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2026年河南中考数学压轴卷
（时间：100分钟，总分：120分）
一、选择题（共10题，共30分）
1.某品牌乒乓球产品质量参数是2.74 g±0.02 g,如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02 g记作+0.02 g,那么低于标准质量0.02 g记作 （ ）
A.－0.02g B.+0.02g
C.－0.04g D.+0.04g
2.【传统文化】斗笠，又名箬笠，即以竹皮编织用来遮光遮雨的帽子，可以看作一个圆锥，下列平面展开图中能围成一个圆锥的是（　　）


3.2026年春节期间，全国科技馆以“科技大联欢”为主题，为广大公众献上了一场融知识性、趣味性与人文关怀于一体的新春科普盛宴，据初步统计，共接待观众超3500000人次，数据3500000用科学记数法表示为（　　）
A．35×105 B．3.5×106
C．3.5×105 D．0.35×107
4.如图为一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可量出此扇形零件的圆心角度数为（ ）
A．40° B．60° C．120° D．140°
5.已知关于x的一元二次方程x2-3x+m+1=0有实数根，则实数m的取值范围是
A. m＜ B. m≥
C. m> D. m≤
6.如图，△ABC的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则BC边上的高等于（ ）
A. B.
C．2 D.
7.计算 － 的结果等于(　　)
A.－1 B.x－1
C. D.
8.人工智能(AI)，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人类智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新兴的技术科学.小明和小丽两位同学计划利用假期，通过智慧课堂学习大数据技术、信息安全和物联网工程三门课程中的任意一门课程，则两人选中信息安全和大数据技术的概率为（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM．若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为(　　)
A．3 B．3.5 C．2 D．2.5
10.【跨学科】将通电导线放置在两块磁铁中间时导线会发生偏移，数学兴趣小组针对这种现象进行研究，得到当磁场强度和磁场内导线长度一定时，滑动变阻器的阻值R与导线中电流I的函数图象如图①所示，导线中电流I与磁场内导线所受到的力F的函数图象如图②所示，下列结论中错误的是（ ）

A.I随着R增大而减小 B.I每增加1A，F的增加量相同
C.滑动变阻器的阻值越大，导线所受到的力F越大
D.当R=4Ω时，F=0.21N
二、填空题（共5题，共15分）
11.【开放性试题】若二次根式 有意义，则正整数m的值可以是 ．(写出一个即可)
12.【跨学科】生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多.为了解甲，乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲，乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μmol－1·m－2·s－1），结果统计如下.则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是______（选填“甲”或“乙”）.
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数
甲 32 30 25 18 20 25
乙 28 25 26 24 22 25
13.按规律排列的一组数：3， ， ，12， ，则这组数的第9个数是 ．
14.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形．分别以点A，O为圆心，取大于 OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F.若OA＝1，则 ，AE，AB所围成的阴影部分面积为______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，D为平面内一动点，且AD＝2，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转90°得到ED，连接AE，BE，当A，D，E三点共线时，线段AE的长为______．
三、解答题（共8题，共75分）
16.（10分）(1)计算： ＋|－2|＋(－ )－1；
(2)先化简，再求值：(3－2x)(3＋2x)－2x(x－1)＋(x－1)2，其中x＝ .
17.（9分）每年的6月6日是全国爱眼日.某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表：
分组 A B C D E
4.0≤x＜4.2 4.2≤x＜4.5 4.5≤x＜4.8 4.8≤x＜5.1 5.1≤x≤5.3
人数(频数) 2 8 14 12 4
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)这40名学生视力的中位数落在哪个组内
(2)该校八年级共有500名学生.
①根据上表数据，请估计这500名八年级学生的视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数；
②从去年同期这500名学生的体检结果中可知，视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数为263人.如果你是该校的一名学生，请说明这500名学生今年和去年视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数变化情况，并为学校提一条保护学生视力的合理化建议.
