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第3课时：专题强化：运动学图像问题
目标要求
1.掌握x-t、v-t、a-t图像的意义，会分析其截距、斜率、“面积”等意义。
2.会用函数思想分析a-x、-t、v2-x等非常规图像来确定物体运动情况，解决物体运动问题。3.掌握运动学图像间的相互转化。
考点一：常规运动学图像
对基本图像的理解
项目 x-t图像 v-t图像 a-t图像
斜率 各点切线的斜率，表示该时刻的瞬时速度 各点切线的斜率，表示该时刻的瞬时加速度 加速度随时间的变化率
纵截距 t=0时，物体的位置坐标 初速度v0 起始时刻的加速度a0
面积 无意义 位移 速度变化量
交点 表示相遇 速度相同 加速度相同
1.物体沿直线运动，其x-t图像或v-t图像如图所示。试分别描述各物体的运动情况。
答案：甲物体做匀速直线运动，乙物体做减速直线运动，丙物体先做减速直线运动，后反向做加速直线运动，丁物体做匀加速直线运动，戊物体做加速度减小的加速直线运动，己物体先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动。
2.物体沿直线运动，其a-t图像分别如图①②③所示，试分别描述各物体的运动情况。
答案：图线①表示物体做加速度逐渐增大的直线运动，图线③表示物体做加速度逐渐减小的直线运动，图线②表示物体做匀变速直线运动。
3.为什么x-t图像、v-t图像只能描述物体做直线运动？
答案：因为纵坐标表示物理量的方向只有正、负两种可能，不能表示其他的方向。所以x-t图像、v-t图像只能描述物体做直线运动。
例1一辆汽车在教练场上沿平直道路行驶，以x表示它相对于某指示牌的位移。汽车在0到40 s内的x-t图像如图所示。下列关于汽车的说法正确的是(　　)
A.0~10 s汽车做初速度为零的加速直线运动
B.10~20 s之间汽车保持静止
C.20~30 s之间汽车速度方向发生改变
D.0~40 s内的平均速度大小为2.25 m/s
答案　B
解析　x-t图像的斜率表示速度，所以在0~10 s汽车速度逐渐减小到零，在10~20 s内速度为零，汽车保持静止，故A错误，B正确；由题图可知，在20~30 s之间汽车位移一直在减小，即一直沿负方向运动，故C错误；根据平均速度的定义式，有== m/s=-1.5 m/s，所以汽车在0~40 s内的平均速度大小为1.5 m/s，故D错误。
例2　(2025·海南卷·3)ETC是电子不停车收费系统的简称，常见于高速公路出入口，只要在车挡风玻璃上安装一个打卡装置，就能实现快速收费，提高通行效率。如图所示是一辆汽车通过ETC通道运动过程的速度—时间图像，其中t1~t2时间内的图线是一条平行于t轴的线段，则(　　)
A.汽车在0~t1时间内做匀减速直线运动
B.汽车在t1~t2时间内处于静止状态
C.汽车在0~t1和t2~t3时间内的加速度方向相同
D.汽车在0~t1和t2~t3时间内的速度方向相反
答案：A
解析：v-t图像的斜率表示加速度，由题图可知0~t1时间内加速度为负且恒定，速度为正，加速度方向与速度方向相反，故0~t1内，汽车做匀减速直线运动，故A正确；t1~t2内，汽车做匀速直线运动，故B错误；0~t1内加速度为负，t2~t3内加速度为正，故0~t1和t2~t3内，汽车加速度方向相反，故C错误；0~t1和t2~t3内，汽车速度方向相同，均为正，故D错误。
例3　光滑的水平面上有一物体在外力作用下做直线运动，物体的加速度随时间变化的关系如图所示。已知t=0时物体的速度为1 m/s，以此时的速度方向为正方向。下列说法正确的是(　　)
A.0~1 s内物体做匀加速直线运动
B.t=1 s时物体的速度为2 m/s
C.t=1 s时物体开始反向运动
D.0~3 s速度变化量为3 m/s
