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第三章《图形的平移和旋转》章节复习
一、单选题
1．将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．剪纸是民间传统艺术，一把剪刀、一张红纸，便能剪出花鸟、福字与窗花．纹样或对称灵动，或随意别致，承载着美好祝愿，尽显指尖匠心与民俗韵味．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将 ABC绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿方向平移得到，，，下列结论：①；②；③；④阴影部分的面积为．其中正确的是（　　）
A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①②④
二、填空题
6．点关于坐标原点对称点坐标为___________．
7．在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）．
8．如图，在一块长、宽的长方形场地上，中间的阴影部分是一条宽度处处相等的小路，空白部分为劳动实践基地．如果劳动实践基地的面积为，那么小路的宽度为______．
9．如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____；
10．如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______．
三、解答题
11．如图，在四边形中，，与互余，将分别平移到和的位置，．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
12．如图，将 ABC绕点逆时针旋转得到 ADE，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上．
(1)求证：；
(2)若，求的大小．
13．如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标分别为，，．
(1)若 ABC经过平移后得到，已知．
①作出平移后的；
②平移的距离为______个单位长度；
(2)将 ABC绕点B逆时针旋转，得到，请作出旋转后的；
14．如图1，图2和图3，在中，，，，直角边在射线上，直角顶点B与射线端点O重合．
(1)_______；
(2)如图2和图3，将沿射线向右以每秒1个单位长度的速度进行平移，平移后得到，设 ABC平移的时间为秒．
①当时，如图2，连接，求的长和点到的距离；
②当时，如图3，与边交于点D，图中阴影部分的面积和为36，求的长；
③在平移的过程中，当 OA/C/为等腰三角形时，请直接写出t的值．
15．如图1，在等边三角形内有一点P，且，，，将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图2），连接，可得是等边三角形，而又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），
(1)则 ；
(2)求出等边的边长；
(3)通过类比探究，参考小明同学的思路，解决问题：如图3，在正方形外有一点P，且， ， ，求的度数和正方形的周长．
16.在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边 ABC内部，且，，，求的长．
(1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程；
(2)【理解应用】如图②，在等腰直角 ABC中，，为 ABC内一点，，可判断出，请说明理由：
(3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值．
参考答案
一、单选题
1．A
解：将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是，即．
2．B
解：选项A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
选项B、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
选项C、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
选项D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形．
3．A
解：由旋转知，，，，
，
，
．
4．A
解：∵ ABC为等边三角形，为的中点，
∴是边上的高，，，，
∴，，
∴在中，，
∵与关于点中心对称，
∴，，，
∴，
∴在中，．
5．C
解：∵将 ABC沿方向平移得到，，
∴，，，，①②正确；
∵，
∴，
由平移性质可得：，
∴，③正确；
∵，，
∴，
∵阴影部分的面积的面积的面积
的面积的面积
四边形的面积
，故④正确．
二、填空题
6．
点关于坐标原点对称，其横坐标取相反数为，纵坐标取相反数为，
因此对称点的坐标为．
故答案为：．
7．正确
解：如图，任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，．
，，
可看作由平移所得，
，
．
同理，，
．
中，，
，
，
原示意图是正确的．
故答案为：正确．
8．
解：设小路的宽度为，利用平移的性质，将阴影部分向左平移拼成了一个新的长方形，长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
∴小路的宽度为．
9．12
解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且，
∴，
∴，
∴．
10．
解：，，是等腰直角三角形，且，
．
与关于点成中心对称，
．
同理可得，，，…．
设为自然数．当为奇数时，；当为偶数时．
故点的坐标为．
故答案为：．
三、解答题
11．（1）解：（1）∵平移到的位置，
∴，
∴，
∵与互余，
∴．
（2）解：∵分别平移到和的位置，
∴，
∴，
∵，
∴，即，解得：．
12．（1）解：证明：∵ ABC绕点逆时针旋转得到 ADE，
∴，
∵点，，在同一直线上，
∴，
∴．
（2）∵ ABC绕点逆时针旋转得到 ADE，
∴，
∵的内角和为，，
∴，
∴．
13．（1）①解：如图1，为所作；
②平移的距离，
故答案为：；
（2）解：如图2，为所作；
14．（1）解：10．
根据勾股定理，得；
（2）解：①，
．
在中，根据勾股定理可得．
过点作于点E．．
在中，，
即，
解得；
②利用平移的性质，可得．
当时，，
．
，
，
，
∴在中，根据勾股定理可得；
③t的值为4，6或．
当时，，
；
当时，
在中，根据勾股定理可得，
；
当，时，
，
，
即，
解得．
15．（1）解：是等边三角形，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
；
（2）解：如图，过点作，交的延长线于，
，
，
，
，
；
（3）解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接，过点A作，交的延长线于H，
∴，
∴，，，
在中，，
∴，根据勾股定理得，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴正方形的周长为．
16.（1）解：，证明如下：
根据旋转的性质得，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵ ABC为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴由勾股定理得，；
（2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴；
（3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，
同（1）可得为等边三角形，
∴，
同（1）可得，
∴，，
∴，
∴点在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
即．

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