18.（9分）如图①，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(－4，0)和(0，－2)，现将线段AB平移得到线段DC，已知C，D两点的坐标分别为(6，m)和(n，p)．
(1)直接写出n的值；
(2)如图②，若反比例函数y＝ (x＞0)的图象同时经过C，D两点．
①求该反比例函数的解析式；
②连接AD，BC，BC与x轴交于点E，求点E到AD所在直线的距离．
19.（9分）如图，AC为圆的直径，点B为圆上一点，点P为圆外一点.
（1）尺规作图：作出圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图中，连接PA，PB，BC，若PA为⊙O的切线，∠P+2∠C＝180°，求证：PB为⊙O的切线.
20.（9分）骑山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．如何确定合适的车座高度呢？有一种雷蒙德测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距约15cm，测量裆部离地面的高度h（单位：cm）及最合适的车座顶部到中轴的距离l（如图，单位：cm），下表是测量的部分数据.
h（单位：cm） … 76 80 84 88 …
l（单位：cm） … 67.108 70.64 74.172 77.704 …
（1）求l与h之间的函数关系式；
（2）小明测得裆部离地面的高度为86cm，并将自行车座顶部到中轴的距离调至80cm，试判断小明调节的车座高度是否适合自己.
21.（9分）由于建筑前种植有绿化区，无法到建筑物底部测量建筑物的影长．某综合与实践小组开展测量建筑物高度的活动，记录如下.
活动主题 测量建筑物的高度
测量示意图
测量说明 如图，在太阳光下，建筑物顶端D的影子落在点B处，同一时刻，竖直放置的标杆BE顶端E的影子落在点A处，小组成员在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上．
测量数据 BE=1.5m，AB=3m，BF=3.5m.
备注 点F，A，B，C在同一水平线上.
根据以上信息，解决下列问题.
任务1：小明说：“若没有绿化区的影响，直接测量出BC的长度，就可以测出建筑物的高度CD”，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由；
任务2：求建筑物CD的高是多少？
任务3：该小组在查找资料时，发现住建部门登记的建筑物CD的高度为11m，请写出一条测量结果有误差的原因．
22.（10分）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于点A(4，0)，交y轴于点B(0，－8).
(1)求抛物线的解析式；
(2)当t≤x≤t＋2时，y的最小值为－1，求t的值；
(3)记抛物线上点A，B之间(含点A，B)的部分为图象U，若直线y＝x＋m与图象U只有一个交点，请直接写出m的取值范围．
23.（10分）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是______（填序号）；
（2）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且EC＝DF，连接EF，AF，求证：四边形ABEF是等角线四边形；
（3）如图②，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为线段AB的垂直平分线上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形的面积．
数学试卷 第页（共页）2026年河南中考数学压轴卷
详解详析
一、选择题
1.A
2.D
3.B
【解析】3500000=3.5×106.
4.A
5.D　
【解析】∵一元二次方程有实根，∴Δ≥0,即9-4(m+1)≥0，解得m≤ .
6.B
【解析】S△ABC ，BC 2 ，设BC边上的高为h，S△ABC ＝2，解得h ．
7.C　
【解析】原式＝ － ＝ ＝ .
8.D　
【解析】将大数据技术、信息安全、物联网工程分别记为A,B,C，根据题意，列表如下：由列表可知共有9种等可能的结果，其中两人选中信息安全和大数据技术有2种结果，∴P（两人选中信息安全和大数据技术）= .
A B C
A （A,A） （A,B） (A,C)
B (B,A） （B,B） (B,C)
C (C,A） （C，B） （C,C）
9.D
【解析】∵点M，N分别是边AD，CD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴AC＝2MN＝2×3＝6，∵四边形ABCD是菱形，S菱形ABCD＝24，∴OA＝OC AC＝3，OB＝OD，AC⊥BD， AC BD＝24，即 6×BD＝24，∴BD＝8，∴OD BD＝4，在Rt△OCD中，由勾股定理得CD 5，∵点M是AD的中点，OA＝OC，∴OM是△ACD的中位线，∴OM CD＝2.5.