答案：B
解析：由题图可知，在0~1 s内物体加速度逐渐增大，不是匀加速直线运动，故A错误；a-t图像与时间轴所围成的面积表示速度的变化量，则第1 s内速度变化量为Δv=×1×2 m/s=1 m/s，由于t=0时物体的速度为1 m/s，则t=1 s时物体的速度为v=v0+Δv=2 m/s，故B正确；0~1 s内物体沿正方向加速运动，1 s末加速度反向，物体将沿原方向做减速运动，故C错误；0~3 s速度变化量为Δv'=(×1×2-1×2)m/s=-1 m/s，故D错误。
例4　(2025·浙江宁波市检测)某驾校学员在教练的指导下沿直线路段练习驾驶技术，汽车的速度v与时间t的关系如图所示，则汽车行驶位移x与时间t的关系图像可能正确的是(　　)
答案　D
解析　由题图可知汽车一直沿某一方向运动，x-t图像的斜率表示速度，斜率先变大，后不变，最后变小，故D正确，A、B、C错误。
1.解决图像转换类问题的一般流程：
2.要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图像类题型的解题准确率和速度。
例5　两个质点A、B放在同一水平面上，由静止开始从同一位置沿相同方向同时开始做直线运动，其运动的v-t图像如图所示。对A、B运动情况的分析，下列结论正确的是(　　)
A.A、B加速时的加速度大小之比为2∶1，A、B减速时的加速度大小之比为1∶1
B.在t=3t0时刻，A、B相距最远
C.在t=5t0时刻，A、B相距最远
D.在t=6t0时刻，A、B相遇
答案　D
解析　由v-t图像可知，斜率表示加速度，则加速时A、B的加速度大小之比为10∶1，减速时A、B的加速度大小之比为1∶1，故A错误；由A、B的运动关系可知，当A、B速度相同时，A、B间的距离最大，故选项B、C错误；
由题意可知A、B是从同一位置同时开始运动的，由速度—时间图像与横轴围成的面积表示位移可知，6t0时刻，A、B的位移大小
xA==3v0t0
xB==3v0t0
因此在此时刻A、B相遇，故D正确。
1.x-t图像、v-t图像中的追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。
2.利用v-t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v-t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。
3.若为x-t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a-t图像，可转化为v-t图像进行分析。
考点二：非常规运动学图像
1.函数与非常规运动学图像
对于非常规运动图像，可由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图像的斜率、截距、面积的含义。
运动学的三类非常规图像
函数关系 表达式 图像示例 斜率和纵截距
-t =at+v0 k=a b=v0
- =v0·+a k=v0 b=a
v2-x v2=2ax+ k=2a b=
2.两类图像与所围面积的意义
a-x 图像 公式依据： v2-=2ax→ax= 面积意义：速度平方变化量的一半
-x 图像 公式依据：t=·x 面积意义：运动时间t
例6　(多选)(2025·浙江S9联盟期中)物理学中有一些经典实验通过巧妙的设计使用简陋的器材揭示了深刻的物理本质。伽利略的斜面实验揭示了匀变速直线运动规律。某同学用现代实验器材改进伽利略的经典斜面实验。如图甲所示，他让一小球从固定斜面顶端O处静止释放，小球经过A处到达斜面底端B处，通过A、B两处安装传感器测出A、B间的距离x及小球在AB段运动的时间t。改变A点及A处传感器的位置，重复多次实验，计算机作出-t图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.小球在斜面上运动的平均速度大小为6 m/s
