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第一章 数列
§1 数列
1.1 数列的概念
课程内容标准 学科素养凝练
1.了解数列通项公式的概念.
2.能根据通项公式确定数列的某一项.
3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 1.通过对数列基本概念的学习培养数学抽象的核心素养.
2.通过学习数列通项公式的概念培养逻辑推理的核心素养.
一、数列的有关概念
1.数列的有关概念
数列 按_________排列的一列数叫作数列
项 数列中的__________叫作这个数列的项
首项 数列的_____常称为首项
通项 数列中的________叫数列的通项
一定次序
每一个数
第1项
第n项an
2.数列的表示
(1)一般形式：a1，a2，a3，…，an，…；
(2)字母表示：上面数列也可记为_____.
3.数列的分类
分类标准 名称 含义 举例
按项的
个数 有穷数列 项数有限的数列 1，2，3，4，…，n
无穷数列 项数无限的数列 1，4，9，…，n2，…
｛an｝
二、通项公式
1.如果数列｛an｝的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成________，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
2.数列可以看作是定义域为正整数集N+(或其子集)的函数，当自变量
_________依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.
an=f(n)
从小到大
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)数列1，2，3，5，7可表示为｛1，2，3，5，7｝. ( )
(2)数列的项不能相等. ( )
(3)数列1，2，3，4，…，n2是无穷数列.( )
(4)数列的通项公式可能不唯一. ( )
×
×
×
√
C
2.已知数列｛an｝的通项公式是an=n2+1，则122是该数列的 (　　)
A.第9项　　　　　　　 B.第10项
C.第11项 D.第12项
解析
由n2+1=122得n2=121，
所以n=11.
3.若数列｛an｝的通项公式为an=2n2-3n，则a2=_______.
答案 2
解析
a2=2×22-3×2=2.
4.(教材习题改编)数列2，4，6，8，…的通项公式为______.
答案 an=2n
解析
由2=2×1，4=2×2，6=2×3，8=2×4，得该数列的通项公式为an=2n.
5.在横线上填入适当的数：3，8，15，______，35，48.
答案 24
解析
因为3=22-1，8=32-1，15=42-1，35=62-1，48=72-1，所以在横线上应填入的数为52-1=24.
探究一　数列的有关概念
［知能解读］　与集合中元素的性质相比较，数列中
的项的性质具有以下特点
(1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性.
(2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性).
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素与顺序无关(即无序性).
(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数以外的其他事物.
(1)(多选题)下列说法正确的是 (　 　)
A.数列4，7，3，4的首项是4
B.数列｛an｝中，若a1=3，则从第2项起，各项均不等于3
C.数列1，2，3，…就是数列｛n｝
D.数列中的项不能是三角形
ACD
(2)下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由.
①8，8，8，8；
②-3，-1，1，x，5，7，y，11；
③当n取1，2，3，4，…时，(-1)n的值排成的一列数.
解析
(1) 根据数列的相关概念，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确.
解
(2) ①能构成数列，且构成的是有穷数列.
②当x，y代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当x，y中有一个不代表数时，不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列组成的.
③能构成数列，且构成的是无穷数列.所构成的数列是-1，1，-1，1，….
BC
［训练1］　(多选题)下面四个结论正确的是 (　　)
A.数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列
B.数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝)上的函数
C.数列｛2n+1｝的第6项是13
D.数列的项数是无限的
解析
对于A，因为数列的项是有顺序的，所以两个数列是不同的数列，A错误；对于B，由数列和函数的关系可知B正确；对于C，由数列的表示可知C正确；对于D，因为数列的项数可以是有限的也可以是无限的，所以D错误.
［训练2］　下列各题哪些是数列？若是数列，则哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？
(1)｛1，3，5，7，9｝；(2)4，3，2，1，0；
(3)1，2，3，4，…；(4)2，2，2，2，2.
解
(1)是集合，不是数列；(2)(3)(4)是数列；(2)(4)是有穷数列，(3)是无穷数列.
解
解
B
解析
解
解
解
解
［变式1］　本例的条件不变，求a3+a4和a2n的值.
解
解
(1)若0是｛an｝中的第n项，则n2-3n=0.因为n∈N+，所以n=3.故0是｛an｝中的第3项.
若1是｛an｝中的第n项，则n2-3n=1，即n2-3n-1=0.因为方程n2-3n-1=0不存在正整数解，所以1不是｛an｝中的项.
(2)假设｛an｝中存在第m项与第m+1项相等，即am=am+1，
则m2-3m=(m+1)2-3(m+1)，解得m=1.
所以数列｛an｝中存在连续且相等的两项，即第1项与第2项相等.
D
1.下列有关数列的说法正确的是 (　　)
①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列-1，0，1与数列1，0，-1是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关.
A.①②　　　　　　　 B.①③
C.②③ D.③
解析
①是错误的，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3；②是错误的，数列-1，0，1与数列1，0，-1各项的顺序不同，表示不同的数列；③是正确的.
C
解析
解析
4.(多空题)已知数列｛an｝的通项公式为an=(-1)n，n∈N+，则它的第8项是______，第9项是_____.
答案 1　-1
解析
当n=8时，a8=(-1)8=1.当n=9时，a9=(-1)9=-1.

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