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第3章《图形的平移与旋转》单元自测卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知点与点是关于原点O的对称点，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，，，将绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．若点，向右平移3个单位长度后得到点，则a，b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，．将沿方向平移至，使经过的中点，则梯形的面积为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
6．如图，的边在x轴的正半轴上，点B的坐标为，把沿x轴向右平移2个单位长度，得到，连接，，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．
7．在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移后，其中一个点的坐标变为，则另一个的坐标变为（ ）
A． B．或 C．或 D．
8．如图，在中，，，将绕点B按顺时针方向旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，已知点，将长方形沿x轴正方向连续翻转2022次，点A依次落在点，，，…，的位置，则的坐标是（ ）

A． B． C． D．
10．如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上，点B在第二象限，将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（ ）
A．点A的坐标为 B．的面积为8
C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
11．如图，将一个周长为的沿射线方向平移到的位置，（点A、B、C分别与点D、E、F对应），若四边形周长为，则平移距离为_____．
12．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______．
13．如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____．
14．如图，在中，点在上，连接，，点在上，连接，，若，的面积为，则的长为____．

三、解答题（本题共7小题，共58分．）
15．（8分）如图所示的直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，．
(1)在图中画出向左平移3个单位后的；
(2)在图中画出绕原点O逆时针旋转后的；
(3)写出、的坐标．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移至，使点A与点B重合，点D在x轴正半轴上（不与点A重合），连接．
(1)求点C的坐标；
(2)当三角形面积是三角形的面积的3倍时，求点D的坐标．
17．（8分）将三角形沿边向右平移得到三角形，如图．
(1)若，则______度；
(2)若三角形的周长为10，，求四边形的周长．
18．（8分）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
19．（8分）如图，在中，，，点在上，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接，．
(1)求证：；
(2)求线段的长度．
20．（8分）已知是等腰三角形，．阅读下列过程，回答第2、3两问．
(1)特殊情形：如图1，E是上一点，当时，有
(2)发现探究：如图2，E是三角形内一点，当，且时，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展运用：如图3，E是三角形内一点，，且，，，则______度．
21．（10分）【探究发现】
（1）如图1，在中，．，垂足为，点在上，连接，．则有下列命题：①；②，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程．
【类比迁移】
（2）如图2，在中，，，点在三角形的内部，过点作，且，连接．求证：．
【拓展提升】
（3）如图3．在中，，，把线段绕点顺时针方向旋转到，把线段绕点逆时针旋转到，分别连接，，，请直接写出面积的最大值．

参考答案
一、单项选择题
1．A
解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
2.A
解：∵点与点关于原点O对称，
∴，，
故选：A．
3．D
解：如图所示：绕点顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∴，
故选：D．
4．B
解：∵ 点向右平移3个单位长度后，新点坐标为，即，
又∵ 平移后得到点，
∴ ，且，
解得 ，
故选：B．
5．B
解：由平移的性质可知，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，过点C作于，
在中，，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∴．
6．A
解：设，
∵，
∴，
由平移的性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7．B
解：分以下两种情况：
①若平移后坐标变为，
可知点向左平移个单位，向下平移个单位，
点坐标平移后变为；
②若平移后坐标变为，
可知点向左平移个单位，向上平移个单位，
点坐标平移后变为．
综上所述：另一个点的坐标为或．
故选：B．
8．C
解：由旋转的性质可得：
，，，，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故选：．
9．B
解：由题意得：从A开始翻转，当旋转到，时，A回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故坐标变换规律为次一循环．
，，，，
，，，，
，，，，
，
，，，，
当时，即，解得，
横坐标为，纵坐标为，
则的坐标．
10．D
解：A、令直线，解得：，
∴点M的坐标为，
∴，
由函数图像可知：当时，直线l经过点A，
∴，
∴
∴点A的坐标为，故选项A正确；
B、由函数图像可知：当时，直线l经过点C，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∴，
∴的面积：，即选项B正确；
C、∵，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴，即选项C正确；
D、∵，，
∴，直线l和x轴正方向的夹角为，
∴，
∵，
∴当l经过点C时， ，
∴，
∴选项D错误，符合题意．
故选：D．
二、填空题
11．2
解：∵将一个周长为的沿射线方向平移到的位置，
∴，，
∵的周长为10厘米，
∴，
∵四边形的周长为14厘米，
∴，即，
∴
即平移的距离是．
12．
解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，
，，．
如图，过点作于点，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
．
，，
．
13．或
解：①当点A的对应点为点C时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点E，如图1所示，
点的坐标为，B点的坐标为，
E点的坐标为；
②当点A的对应点为点D时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点M，如图2所示，
点的坐标为，B点的坐标为，
M点的坐标为．
综上所述：这个旋转中心的坐标为或．
14．
如图，绕点逆时针旋转，点与对应，点与对应，绕点逆时针旋转，点与对应，点与对应

∵，，，
∴旋转后与重合，与重合，
∴，，
∵，，
∴，
∴点，，三点共线，，
∴，
∴，，，
∴
∴，，
在，由勾股定理得：，
∴，
，
∴，
故答案为：．
三、解答题
15．（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求，
（3）解：由作图可得，、的坐标分别为、．
16．（1）解：∵平移，点的对应点为点，
∴点A向右平移2个单位长度，向上平移5个单位长度得到点B，
∴点向右平移2个单位长度，向上平移5个单位长度得到点C，
；
（2）解：分两种情况：
①当点D在线段上时，
∵三角形的面积是三角形的面积的3倍，
，
；
②当点D在线段延长线上时，
∵三角形的面积是三角形的面积的3倍，
，
，
．
综上所述，点D的坐标为或．
17．（1）解：三角形沿方向平移得到三角形，，
∴；
（2）解：三角形沿方向平移得到三角形，，
，，
三角形的周长为10，
，即，
四边形的周长
．
18．（1）证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，
∴，，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴的度数为．
19．（1）证明：将线段绕点顺时针方向旋转至，
，，
，
，
即．
在与中，
，
；
（2）解：在中，，，
．
，
由（1）可知，
，，
．
在中，，
，
．
20．（1）解：是等腰三角形，，
，
，
即；
（2）解：，理由如下：
，
，
即，
在与中，
，
，
；
（3）解：将绕点旋转得，连接，
，
，，，
是等边三角形，
，
在中，，，，
，
是直角三角形，
，
，
又，
；
故答案为：．
21．（1）选择①
证明：，，
，
又，
选择②
证明：，，
，
又，
．

（2）过点作于，

，，
，，三点共线，都在的垂直平分线上，，
，
，
，
，即，
，
，
，
．
（3）延长交于E，如图，

由旋转得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
由勾股定理，得，
∴，
∵在中，，，
∴当时，此时，
过点A作于D，
∴，，
作线段，交于O，使，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
由勾股定理，得，
∴．

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