B.小球运动到斜面底端时速度大小为6 m/s
C.小球在斜面上运动的加速度大小为6 m/s2
D.小球在斜面上运动的时间为2 s
答案　BC
解析　A至B运动过程中，由匀变速直线运动规律有vB=vA+at
x=vAt+at2
可得=vB-at
由题图乙知，小球运动到斜面底端时速度大小为
vB=6 m/s
因小球在斜面上做匀加速直线运动，故平均速度小于6 m/s，故A错误，B正确；由-a= m/s2可得，小球在斜面上运动的加速度大小为a=6 m/s2，故C正确；由vB=at0可得，小球在斜面上运动的时间为t0=1 s，故D错误。
拓展　在-t图像中，计算0~t0时间内的位移，能不能利用图像与t轴所围的面积？如果不能，哪个面积才表示物体0~t0时间内的位移？
答案　-t图像不是瞬时速度与时间的关系图像，所以物体在0~t0时间内，图像与t轴所围的面积不表示物体在这段时间内的位移，由=可知，t0时刻对应的值为0~t0时间内的平均速度，故t0时刻的值与t0乘积等于0~t0时间内物体的位移，对应面积如图中阴影所示。
例7　一辆汽车做直线运动，其v2-x图像如图所示。关于汽车的运动，下列说法正确的是(　　)
A.汽车的加速度大小为1 m/s2
B.汽车的初速度为16 m/s
C.汽车第4 s末的速度为1 m/s
D.汽车前10 s内的位移为16 m
答案　D
解析　根据题意，由运动学公式v2-=2ax可得v2=+2ax，结合题图有=16 m2/s2，2a= m/s2，解得v0=4 m/s，a=- m/s2，即汽车初速度为4 m/s，加速度大小为 m/s2，故A、B错误；根据题意，由公式v=v0+at可得，汽车刹车停止的时间为t==8 s，则汽车第4 s末的速度为v4=4 m/s-×4 m/s=2 m/s，由公式v2-=2ax可得，汽车前10 s内的位移为x==16 m，故C错误，D正确。
课时精练
[分值：37分]
　[1~7题，每题3分]
1.(2024·重庆卷·1)如图所示，某滑雪爱好者经过M点后在水平雪道滑行，然后滑上平滑连接的倾斜雪道。当其达到N点时速度如果为0，水平雪道上滑行视为匀速直线运动，在倾斜雪道上的运动视为匀减速直线运动，则从M到N的运动过程中，其速度大小v随时间t的变化图像可能是(　　)
答案　C
解析　滑雪爱好者在水平雪道上做匀速直线运动，在水平雪道和倾斜雪道连接处没有能量损失，在倾斜雪道上做匀减速直线运动。故选C。
2.(2024·新课标卷·14)一质点做直线运动，下列描述其位移x或速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是(　　)
答案　C
解析　物体做直线运动，位移与时间成函数关系，A、B选项中一个时间对应两个或两个以上的位移，故不可能；同理D选项中一个时间对应两个速度，也不可能，只有C选项速度与时间是成函数关系，故可能。
3.(2023·全国甲卷·16)一小车沿直线运动，从t=0开始由静止匀加速至t=t1时刻，此后做匀减速运动，到t=t2时刻速度降为零，在下列小车位移x与时间t的关系曲线中，可能正确的是(　　)
答案　D
解析　x-t图像的斜率表示速度，0~t1时间内小车做匀加速运动，速度变大，所以图像斜率变大，t1~t2时间内小车做匀减速运动，则图像的斜率变小，在t2时刻小车停止，图像的斜率变为零，故选D。
4.(2024·福建卷·3)某公司在封闭公路上对一新型电动汽车进行直线加速和刹车性能测试，某次测试的速度—时间图像如图所示。已知0~3.0 s和3.5~6.0 s内图线为直线，3.0~3.5 s内图线为曲线，则该车(　　)
A.0~3.0 s的平均速度为10 m/s