10.C
【解析】由图①可知I随着R增大而减小，故A选项正确；由图②可知I每增加1A，F的增加量相同，故B选项正确；由图①可知滑动变阻器的阻值越大，导线内的电流越小，由图②可知导线内的电流越小，导线所受到的力F越小，故C选项错误；由图①可知，当R=4Ω时，I=3A，由图②可知，当I=3A时，F=0.21N，故D选项正确.
二、填空题
11.1(答案不唯一)
【解析】若二次根式 有意义，则3－m≥0，解得m≤3，∵m为正整数，∴m的值可以是1(答案不唯一)．
12.乙
13.33
14. － 　
【解析】如解图，连接OE，OB，∵四边形ABCD是圆⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，由尺规作图知MN垂直平分OA，∴AE＝OE，∵OA＝OE，∴△OAE是等边三角形，∴AE＝OE＝OA＝1，∠AOE＝60°，设MN与OA交于点G，则EG＝OE·sin ∠AOE＝1×sin 60°＝ ，∴S阴影＝S扇形OAB－S△OAB－S弓形＝S扇形OAB－S△OAB－(S扇形OAE－S△OAE)＝ － ×1×1－( － ×1× )＝ － － ＋ ＝ － .
解图
15. ＋2或 －2　
【解析】分两种情况讨论，①如解图①，当点D在直线AB上方时，∵A，D，E三点共线，由题意可知，∠ADB＝90°，BD＝DE，在Rt△ABD中，BD＝ ＝ ＝ ，∴AE＝DE＋AD＝ ＋2；②如解图②，当点D在直线AB下方时，由题意可知，∠ADB＝90°，BD＝DE，在Rt△ABD中，BD＝ ＝ ＝ ，∴AE＝DE－AD＝ －2.综上所述，线段AE的长为 ＋2或 －2.
三、解答题
16.解：(1)原式＝－ ＋2－3
＝－ ；
(2)原式＝32－(2x)2－2x2＋2x＋x2－2x＋1
＝10－5x2
＝5(2－x2)
＝5( －x)( ＋x)，
当x＝ 时，原式＝5×( － )( ＋ )＝0.
17.解：（1）这40名学生视力的中位数是第20、21个数据的平均数，而这2个数据均落在C组，
∴这40名学生视力的中位数落在C组；
（2）①500× =200（名），
答：估计这500名八年级学生的视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数为200名；
②去年视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数为263人，今年视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数约为200人，今年视力在该范围内的人数明显减少，
建议：保护用眼，保持学习、生活环境光线的柔和，避免强烈紫外线的照射.尽量避免熬夜和过度用眼，避免过度使用电子产品.增加户外活动，定期远眺.（答案不唯一，写出一条即可）
18.解：(1)n＝2；
(2)①由题意可得6m＝2p，由平移性质可知，p－m＝0－(－2)，即p－m＝2，
联立，得 ，解得 ，∴C(6，1)，D(2，3)，(4分)∴将C(6，1)代入y＝ ，解得k＝6，∴反比例函数的解析式为y＝ ；
②如解图，设AD交y轴于点M，连接ME，
由平移的性质可知，AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
设BC所在直线的解析式为y＝ax＋b(a≠0)，将B(0，－2)，C(6，1)代入，
得 ，
解得 ，∴BC所在直线的解析式为y＝ x－2.
将y＝0代入y＝ x－2中，得x＝4，∴E(4，0)，
同理可得AD所在直线的解析式为y＝ x＋2，将x＝0代入y＝ x＋2中，得y＝2，∴M(0，2)．
在Rt△OAM中，
由勾股定理得AM＝ ＝2 ，
设点E到AD所在直线的距离为h，∴在△AEM中，由等面积法，得 AE·OM＝ AM·h，∴ ×(4＋4)×2＝ ×2 h，解得h＝ ，∴点E到AD所在直线的距离为 .
