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第一章 数列
§2 等差数列
第2课时 等差数列的性质
课程内容标准 学科素养凝练
1.掌握等差中项的概念及其应用.
2.掌握等差数列的项与序号的性质.
3.理解等差数列的项的对称性.
4.能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题. 1.通过对等差数列性质的研究培养逻辑推理的核心素养.
2.通过学习等差中项的概念提升数学运算的核心素养.
一、等差数列的图象与性质
1.等差数列的图象
由an=dn+(a1-d)，可知其图象是直线y=dx+(a1-d)上的一些____________，其中______是该直线的斜率.
等间隔的点
公差d
2.从函数角度研究等差数列的图象与性质
由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其图象是直线y=dx+(a1-d)上的一些
___________，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的_____，
即自变量每增加1，函数值增加d.
当____时，数列｛an｝为________，如图甲所示.
当____时，数列｛an｝为________，如图乙所示.
当____时，数列｛an｝为______，如图丙所示.
等间隔的点
斜率
d>0
d<0
d=0
递增数列
递减数列
常数列
二、等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么___叫作
______的等差中项.
A
a与b
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)等差数列的图象要么是上升的、要么是下降的. ( )
(2)等差数列｛an｝中，a3+a4=a2+a5. ( )
(3)任何两个数都有等差中项. ( )
×
√
√
B
2.等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列5a1，5a2，5a3，…，5an是 (　　)
A.公差为d的等差数列
B.公差为5d的等差数列
C.非等差数列
D.以上都不对
解析
由等差数列的定义知an-an-1=d，所以5an-5an-1=5(an-an-1)=5d.
解析

4.等差数列｛an｝中，a3=1，则a2+a3+a4=_______.
答案 3
解析
a2+a3+a4=(a2+a4)+a3=2a3+a3=3a3=3.
探究一　等差数列的性质
［知能解读］　等差数列的性质
　　若｛an｝是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m+n=p+q，则am+an=ap+aq.
(1)特别地，当m+n=2k(m，n，k∈N+)时，am+an=2ak.
(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=….
(1)已知等差数列｛an｝中，a2+a6+a10=1，求a4+a8；
(2)设｛an｝是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，求a11+a12+a13的值.
解
解
［训练1］　已知等差数列｛an｝的公差为d.
(1)若a2+a3+a23+a24=48，求a13；
(2)若a2+a3+a4+a5=34，a2a5=52，求d.
解
解
探究二　等差中项及应用
在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
解
［训练2］　(多空题)已知数列8，a，2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为_____， _____ ， _____.
答案 5　-1　-4
解析
因为8，a，2，b，c是等差数列，
证明
探究三　等差数列性质的综合应用
在等差数列｛an｝中，a3+a4+a5=84，a9=73，求数列｛an｝的通项公式.
思路分析：方法1，由条件列出关于a1和d的方程组，求出a1和d，可得an；方法2，利用等差数列的性质求d，利用an=am+(n-m)d，求an.
解
［变式1］　(变条件)在本例中，若条件“a3+a4+a5=84”改为“a2+a4+a6+a8+a10=100”，其余不变，求an.
解
［变式2］　(变结论)本例的条件不变，若数列｛bn｝是等差数列，其公差为3，则数列｛2an+3bn｝是等差数列吗？若是等差数列，求出其公差.
解
(2an+1+3bn+1)-(2an+3bn)=2(an+1-an)+3(bn+1-bn)=2×9+3×3=27，
所以数列｛2an+3bn｝是等差数列，其公差为27.
［方法总结］　由等差数列衍生的新数列
　　若｛an｝，｛bn｝分别是公差为d，d'的等差数列，则有
数列 结论
｛c+an｝ 公差为d的等差数列(c为任一常数)
｛c·an｝ 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N+)
｛pan+qbn｝ 公差为pd+qd'的等差数列(p，q为常数)
［训练4］　已知两个等差数列｛an｝：5，8，11，…，｛bm｝：3，7，11，…，都有100项，试问这两个数列有多少个共同的项？
解
解
C
1.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1+a3，a2+a4，a3+a5，…，下列说法正确的是 (　　)
A.新数列不是等差数列
B.新数列是公差为d的等差数列
C.新数列是公差为2d的等差数列
D.新数列是公差为3d的等差数列
解析
∵(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d，
∴数列a1+a3，a2+a4，a3+a5，…是公差为2d的等差数列.
A
2.在等差数列｛an｝中，a1+a9=10，则a5的值为(　　)
A.5　　　B.6　　　C.8　　　D.10
解析
由等差数列的性质，得a1+a9=2a5.
又a1+a9=10，即2a5=10，∴a5=5.
D
3.已知等差数列｛an｝：1，0，-1，-2，…；等差数列｛bn｝：0，20，40，60，…，则数列｛an+bn｝是 (　　)
A.公差为-1的等差数列
B.公差为20的等差数列
C.公差为-20的等差数列
D.公差为19的等差数列
解析
(a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1)=-1+20=19.
C
4.在等差数列｛an｝中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10-a12的值为 (　　)
A.20 B.22 C.24 D.28
解析
由a4+a6+a8+a10+a12=(a4+a12)+(a6+a10)+a8=5a8=120，得a8=24.
又a8+a12=2a10，故2a10-a12=a8=24.
5.在等差数列｛an｝中，已知a1+a2+a3=21，a1a2a3=231.
(1)求该数列中a2的值；
(2)求该数列的通项公式an.
解

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