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第10章《分式》单元测试卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.）
1．化简 的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（ ）
A． B． C． D．
3．若为负整数，且，则的值所对应的点落在图中数轴上的部分为（ ）
A． B． C．或 D．或
4.某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，______，求提速前列车的平均速度．设列车提速前的平均速度是，则可得方程为，根据此情境，题中“____”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ）
A．提速后比提速前多行驶 B．提速后比提速前少行驶
C．提速后比提速前多行驶 D．提速后比提速前少行驶
5．方程有解，则m应满足（ ）
A． B． C．或 D．且
6．在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展．经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少元．当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
9．关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．0
10．关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．4 B．8 C．11 D．15
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．当时，式子的值是___．
12．为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的．小王乘公交车上班平均每小时行驶____．
13．以下结论：①若，，则的值为；②若是一个完全平方式，则k的值为9；③若，则；④若关于x的方程无解，则m的值为4或0．其中正确的结论是_____（填写序号）．
14．王老师从家里出发，驾车到离家的风景区度假．已知王老师在出发内按计划的速度匀速行驶，后以原计划速度的倍匀速行驶，并提前到达风景区．第二天以原计划速度的倍返回家中，那么来回行驶的时间相差______________．
15．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________．
16．若，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为___________．
17．某中学计划对甲、乙、丙三个校区进行绿化改造，校区内种植银杏和紫叶李．初步预算，这三个校区各需两种树木数量和之比为，需银杏数量之比为，并且甲、乙两校区需紫叶李数量之比为．在实际购买时，银杏的价格比预算高，紫叶李购买数量增加了，紫叶李的价格比预算低，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买银杏的总费用与实际购买紫叶李的总费用之比为_____．
18．若关于x的分式方程的解为非负数，且关于y的一元一次不等式组有解且最多有5个整数解，则实数k的取值范围为______．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.）
19．（本题6分）解分式方程：
(1)； (2)．
20．（本题6分）先化简，再求值：，其中．
21．（本题8分）某工程队承担了850米长的道路改造任务，工程队施工完200米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了，结果共用14天完成了任务．求引进新设备前后工程队每天改造道路各多少米？
22．（本题8分）为了满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如下表：若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价．
单枪充电桩 双枪充电桩
花费：40000元 花费：30000元
单价：x元/个 单价：1.5x元/个
23．（本题8分）列方程或不等式解决实际问题：
2026年农历马年春节期间，重庆文旅市场全线升温，热度拉满，共接待游客1260万人次.春节某天，甲、乙分别在洪崖洞和磁器口销售一批小马灯笼．已知乙每小时售出的数量是甲每小时售出数量的1.5倍：若两人都卖出360个灯笼，乙比甲少用4个小时．
(1)求甲、乙两人每小时分别售出多少个灯笼？
(2)若甲售出一个灯笼可获得利润10元，乙售出一个灯笼可获得利润8元，甲、乙一共售出450个灯笼，要使甲、乙的总利润不低于4020元，那么甲至少要销售多少个小时．
24．（本题8分）某市民计划从某商场购买“马年拍马屁”钥匙挂件和伴手礼套装送给家人作为新春礼物．已知一套伴手礼的售价比一个钥匙挂件的售价贵28元，且用500元购买钥匙挂件的数量正好是用600元购进伴手礼套装数量的2倍．
(1)求一个钥匙挂件和一套伴手礼的售价分别为多少元？
(2)该市民要购买两种礼物共20件，且购买钥匙挂件和伴手礼套装的总费用不超过540元，如果该钥匙挂件的进价为每个15元，伴手礼套装的进价为每套35元，在满足该市民购买要求的情况下，哪种购买方案能使商场获得最大利润？
25．（本题10分）综合与实践
定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”．
(1)已知分式，，判断与是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”．
(2)已知分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”．
①求代数式（用含的式子表示）．
②若分式的值为正整数，求的值．
(3)已知分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”．
26．（本题10分）某汽车销售公司经销某品牌款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年月份款汽车的售价比去年同期每辆降价万元，如果卖出相同数量的款汽车，去年销售额为万元，今年销售额只有万元．
(1)今年月份款汽车每辆售价多少万元？
(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知款汽车每辆进价为万元，款汽车每辆进价为万元，公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两款汽车共辆，有几种进货方案？
(3)如果款汽车每辆售价为万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是多少？
参考答案