解图
19.（1）解：如答案图，点O即为所求；
（2）证明：如答案图，连接OB，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠OBC，
∵∠AOB＝∠C+∠OBC＝2∠C，∠P+2∠C＝180°，
∴∠P+∠AOB＝180°，
∴∠PAO+∠PBO＝180°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∴∠PBO＝90°，
∴PB⊥OB，
∵OB是半径，
∴PB是⊙O的切线.
答案图
20.解：（1）设l与h之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将（76，67.108），（80，70.64）分别代入得, ,解得 ，
∴l与h之间的函数关系式为y=0.883x；
(2)将x=86代入到y=0.883x中，
得y=75.938，
∵75.938<80，
∴小明调节的座位高度不适合自己.
21.解：任务1：小明的说法正确，理由如下：
由题意可得，∠DCB＝∠EBA＝90°，∠EAB＝∠DBC，
∴△AEB∽△BDC，
∴ ＝ ，
∵BE=1.5m，AB=3m，
∴CD= BC，
∵可以直接测量出BC的长度，
∴建筑物的高度CD可以通过计算得出；
任务2：∵∠EBF＝∠DCF＝90°，∠EFB＝∠DFC，
∴△EFB∽△DFC，
∴ ＝ ，
由任务1得， ＝ ，
∴ ＝ ，
∵AB＝3m，BF＝3.5m，
∴ ＝ ，
∴BC＝21m，
∵ ＝ ，即 ＝ ，
∴CD＝10.5m.
答：建筑物CD的高是10.5m；
任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差(答案不唯一).
22.解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(4，0)，B(0，－8)，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－8；
由(1)可得，抛物线的对称轴为直线x＝1,
∵a＝1＞0，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
当x＜1时，y随x的增大而减小，
由(1)可得，当x＝1时，y取得最小值为－9，
∴当t≤x≤t＋2时，y的最小值为－1，分两种情况进行讨论：
①当t＋2＜1，即t＜－1时，
此时y在x＝t＋2处取得最小值，则(t＋2)2－2(t＋2)－8＝－1，
解得t＝2 －1(舍去)或t＝－2 －1.
②当t＞1时，此时y在x＝t处取得最小值，
则t2－2t－8＝－1，解得t＝1＋2 或t＝1－2 (舍去).
综上所述，t的值为－2 －1或1＋2 ；
由(1)可得抛物线在x＝1处取得最小值，故对t的取值范围分两种情况进行讨论：①t＋2＜1，即t＜－1；②t＞1.
m的取值范围－8＜m≤－4或m＝－ .
当直线y＝x＋m经过点A时，可求得m＝－4，当直线y＝x＋m经过点B时，可求得m＝－8，当直线y＝x＋m与图象U只有一个公共点时，联立 ，得x2－3x－8－m＝0，则(－3)2－4·(－8－m)＝0，解得m＝－ ，∴当直线y＝x＋m与图象U只有一个交点时，m的取值范围为－8＜m≤－4或m＝－
23.（1）②④；
【解法提示】∵矩形、正方形的对角线相等，∴矩形和正方形是“等角线四边形”.
