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第4章《因式分解》--因式分解及提公因式法
一、单选题
1．多项式中，各项的公因式是（ ）．
A． B． C． D．
2．把多项式因式分解，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若多项式可分解为，则的值为（ ）
A．3 B． C．11 D．
4．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
二、填空题
6．因式分解：________．
7.已知，则________．
8．若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____．
9．因式分解：
（1）______；
（2）______．
10．在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是_____________，属于整式乘法的是____．（填序号）
三、解答题
11．已知 ，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
12．在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值．
13．因式分解：
(1)；
(2)．
14．仔细阅读下面例题，回答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，则，
∴解得．
∴另一个因式为，m的值为．
仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
(2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值．
15．阅读材料，探究问题．
我们可通过运算得到和．
【探索归纳】
如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为．
（1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________．
【尝试运用】
利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解．
（2）若，则________．
【拓展延伸】
（3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值．
（4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值．
参考答案
一、单选题
1．B
解：∵ 各项系数的最大公约数是，
∵ 多项式各项都含有的相同字母为，
∵ 的最低次幂是，的最低次幂是，
∴ 各项的公因式是．
故答案为：．
2．B
解：∵
，
∴ 结果为 ，
故选：B．
3．B
解：∵，
∴，，
解得，
∴．
故选：B．
4．C
解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解；
B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解；
C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解；
D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解．
5．B
解：∵，
∴
．
二、填空题
6．
解：
．
7．4
解：对提取公因式，得．
将，代入上式，得．
8．
解：根据多项式乘多项式法则，将展开：，
∵，
根据多项式相等则对应项系数相等，可得，
故答案为：．
9．
解：(1)
；
(2)
10． ①③ ②
解：①是因式分解；
②这是整式乘法，不是因式分解；
③是因式分解；
故答案为：①③；②．
三、解答题
11．（1）解：，
，，
；
（2）解：由（1）知 ，
∵，
．
12．解：，
，
，
，
．
13．（1）解：
．
（2）解：
．
14．（1）解：设另一个因式为，得，则，
∴
解得
∴另一个因式为，的值为．
故答案为：另一个因式为，的值为．
（2）解：设另一个因式为，得
∴，
∴，，，
∴，，．
故答案为：，．
15．（1）由图甲可得，长方形的面积为，
由图乙可得，长方形的面积为，
故得到的等式是；
（2）
，
∵，
∴；
（3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是，
∴设另一个因式为，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴另一个因式为，的值为；
（4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，
∴设这两个一次式为和，
∴，
∴，，，
∵、、、均为整数，
∴当，，，时，此时，不符合题意；
当，，，时，此时，符合题意；
当，，，时，此时，符合题意；
当，，，时，此时，不符合题意；
当，，，时，此时，符合题意；
当，，，时，此时，不符合题意；
当，，，时，此时，不符合题意；
当，，，时，此时，符合题意；
当，，，时，此时，不符合题意；
当，，，时，此时，符合题意；
当，，，时，此时，符合题意；
当，，，时，此时，不符合题意；
综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29．

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