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4.3 公式法
一、选择题（共8题，每小题4分，合计32分）
1．下列各式中不能进行因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
3．将代数式进行因式分解，结果是（ ）
A． B． C． D．
4．如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（ ）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数
5．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．仙河游 C．我爱仙河 D．美我仙河
6．已知 ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，则 ABC的周长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
7．对于任意整数，多项式都能被（ ）整除．
A． B． C． D．
8．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
二、填空题（共8题，每小题4分，合计32分）
9．分解因式：______．
10．分解因式：_________．
11．因式分解：______．
12．分解因式：____．
13．已知，则________．
14．分解因式：___________．
15．若，则_____．
16．若，，是一组勾股数，且，，，则______．
三、解答题（共4题，每小题9分，合计36分）
17．分解因式：
（1）； （2）．
18．分解因式：
（1） （2）
19．阅读下面的因式分解的过程：
，
利用上述分解因式的方法，解决以下问题：
（1）分解因式：；
（2）已知，求的值；
（3）已知 ABC的三边长分别为a，b，c，且满足，证明 ABC是等腰三角形．
20．阅读下列材料：我们知道，对于一些正整数n，可以表示为 （a、b为正整数，且），例如：．
（1）请将表示为两个正整数的平方差的形式；
（2）求证：任意一个大于1的奇数都可以表示为两个正整数的平方差；
（3）若，且a、b为正整数，且，求n的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．C
解：选项A：，不符合题意；
选项B：，不符合题意；
选项 C：，不能进行因式分解，符合题意；
选项 D：，不符合题意；
故选：C．
2．D
解：∵
由平方差公式得
∵
∴原式
3．D
解：．
4．A
解：
∵a、b、c是三角形的三边长，
∴，，
∴，即的值是负数．
故选：A．
5．C
解：∵
，
∵对应我，对应爱，对应仙，对应河，
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱仙河．
6．A
解：∵，
∴，
即，
∵任何数的平方都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数为0，
∴，，
解得：，，
根据三角形三边关系，得：，
即，
∵是正整数
∴
∴ ABC的周长为：．
7．A
解：
，
∵为整数，
∴也为整数，
∴能被整除，
∴多项式都能被整除．
8．D
解：A、，符合智慧数定义，不符合题意；
B、，符合智慧数定义，不符合题意；
C、，符合智慧数定义，不符合题意；
D、假设，其中为正整数，则与的奇偶性必须相同，18的正因数对有，这三对数均为一奇一偶，不满足同奇同偶的要求，故18不是智慧数，符合题意．
故选：D．
二、填空题
9．
解：
．
10．
解：
．
11．
解：．
故答案为：
12．
解：
．
13．
解：∵
∴
14．
解：原式
．
15．
解：，
且，，
∴，，
解得：，，
则
当，时，
原式
故答案为： ．
16．4051
解：由题意，得
，，
∵，
∴，
∵，
∴当，，是一组勾股数时，a为直角三角形的斜边，
∴
故答案为：4051．
三、解答题
17．（1）解：
（2）解：
18．（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
19．（1）解：
；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：∵，
∴，
即，
，
，
，
∵ ABC的三边长分别为a，b，c，
∴，
即，
∴，
即，
∴ ABC是等腰三角形．
20．（1）解：或；
（2）证明：
（k为正整数），
∴（k为正整数），
∴任意一个大于1的奇数都可以表示为两个正整数的平方差；
（3）解：且为正整数，
且与同奇偶，
若与同奇，最小为，
若与同偶，则必能被4整除，最小为，
∴当为奇数时，n为大于或等于3的奇数；当n为偶数时，n为大于等于8的偶数且为4的倍数．

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