（2）证明：如图①，连接AE，BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵EC＝DF，
∴BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，
∴四边形ABEF是等角线四边形；
答案图①
（3）当点D在AB的上方时，如图②，
∵DE是AB的中垂线，
∴AE＝BE＝2，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，
∵四边形ABCD为等角线四边形，
∴AC＝BD＝5，
∴DE ，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD AB×DE BC×BE＝2 3；
当点D在AB的下方时，如图③，过点D作DF⊥BC，交CB的延长线于F，
∵四边形ACBD为等角线四边形，
∴BA＝CD＝4，
∵DE⊥AB，∠ABF＝90°，DF⊥CF，
∴四边形DEBF是矩形，
∴BE＝DF＝2，DE＝BF，
∴CF 2 ，
∴BF＝2 3，
∴S四边形ADBC＝S△ABC+S△ABD 4×（2 3） 4×3＝4 ，
综上所述，这个等角线四边形的面积为4 或2 3．

答案图② 答案图③
数学试卷 第页（共页）2026年河南中考数学压轴卷
（时间：100分钟，总分：120分）
一、选择题
1.某品牌乒乓球产品质量参数是2.74 g±0.02 g,如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02 g记作+0.02 g,那么低于标准质量0.02 g记作 （ ）
A.－0.02g B.+0.02g
C.－0.04g D.+0.04g
1.A
2.斗笠，又名箬笠，即以竹皮编织用来遮光遮雨的帽子，可以看作一个圆锥，下列平面展开图中能围成一个圆锥的是（　　）


2.D
3.2026年春节期间，全国科技馆以“科技大联欢”为主题，为广大公众献上了一场融知识性、趣味性与人文关怀于一体的新春科普盛宴，据初步统计，共接待观众超3500000人次，数据3500000用科学记数法表示为（　　）
A．35×105 B．3.5×106
C．3.5×105 D．0.35×107
3.B
【解析】3500000=3.5×106.
4.如图为一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可量出此扇形零件的圆心角度数为（ ）
A．40° B．60° C．120° D．140°
4.A
5.已知关于x的一元二次方程x2-3x+m+1=0有实数根，则实数m的取值范围是
A. m＜ B. m≥
C. m> D. m≤
5.D　
【解析】∵一元二次方程有实根，∴Δ≥0,即9-4(m+1)≥0，解得m≤ .
6.如图，△ABC的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则BC边上的高等于（ ）
A. B.
C．2 D.
6.B
【解析】S△ABC ，BC 2 ，设BC边上的高为h，S△ABC ＝2，解得h ．
7.计算 － 的结果等于(　　)
A.－1 B.x－1
C. D.
7.C　
【解析】原式＝ － ＝ ＝ .
8.人工智能(AI)，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人类智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新兴的技术科学.小明和小丽两位同学计划利用假期，通过智慧课堂学习大数据技术、信息安全和物联网工程三门课程中的任意一门课程，则两人选中信息安全和大数据技术的概率为（ ）
A. B.
C. D.
8.D　
【解析】将大数据技术、信息安全、物联网工程分别记为A,B,C，根据题意，列表如下：由列表可知共有9种等可能的结果，其中两人选中信息安全和大数据技术有2种结果，∴P（两人选中信息安全和大数据技术）= .
A B C
A （A,A） （A,B） (A,C)
B (B,A） （B,B） (B,C)
C (C,A） （C，B） （C,C）
9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM．若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为(　　)
A．3 B．3.5 C．2 D．2.5
9.D
【解析】∵点M，N分别是边AD，CD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴AC＝2MN＝2×3＝6，∵四边形ABCD是菱形，S菱形ABCD＝24，∴OA＝OC AC＝3，OB＝OD，AC⊥BD， AC BD＝24，即 6×BD＝24，∴BD＝8，∴OD BD＝4，在Rt△OCD中，由勾股定理得CD 5，∵点M是AD的中点，OA＝OC，∴OM是△ACD的中位线，∴OM CD＝2.5.
10.将通电导线放置在两块磁铁中间时导线会发生偏移，数学兴趣小组针对这种现象进行研究，得到当磁场强度和磁场内导线长度一定时，滑动变阻器的阻值R与导线中电流I的函数图象如图①所示，导线中电流I与磁场内导线所受到的力F的函数图象如图②所示，下列结论中错误的是（ ）

A.I随着R增大而减小 B.I每增加1A，F的增加量相同
C.滑动变阻器的阻值越大，导线所受到的力F越大
D.当R=4Ω时，F=0.21N
10.C
【解析】由图①可知I随着R增大而减小，故A选项正确；由图②可知I每增加1A，F的增加量相同，故B选项正确；由图①可知滑动变阻器的阻值越大，导线内的电流越小，由图②可知导线内的电流越小，导线所受到的力F越小，故C选项错误；由图①可知，当R=4Ω时，I=3A，由图②可知，当I=3A时，F=0.21N，故D选项正确.