B.3.0~6.0 s做匀减速直线运动
C.0~3.0 s内的位移比3.0~6.0 s内的大
D.0~3.0 s的加速度大小比3.5~6.0 s的小
答案　D
解析　根据v-t图像可知，0~3.0 s内汽车做匀加速直线运动，平均速度为= m/s=15 m/s，故A错误；
根据v-t图像可知，3.5~6.0 s内汽车做匀减速直线运动，故B错误；
根据v-t图像的斜率绝对值表示加速度大小，可知0~3.0 s的加速度大小为a1= m/s2=10 m/s2，3.5~6.0 s的加速度大小满足a2> m/s2=10 m/s2，可知0~3.0 s的加速度比3.5~6.0 s的小，故D正确；
根据v-t图像与横轴围成的面积表示位移可得，0~3.0 s内的位移为x1=×30×3.0 m=45 m，3.0~6.0 s内的位移满足x2>×30×(6.0-3.0)m=45 m，可知0~3.0 s内的位移比3.0~6.0 s内的小，故C错误。
5.(多选)(2023·湖北卷·8)t=0时刻，质点P从原点由静止开始做直线运动，其加速度a随时间t按图示的正弦曲线变化，周期为2t0。在0~3t0时间内，下列说法正确的是(　　)
A.t=2t0时，P回到原点
B.t=2t0时，P的运动速度最小
C.t=t0时，P到原点的距离最远
D.t=t0时，P的运动速度与t=t0时相同
答案　BD
解析　质点在0~t0时间内从静止出发先做加速度增大的加速运动再做加速度减小的加速运动，此过程一直向前加速运动，t0~2t0时间内加速度方向和速度方向相反，先做加速度增大的减速运动再做加速度减小的减速运动，2t0时刻速度减为零，此过程一直向前做减速运动，2t0~4t0重复此过程的运动，即质点一直向前运动，A、C错误，B正确；a-t图像与t轴所围的面积表示速度变化量，~t0时间内速度的变化量为零，因此时刻P的运动速度与t0时刻相同，D正确。
6.(2024·浙江嘉兴市一模)杭州亚运会10 m跳台的跳水决赛中，中国运动员全红婵完美一跳后裁判全给10分并获得冠军。从全红婵离开跳板开始计时，跳水过程中重心的v-t图像如图所示。则全红婵(　　)
A.在0~t1过程中做自由落体运动
B.在t2~t3过程中速度方向发生改变
C.在t3~t4过程中加速度逐渐减小
D.在t4时刻上浮至水面
答案　C
解析　在0~t1过程中初速度不为零，不是自由落体运动，故A错误；在t2~t3过程中速度始终为正值，方向不变，故B错误；在t3~t4过程中，图像斜率绝对值变小，v-t图像斜率绝对值表示加速度大小，加速度逐渐减小，故C正确；根据题图可知，0~t1过程竖直向上运动，t1~t4过程中竖直向下运动，在t4时刻下降到最低点，故D错误。
7.(多选)(2024·浙江台州市期中)如图甲、乙所示为某物体在0~t1时间内运动的x-t图线和v-t图线，由图可知，在0~t1时间内(　　)
A.物体做的是曲线运动
B.物体做加速度越来越小的运动
C.图甲中t1时刻，图线的斜率为v0
D.x1-x0=t1
答案　CD
解析　由题图乙可知，物体的速度方向在0~t1内没有变化，且其速度均匀减小，故物体做的是匀减速直线运动，故A、B错误；由题图乙可知，物体的速度与时间的关系为v=v0-·t，当t=t1时，可得v=v0，题图甲中x-t图像在t1时刻的斜率绝对值即为该时刻物体的速度大小，即为v0，故C正确；物体在0~t1内的运动位移可通过v-t图像与横轴围成的面积求得，所以x1-x0=t1，故D正确。
　[8~10题，每题4分]
8.(2024·浙江省Z20名校联盟联考)小张同学发现了一张自己以前为研究机动车的运动情况而绘制的 -图像(如图)。已知机动车运动轨迹是直线，则下列说法合理的是(　　)
A.机动车处于匀加速状态
B.机动车的初速度为-4 m/s
C.机动车的加速度大小为20 m/s2
D.机动车在前3 s的位移大小是25 m