一．选择题
1．A
解：原式
．
2．B
解：∵，
∴括号中应填．
3.B
解：,
是负整数，且，
则，
，
则，
，
则在第③段．
4．A
解：设提速前平均速度为，则提速后速度为，
方程左边表示提速前行驶所用的时间，方程右边表示提速后行驶所用的时间，
∵方程表示两者时间相同
∴说明相同时间内，提速后比提速前多行驶
∴补充条件为选项A，
故选：A．
5．D
解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，
∵原方程有解，
∴原方程不能有增根，
∴且，
∴且，
∴且，
故选：D．
6．D
解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为元，
∴燃油车平均每公里的加油费为元，
∵100元充电费对应的电动汽车行驶路程为公里，100元加油费对应的燃油车行驶路程为公里，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，
∴可列方程．
故选：D．
7．C
解：撕坏的一角中“”为．
．
故选：C．
8．C
解：由，
对等式两边平方，得，即，
，
由题意得，
将两边同时除以，得到，即，
，
解得，
故选：C．
9．B
解：增根是使分母为0的根，即．
去分母，得，
代入，得．
故选：B．
10．A
解：∵解不等式组，
得，，
∴不等式组解集为，
∵不等式组有解且至多4个整数解，
∴整数解为（至多4个），
∴
两边乘2得，
∴
解分式方程，
解得，
∵分式方程的解为整数且
∴是9的约数，且，又∵a为整数且，
逐一验证：
当时，，，符合条件，
当时，，，符合条件，
当时，，（增根，舍去），
当时，，，符合条件，
当时，（不在范围内，舍去），
当时，，，符合条件，
∴满足条件的整数a为，
∴所有满足条件的整数a的和为，
故选：A．
二．填空题
11．
解：
当时，．
故答案为：．
12．40
解：设小王自驾车平均每小时行驶，则乘公交车平均每小时行驶，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
则，
∴小王乘公交车上班平均每小时行驶．
故答案为：40．
13．①③④
解：①由，，根据同底数幂的除法法则，，故正确；
②为完全平方式，则，解得，故错误；
③由且，两边除以得，即，故正确；
④方程交叉相乘得，整理得，
∵原分式方程无解，
∴当整理后的整式方程无解时，，解得；
当整理后的整式方程有解时，解是原分式方程的增根，原方程分母为0时，或，
将代入可得，不成立，故舍去，不符合题意；
将代入可得，解得，
综上，或，故正确；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
14．
解：设原计划速度为 ，则原计划时间为 ，
所以前行驶距离为 ，剩余距离为，以速度行驶，时间为，
则实际总时间为 ，
又因为提前到达，即 ，所以，
化简得，
两边同乘得，
，
，
经检验，是原方程的解，
∴原计划速度 ，
∴实际总时间：，
又返回速度 ，则返回时间，
所以时间差，
故答案为：．
15．且
解：，
∴且，
由题意知，，
解得且．
故答案为：且．
16．10
解：∵
∴，
∴．
化简得 ，
∴．
依题意，为正整数且，
∴为正整数且不等于2．
设，则，其中为正整数且．又因为，
∴，
解得，
即（为正整数）．
因此．
对应值：当 ，；
当，；
当，．
∴所有整数的和为 ．
故答案为 10．
17．
解：设三个校区需两种树木总数量分别为，，，设三个校区需银杏数量分别为，，．
则甲校区紫叶李数量为，乙校区紫叶李数量为．
由题意得
交叉相乘得
整理得，解得．
三个校区树木总数量为，总银杏数量为，预算紫叶李总数量为．
设预算银杏单价为，预算紫叶李单价为，则预算总费用为．
实际银杏总费用为．
实际紫叶李总数量为，实际紫叶李单价为，因此实际紫叶李总费用为．
由实际总费用等于预算总费用得：
约去整理得．
因此实际购买银杏总费用与实际购买紫叶李总费用之比为：
．
故答案为：．
18．且
解：解一元一次不等式组，
得，
一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，
，
解分式方程，
得，
，
分式方程的解为非负数，
，且
解得且，
且．
故答案为：且．
三．解答题
19．（1）解：
去分母得到，
解得
经检验，是分式方程的根．
（2）解：
去分母得到，
解得，
经检验是增根，
∴原分式方程无解．
20．原式
，
当时，原式．
21．解：设引进新设备前工程队每天改造道路x米，则引进新设备后工程队每天改造道路米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：引进新设备前工程队每天改造道路50米，引进新设备后工程队每天改造道路65米．
22.解：由题意可得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
∴，
∴单枪新能源充电桩的单价为元，双枪新能源充电桩的单价为元．
23．（1）解：设甲每小时售出个灯笼，则乙每小时售出个灯笼．
根据题意，得．
方程两边同乘，得．
解得．检验：
当时，，
∴是原方程的解．
则．
答：甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼．
（2）解：设甲销售小时，
则甲售出个灯笼，乙售出个灯笼．
根据题意，得．
化简得．
解得．
答：甲至少要销售7小时．
24．（1）解：设一个钥匙挂件的售价为元，则一套伴手礼的售价为元，
根据题意列方程得： ，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
此时（元），
答：一个钥匙挂件的售价为20元，一套伴手礼的售价为48元；
（2）解：设购买钥匙挂件个，则购买伴手礼套装套，商场总利润为元，
根据总费用不超过540元，可得： ，
解得：，
由题意可知，为非负整数，且，即，
∴，
计算单个利润：每个钥匙挂件利润为（元），
每套伴手礼利润为（元），
因此总利润： ，
，
随的增大而减小，
当取最小值15时，取得最大值，此时，
答：当购买15个钥匙挂件，5套伴手礼套装时，商场才能获得最大利润．
25．（1）解： 与互为“和常分式”．
∵，，
∴，
“和常值”．
（2）解：①∵与互为“和常分式”，且“和常值”，
∴．
两边同乘，得，
∴
．
②．
∵分式的值为正整数，
∴是的因数，
∴或，
∴或．
（3）解：∵与互为“和常分式”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得．
26．（1）解：设今年5月份款汽车每辆售价万元．则：
，
解得：．
经检验，是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份款汽车每辆售价9万元；
（2）设购进款汽车辆，则购进款汽车辆，根据题意得：
．
解得：．
的正整数解为，，，，，
共有种进货方案；
（3）解：依题意，利润为：
∵要使（2）中所有的方案获利相同，即利润与无关，
∴

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