二、填空题
11.若二次根式 有意义，则正整数m的值可以是 ．(写出一个即可)
11.1(答案不唯一)
【解析】若二次根式 有意义，则3－m≥0，解得m≤3，∵m为正整数，∴m的值可以是1(答案不唯一)．
12.生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多.为了解甲，乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲，乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μmol－1·m－2·s－1），结果统计如下.则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是______（选填“甲”或“乙”）.
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数
甲 32 30 25 18 20 25
乙 28 25 26 24 22 25
12.乙
13.按规律排列的一组数：3， ， ，12， ，则这组数的第9个数是 ．
13.33
14.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形．分别以点A，O为圆心，取大于 OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F.若OA＝1，则 ，AE，AB所围成的阴影部分面积为______．
14. － 　
【解析】如解图，连接OE，OB，∵四边形ABCD是圆⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，由尺规作图知MN垂直平分OA，∴AE＝OE，∵OA＝OE，∴△OAE是等边三角形，∴AE＝OE＝OA＝1，∠AOE＝60°，设MN与OA交于点G，则EG＝OE·sin ∠AOE＝1×sin 60°＝ ，∴S阴影＝S扇形OAB－S△OAB－S弓形＝S扇形OAB－S△OAB－(S扇形OAE－S△OAE)＝ － ×1×1－( － ×1× )＝ － － ＋ ＝ － .
解图
15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，D为平面内一动点，且AD＝2，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转90°得到ED，连接AE，BE，当A，D，E三点共线时，线段AE的长为______．
15. ＋2或 －2　
【解析】分两种情况讨论，①如解图①，当点D在直线AB上方时，∵A，D，E三点共线，由题意可知，∠ADB＝90°，BD＝DE，在Rt△ABD中，BD＝ ＝ ＝ ，∴AE＝DE＋AD＝ ＋2；②如解图②，当点D在直线AB下方时，由题意可知，∠ADB＝90°，BD＝DE，在Rt△ABD中，BD＝ ＝ ＝ ，∴AE＝DE－AD＝ －2.综上所述，线段AE的长为 ＋2或 －2.
三、解答题
16.(1)计算： ＋|－2|＋(－ )－1；
(2)先化简，再求值：(3－2x)(3＋2x)－2x(x－1)＋(x－1)2，其中x＝ .
16.解：(1)原式＝－ ＋2－3
＝－ ；
(2)原式＝32－(2x)2－2x2＋2x＋x2－2x＋1
＝10－5x2
＝5(2－x2)
＝5( －x)( ＋x)，
当x＝ 时，原式＝5×( － )( ＋ )＝0.
17.每年的6月6日是全国爱眼日.某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表：
分组 A B C D E
4.0≤x＜4.2 4.2≤x＜4.5 4.5≤x＜4.8 4.8≤x＜5.1 5.1≤x≤5.3
人数(频数) 2 8 14 12 4
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)这40名学生视力的中位数落在哪个组内
(2)该校八年级共有500名学生.
①根据上表数据，请估计这500名八年级学生的视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数；
②从去年同期这500名学生的体检结果中可知，视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数为263人.如果你是该校的一名学生，请说明这500名学生今年和去年视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数变化情况，并为学校提一条保护学生视力的合理化建议.
