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、选项图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
C、选项图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
2．D
解：在中，．
A、∵，∴，代入内角和得，即，是直角三角形，本选项不符合题意．
B、∵，∴，是直角三角形，本选项不符合题意．
C、∵，设，，，则，解得，，是直角三角形，本选项不符合题意．
D、∵，设，则，∴，解得，最大角，不存在90°角，不是直角三角形，本选项符合题意．
3．D
解：选项：等腰三角形的对称轴是直线，而底边上的中线是线段，对称轴应为底边上的中线所在的直线，选项不符合题意；
选项：同一平面内，只有不平行的直线才必相交，线段不延长时，不平行也可以不相交，选项不符合题意；
选项：三角形的高线是线段，只有三条高线所在的直线交于一点，钝角三角形的三条高线是线段不相交，选项不符合题意；
选项：若为等腰三角形的顶角，则两个底角和为，等腰三角形两底角相等，因此每个底角为，三个内角均为，
若为等腰三角形的底角，则另一个底角也为，顶角为，三个内角也均为，所以有一个内角为的等腰三角形是等边三角形，选项符合题意．
4．B
解：、由题意可知，则，该选项变形错误，不符合题意；
、由题意可知，则，该选项变形正确，符合题意；
、由题意可知，则，该选项变形错误，不符合题意；
、由题意可知，则，该选项变形错误，不符合题意．
5．B
解：假设、、中有两个角是钝角，
令，，
则，
这与三角形内角和等于相矛盾，
故选：B．
6．A
解：如图，四边形的四个顶点都在格点上，取格点E，连接，，，
由格点三角形得，
，
，
，
，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
.
7.C
解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：；
所以，不等式组的解集为：，
把不等式组的解集在数轴上表示为：．
8．B
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵于点E，
∴在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
9．C
解：第一个图，由作图得，是的平分线，符合题意；
第二个图，由作图得，是的垂直平分线，不符合题意；
第三个图，由作图得，
∴
∴
由作图得，
∴
∴
∴是的平分线，符合题意；
第四个图，由作图得，，垂直平分
∴是的平分线，符合题意．
综上所述，其中是角平分线的有3个．
10.C
【详解】解：∵，且是等边三角形，
∴，
由题意得，点P的运动路径为，
∴一个循环的总路程为，速度为每秒1个单位，
∴循环周期为6秒，
过点B作于点C，如图，
∵是等边三角形，且，
∴，，
∴，
∵，
∴第2021秒结束后，点P的位置与第5秒结束后的位置完全相同，
由题意得，秒时，从到，第2秒结束到达A点；
秒时，从到，第4秒结束到达B点；
秒时，从返回，第5秒时，从B出发走了1个单位，恰好是段的中点，
∵、，
∴，即此时点的坐标为．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．
解：设边长为4的等边三角形为，过点作，垂足为，
是等边三角形，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
的面积．
12．有两个角相等的三角形是等腰三角形
解：原命题“等腰三角形的两底角相等”中，
题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“它有两个角相等”，
交换题设和结论，得到逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
13．
解：∵不等式组无解，
∴，
移项得，
合并同类项得，
解得．
14．30
解：如图，
是的平分线，
，
是的平分线，
，
∵∠ACE是的外角，
，
是的外角，
．
15.12
解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且，
∴，
∴，
∴．
16．B
【详解】解：设编号为，，，，的五个收费出口每20分钟通过小客车的数量分别为，，，，．
根据题意得，
由，得，则．
由，得，则．
由，得，则．
由，得，则．
由，得，则．
综上可得，
因此每20分钟通过小客车数量最多的收费出口编号是．
三、解答题
17．（1）解：，
，
，
．
（2）解：，
解不等式：，得，
，
，
．
解不等式：，得，
，
，
，
．
．
18．（1）解：如图所示，点即为所求：
（2）解：连接，
依题得，
中，，，，
，
设，则，
中，，
，
解得，
即．
19．（1）解：如图①根据三角形具有稳定性可知：要使木架不变形，则需要将四边形木架钉木条转化为三角形，至少需再钉（根）木条；
（2）解：如图②五边形木架钉木条转化为三角形，至少需再钉（根）木条；
（3）解：四边形木架至少需再钉1根木条，五边形木架至少需再钉2根木条，综上可得要使n边形木架不变形，至少需要再钉根木条．
20．（1）解：过作于，过作于，
则，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：小明爸爸先到家；理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴小明所用的时间为（分），
∵，
∴小明爸爸所用的时间为（分），
∵，
∴小明爸爸先到家．
21．（1）解：如图所示：
（2）解：由图可得：；
（3）解：，
，
在平移过程中扫过的面积为．
22．（1）解：∵一次函数经过，两点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴，
令，可得，
∴C点横坐标为2，
由图象可知：当时，．
23．（1）解：设每个A种手机壳进价元，每个B种手机壳进价元，
根据题意得，
解得，
答：每个A种手机壳进价30元，每个B种手机壳进价50元；
（2）解：设购进A种手机壳个，则购进B种手机壳个，
由题意得，
解得，
∵，且为整数，
∴或41或42，
∴共3种进货方案．
①A种手机壳40个，B种手机壳60个；
②A种手机壳41个，B种手机壳59个；
③A种手机壳42个，B种手机壳58个；
（3）解：计算（2）中获利最大的方案：
方案1：元；
方案2：元；
方案3：元；
获得最大的方案是方案1，
节省的资金：元，
设再次购进A种手机壳个，购进B种手机壳个，
根据题意得，化简得，
需要是5的倍数，且，，且都是整数，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
综上，购进A种手机壳24个，B种手机壳5个，两种手机壳数量之和最大．
24．（1）证明：∵是的外角平分线，平分，且、交于点．
∴，
又∵是的外角，
∴，
∴
（2）解：图2结论：；图3结论：
在图2中，、的角平分线交于点，
∴，
在中，
∴
在中，
∴
∴
在图3中，、的外角平分线交于点，
，
∴，
在中，
在中，
．

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