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第一章 数列
§2 等差数列
2.2 等差数列的前n项和
第2课时 等差数列前n项和的应用
课程内容标准 学科素养凝练
1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能解决相应的问题.
2.会求等差数列前n项和的最值. 1.在利用等差数列前n项和公式解决实际问题的过程中，培养数学建模和数学运算的核心素养.
2.在求等差数列前n项和最值过程中达成逻辑推理和数学运算的核心素养.
探究一　等差数列前n项和的应用问题
某抗洪指挥部接到预报，24 h后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20辆同型号翻斗车，平均每辆车工作24 h.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20 min能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24 h内能否构筑成第二道防线？
解
C
［训练］　北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A.3 699块　　　　　　B.3 474块
C.3 402块 D.3 339块
解析
2.等差数列前n项和的最值
(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，将这些项相加即得｛Sn｝的最小值.
(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，将这些项相加即得｛Sn｝的最大值.
特别地，若a1>0，d>0，则S1是｛Sn｝的最小值；若a1<0，d<0，则S1是｛Sn｝的最大值.
在等差数列｛an｝中，a10=18，前5项的和S5=-15.
(1)求数列｛an｝的通项公式；
(2)求数列｛an｝的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.
思路分析：(1)利用通项公式及其前n项和公式建立方程组求解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的增减性求解.
解
解
∴当n=3或4时，前n项的和取得最小值S3=S4=-18.
方法二　设Sn最小，则
即 解得3≤n≤4.
又n∈N+，故当n=3或4时，前n项的和取得最小值S3=S4=-18.
［变式1］　将本例中的条件“S5=-15”改为“S5=125”，其余不变，则数列｛an｝的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值.
解
［变式2］　在本例中，根据第(2)题的结果，若Sn=0，求n.
解
［变式3］　将本例变为：在等差数列｛an｝中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3=S11，则当n为多少时，Sn最大？
解
解
B
1.数列｛an｝为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn=(n+1)2+λ，则λ的值是 (　　)
A.-2　　　B.-1　　　C.0　　　　D.1
解析
等差数列前n项和Sn的形式为Sn=An2+Bn，所以λ=-1.
B
2.已知数列｛an｝的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5A.9 B.8 C.7 D.6
解析
∴an=2n-10.
由5<2k-10<8，得7.53.已知数列｛an｝的通项公式是an=2n-48，则Sn取得最小值时，n为_______.
答案 23或24
解析
由an≤0，即2n-48≤0，得n≤24.
∴所有负项的和最小，即n=23或24.
4.“嫦娥”奔月，举国欢庆.据科学计算，运载“嫦娥”月球探测器的“长征3号甲”火箭，点火1 min内通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与月球探测器分离，则这一过程大约需要的时间是______min.
答案 15
解析
5.已知等差数列｛an｝的前n项和Sn=n2-2n，求a2+a3-a4+a5+a6.
解
∵Sn=n2-2n，
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-2n-［(n-1)2-2(n-1)］=2n-3.
∴a2+a3-a4+a5+a6=(a2+a6)+(a3+a5)-a4=2a4+2a4-a4=3a4=3×(2×4-3)=15.

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