17.解：（1）这40名学生视力的中位数是第20、21个数据的平均数，而这2个数据均落在C组，
∴这40名学生视力的中位数落在C组；
（2）①500× =200（名），
答：估计这500名八年级学生的视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数为200名；
②去年视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数为263人，今年视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数约为200人，今年视力在该范围内的人数明显减少，
建议：保护用眼，保持学习、生活环境光线的柔和，避免强烈紫外线的照射.尽量避免熬夜和过度用眼，避免过度使用电子产品.增加户外活动，定期远眺.（答案不唯一，写出一条即可）
18.如图①，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(－4，0)和(0，－2)，现将线段AB平移得到线段DC，已知C，D两点的坐标分别为(6，m)和(n，p)．
(1)直接写出n的值；
(2)如图②，若反比例函数y＝ (x＞0)的图象同时经过C，D两点．
①求该反比例函数的解析式；
②连接AD，BC，BC与x轴交于点E，求点E到AD所在直线的距离．
18.解：(1)n＝2；
(2)①由题意可得6m＝2p，由平移性质可知，p－m＝0－(－2)，即p－m＝2，
联立，得 ，解得 ，∴C(6，1)，D(2，3)，(4分)∴将C(6，1)代入y＝ ，解得k＝6，∴反比例函数的解析式为y＝ ；
②如解图，设AD交y轴于点M，连接ME，
由平移的性质可知，AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
设BC所在直线的解析式为y＝ax＋b(a≠0)，将B(0，－2)，C(6，1)代入，
得 ，
解得 ，∴BC所在直线的解析式为y＝ x－2.
将y＝0代入y＝ x－2中，得x＝4，∴E(4，0)，
同理可得AD所在直线的解析式为y＝ x＋2，将x＝0代入y＝ x＋2中，得y＝2，∴M(0，2)．
在Rt△OAM中，
由勾股定理得AM＝ ＝2 ，
设点E到AD所在直线的距离为h，∴在△AEM中，由等面积法，得 AE·OM＝ AM·h，∴ ×(4＋4)×2＝ ×2 h，解得h＝ ，∴点E到AD所在直线的距离为 .
解图
19.如图，AC为圆的直径，点B为圆上一点，点P为圆外一点.
（1）尺规作图：作出圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图中，连接PA，PB，BC，若PA为⊙O的切线，∠P+2∠C＝180°，求证：PB为⊙O的切线.
19.（1）解：如答案图，点O即为所求；
（2）证明：如答案图，连接OB，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠OBC，
∵∠AOB＝∠C+∠OBC＝2∠C，∠P+2∠C＝180°，
∴∠P+∠AOB＝180°，
∴∠PAO+∠PBO＝180°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∴∠PBO＝90°，
∴PB⊥OB，
∵OB是半径，
∴PB是⊙O的切线.
答案图
20.骑山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．如何确定合适的车座高度呢？有一种雷蒙德测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距约15cm，测量裆部离地面的高度h（单位：cm）及最合适的车座顶部到中轴的距离l（如图，单位：cm），下表是测量的部分数据.
h（单位：cm） … 76 80 84 88 …
l（单位：cm） … 67.108 70.64 74.172 77.704 …
（1）求l与h之间的函数关系式；
（2）小明测得裆部离地面的高度为86cm，并将自行车座顶部到中轴的距离调至80cm，试判断小明调节的车座高度是否适合自己.
20.解：（1）设l与h之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将（76，67.108），（80，70.64）分别代入得, ,解得 ，
∴l与h之间的函数关系式为y=0.883x；
(2)将x=86代入到y=0.883x中，
得y=75.938，
∵75.938<80，
∴小明调节的座位高度不适合自己.
21.由于建筑前种植有绿化区，无法到建筑物底部测量建筑物的影长．某综合与实践小组开展测量建筑物高度的活动，记录如下.
活动主题 测量建筑物的高度
测量示意图
测量说明 如图，在太阳光下，建筑物顶端D的影子落在点B处，同一时刻，竖直放置的标杆BE顶端E的影子落在点A处，小组成员在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上．
测量数据 BE=1.5m，AB=3m，BF=3.5m.
备注 点F，A，B，C在同一水平线上.
根据以上信息，解决下列问题.
