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第一章 数列
§2 等差数列
2.1 等差数列
第1课时 等差数列的概念及其通项公式
课程内容标准 学科素养凝练
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的判定方法.
3.会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项. 通过对等差数列概念及其通项公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
一、等差数列的概念
1.文字语言：对于一个数列，如果从第___项起，每一项与它的______的差都是_______常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个____为等差数列的_____，通常用字母___表示.
2.符号语言：an+1-an=d(d为常数，n∈N+).
二、等差数列的通项公式
若首项是a1，公差是d，则等差数列｛an｝的通项公式为an=_________.
2
前一项
同一个
常数
公差
d
a1+(n-1)d
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)常数列是等差数列. ( )
(2)-1，-2，-3，-4，-5不是等差数列. ( )
(3)若数列｛an｝是等差数列，则其公差d=a7-a8. ( )
√
×
×
C
2.已知等差数列｛an｝的首项a1=4，公差d=-2，则通项公式an= (　　)
A.4-2n　　　　　　　　 B.2n-4
C.6-2n D.2n-6
解析
an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×(-2)=4-2n+2=6-2n.
B
3.(教材习题改编)在等差数列｛an｝中，a1=2，a3=8，则公差d= (　　)
A.4 B.3
C.-4 D.-3
解析
a3-a1=8-2=2d，故d=3.
C
解析
探究一　等差数列的判定
［知能解读］　对等差数列概念的解读
(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合.
(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻.
(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.
判断下列数列是否为等差数列.
(1)an=3-2n；(2)an=n2-n.
解
　(1)∵an+1-an=［3-2(n+1)］-(3-2n)=-2，是常数，
∴数列｛an｝是等差数列.
(2)∵an+1-an=［(n+1)2-(n+1)］-(n2-n)=2n，不是常数，
∴数列｛an｝不是等差数列.
证明
探究二　等差数列的通项公式及应用
［知能解读］　等差数列的通项公式与一次函数的关系
　　由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d)，如果设p=d，q=a1-d，那么an=pn+q，其中p，q是常数.当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p=0时，an=q，等差数列为常数列.
在等差数列｛an｝中，
(1)若a5=15，a17=39，试判断91是否为此数列中的项；
(2)若a2=11，a8=5，求a10.
思路分析：利用通项公式求出该数列的首项和公差，进而确定通项公式后再求解.
解
解
［变式］　将本例(2)的条件变为“若a1+a6=12，a4=7”，求a10.
解
设数列｛an｝的公差为d.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
∴a10=2×10-1=19.
［训练2］　(1)等差数列｛an｝中，a2=4，公差d=3，an=22，求n；
(2)判断-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项，如果是，是第几项？
解
(1)由条件知
(2)由a1=-5，d=-9-(-5)=-4，
得这个数列的通项公式为an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1.
由题意，令-401=-4n-1，得n=100，
即-401是这个数列的第100项.
探究三　等差数列的实际应用
某市出租车的计价标准为1.2 元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付车费多少元？
解
根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.
所以，可以建立一个等差数列｛an｝来计算车费.
令a1=11.2，表示4 km处的车费，公差d=1.2，
那么当出租车行至14 km处时，n=11，
此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).
［变式1］　(变条件)在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km处的目的地(不足1 km，按1 km计费)，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付车费多少元？
解
由题意知，当出租车行至18.5 km处时，按行至19 km计费，n=16，此时需支付车费a16=11.2+(16-1)×1.2=29.2(元).
［变式2］　(变结论)在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往n km(n∈N+)处的目的地，求其需支付的车费an.
解
当n∈｛1，2，3｝时，an=10，
当n∈N+，且n≥4时，an=11.2+(n-4)×1.2=1.2n+6.4.
［训练3］　在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值，如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是-17.5 ℃，求2 km，4 km，8 km高度的气温.
解
用｛an｝表示自下而上各高度气温组成的等差数列，设公差为d，则a1=8.5，a5=-17.5.
由a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5，
解得d=-6.5，
∴an=15-6.5n.
∴a2=2，a4=-11，a8=-37，
即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，-11 ℃，-37 ℃.
C
1.等差数列｛1-3n｝的公差d等于 (　　)
A.1　　　 B.3　　　 C.-3　　　 D.n
解析
∵an=1-3n，∴a1=-2，a2=-5，
∴d=a2-a1=-3.
B
2.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是 (　　)
A.第7项 B.第8项
C.第9项 D.第10项
解析
∵a1=20，d=-3，
∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n.
∴a7=2>0，a8=-1<0.
故数列中第一个负数项是第8项.
A
3.已知在等差数列｛an｝中，a3+a8=22，a6=7，则a5等于 (　　)
A.15 B.22 C.7 D.29
解析
4.已知｛an｝为等差数列，且a7-2a4=-1，a3=0，则公差d=_______.
解析
5.已知数列｛an｝，a1=a2=1，an=an-1+2(n≥3)，判断数列｛an｝是否为等差数列？说明理由.
解
因为an=an-1+2(n≥3)，所以当n≥3时，an-an-1=2(常数).
所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2.
又因为a2-a1=0≠a3-a2，所以数列｛an｝不是等差数列.

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