答案　D
解析　根据x=v0t+at2，变形可得=+a，可知-的图像斜率k=v0= m/s=20 m/s，纵轴截距为b=-4 m/s2=a，可得a=-8 m/s2，所以机动车处于匀减速状态，加速度大小为8 m/s2，初速度为20 m/s，故A、B、C错误；
根据v=v0+at，可得机动车匀减速运动的总时间为t==2.5 s，则机动车在前3 s的位移大小等于机动车在前2.5 s的位移大小，可得机动车在前3 s的位移大小为x=t=25 m，故D正确。
9.物体沿直线运动，一段时间内物体的v-t图像如图所示。已知图像在t1时刻的切线与横轴交点的坐标为t0，下列说法正确的是(　　)
A.0~t1时间内，物体的位移大于
B.0~t2时间内，物体的加速度逐渐增大
C.t2~t4时间内，物体的速度与加速度方向始终相反
D.t1时刻物体的加速度为
答案　D
解析　v-t图线与时间轴所围成的面积大小表示位移大小，可知0~t1时间内，物体位移小于，A错误；v-t图像切线的斜率绝对值表示加速度大小，0~t1时间内，图像的切线的斜率逐渐增大，物体的加速度逐渐增大，t1~t2时间内，图像的斜率逐渐减小，物体的加速度逐渐减小，故0~t2时间内，物体的加速度先增大后减小，B错误；t2~t3时间内，v大于零，但在减小，表明加速度与速度反向，t3~t4时间内，v小于零，但绝对值增大，表明速度与加速度同向，C错误；t1时刻图像切线的斜率即为物体的加速度，则t1时刻物体的加速度为a=，D正确。
10.(2024·浙江绍兴市模拟)在平直的公路上有甲、乙两辆汽车从同一地点、沿同一方向做匀变速直线运动，它们的速度—时间图像如图所示。在0~6 s时间内，根据图像可以判断出(　　)
A.甲运动的加速度大小大于乙运动的加速度大小
B.在t=4 s时，甲、乙运动的加速度大小相等
C.甲、乙在t=4 s时相遇
D.在t=4 s时，甲、乙相距最远，且最远距离为24 m
答案　D
解析　v-t图像斜率的绝对值表示加速度的大小，由题图可知0~6 s时间内，甲运动的加速度大小小于乙运动的加速度大小，故A、B错误；v-t图像与t轴围成的面积表示位移，由题图可知在t=4 s时乙在甲的前方，故C错误；在t=4 s前，乙的速度大于甲的速度，t=4 s后，乙的速度小于甲的速度，所以在t=4 s时，甲、乙相距最远，且最远距离为Δx=×12×4 m=24 m，故D正确。
　[4分]
11.甲、乙两质点在同一直线上运动，从t=0时刻起同时出发，甲做匀加速直线运动，x-t图像如图甲所示。乙做匀减速直线运动，整个运动过程的x-v2图像如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A.t=0时刻，甲的速度为2 m/s
B.甲的加速度大小为2 m/s2
C.经过 s，甲追上乙
D.经过2.5 s，甲追上乙
答案　C
解析　甲质点的位移表达式为x=v0t+a1t2+x0，将(0，-2)、(1，0)、(2，6)代入上式，解得x0=-2 m，v0=0，a1=4 m/s2，A、B错误；
乙质点的位移表达式为v2-v0'2=-2a2x，将v2=0时x=12.5 m 、v2=100 m2/s2时x=0代入上式，解得v0'=10 m/s，a2=4 m/s2，
乙质点停止所用时间为t0== s=2.5 s
乙质点2.5 s运动的位移为x2=a2=12.5 m
甲质点经过 s的位移为
x1=a1t2=×4×()2 m=14.5 m
因为x1-x2+x0=14.5 m-12.5 m-2 m=0
经过 s，甲追上乙，C正确；
经过2.5 s，甲质点的位移为x1'=a1t'2=12.5 m
因为初始距离x0=-2 m，甲没追上乙，D错误。

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