任务1：小明说：“若没有绿化区的影响，直接测量出BC的长度，就可以测出建筑物的高度CD”，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由；
任务2：求建筑物CD的高是多少？
任务3：该小组在查找资料时，发现住建部门登记的建筑物CD的高度为11m，请写出一条测量结果有误差的原因．
21.解：任务1：小明的说法正确，理由如下：
由题意可得，∠DCB＝∠EBA＝90°，∠EAB＝∠DBC，
∴△AEB∽△BDC，
∴ ＝ ，
∵BE=1.5m，AB=3m，
∴CD= BC，
∵可以直接测量出BC的长度，
∴建筑物的高度CD可以通过计算得出；
任务2：∵∠EBF＝∠DCF＝90°，∠EFB＝∠DFC，
∴△EFB∽△DFC，
∴ ＝ ，
由任务1得， ＝ ，
∴ ＝ ，
∵AB＝3m，BF＝3.5m，
∴ ＝ ，
∴BC＝21m，
∵ ＝ ，即 ＝ ，
∴CD＝10.5m.
答：建筑物CD的高是10.5m；
任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差(答案不唯一).
22.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于点A(4，0)，交y轴于点B(0，－8).
(1)求抛物线的解析式；
(2)当t≤x≤t＋2时，y的最小值为－1，求t的值；
(3)记抛物线上点A，B之间(含点A，B)的部分为图象U，若直线y＝x＋m与图象U只有一个交点，请直接写出m的取值范围．
22.解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(4，0)，B(0，－8)，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－8；
由(1)可得，抛物线的对称轴为直线x＝1,
∵a＝1＞0，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
当x＜1时，y随x的增大而减小，
由(1)可得，当x＝1时，y取得最小值为－9，
∴当t≤x≤t＋2时，y的最小值为－1，分两种情况进行讨论：
①当t＋2＜1，即t＜－1时，
此时y在x＝t＋2处取得最小值，则(t＋2)2－2(t＋2)－8＝－1，
解得t＝2 －1(舍去)或t＝－2 －1.
②当t＞1时，此时y在x＝t处取得最小值，
则t2－2t－8＝－1，解得t＝1＋2 或t＝1－2 (舍去).
综上所述，t的值为－2 －1或1＋2 ；
由(1)可得抛物线在x＝1处取得最小值，故对t的取值范围分两种情况进行讨论：①t＋2＜1，即t＜－1；②t＞1.
m的取值范围－8＜m≤－4或m＝－ .
当直线y＝x＋m经过点A时，可求得m＝－4，当直线y＝x＋m经过点B时，可求得m＝－8，当直线y＝x＋m与图象U只有一个公共点时，联立 ，得x2－3x－8－m＝0，则(－3)2－4·(－8－m)＝0，解得m＝－ ，∴当直线y＝x＋m与图象U只有一个交点时，m的取值范围为－8＜m≤－4或m＝－
23.定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是______（填序号）；
（2）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且EC＝DF，连接EF，AF，求证：四边形ABEF是等角线四边形；
（3）如图②，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为线段AB的垂直平分线上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形的面积．
23.（1）②④；
【解法提示】∵矩形、正方形的对角线相等，∴矩形和正方形是“等角线四边形”.
（2）证明：如图①，连接AE，BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵EC＝DF，
∴BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，
∴四边形ABEF是等角线四边形；
答案图①
（3）当点D在AB的上方时，如图②，
∵DE是AB的中垂线，
∴AE＝BE＝2，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，
∵四边形ABCD为等角线四边形，
∴AC＝BD＝5，
∴DE ，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD AB×DE BC×BE＝2 3；
当点D在AB的下方时，如图③，过点D作DF⊥BC，交CB的延长线于F，
∵四边形ACBD为等角线四边形，
∴BA＝CD＝4，
∵DE⊥AB，∠ABF＝90°，DF⊥CF，
∴四边形DEBF是矩形，
∴BE＝DF＝2，DE＝BF，
∴CF 2 ，
∴BF＝2 3，
∴S四边形ADBC＝S△ABC+S△ABD 4×（2 3） 4×3＝4 ，
综上所述，这个等角线四边形的面积为4 或2 3．

答案图② 答案图③
数学试卷 第页（共页）

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