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第一章 数列
§3 等比数列
3.1 等比数列
第1课时 等比数列的概念及其通项公式
课程内容标准 学科素养凝练
1.理解等比数列的定义.
2.掌握等比数列的通项公式及其应用.
3.熟练掌握等比数列的判定方法. 1.通过对等比数列概念的学习提升数学抽象的核心素养.
2.借助等比数列通项公式的学习提升数学运算的核心素养.
一、等比数列的概念
如果一个数列从第___项起，每一项与它的___一项的____都是_______常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的_____，通常用字母q表示(q≠0).
2
前
比值
同一个
公比
a1qn-1
孤立的点
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比值为常数，则该数列为等比数列. ( )
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零. ( )
(3)常数列一定为等比数列. ( )
×
×
×
C
解析
由等比数列的定义可知，对于③，若x=0，则不是等比数列.
D
解析
4.等比数列｛an｝的首项为2，公比为5，则数列｛an｝的通项公式为________.
答案 an=2×5n-1
解析
数列｛an｝的通项公式为an=2×5n-1.
探究一　等比数列的概念
判断下列数列是否为等比数列.
(1)1，3，32，33，…，3n-1，…；
(2)-1，1，2，4，8，…；
(3)a1，a2，a3，…，an，….
解
ABD
解析
A，B显然是等比数列；因为x可能为0，所以C不是等比数列；a不能为0，D符合等比数列的定义，故D是等比数列.
证明
探究二　等比数列的通项公式
［知能解读］　等比数列通项公式的应用技巧
(1)a1和q是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素，其余的元素便可求出.
(2)等比数列的通项公式涉及四个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个.
(3)在等比数列的计算问题中，经常使用方程的思想和整体代换的思想.
解
解
解
解
［训练3］　在等比数列｛an｝中，
(1)已知a1=3，q=-2，求a6；
(2)已知a3=20，a6=160，求an.
解
探究三　等比数列的实际应用
某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示第n(n∈N+)年这辆车的价值；
(2)当用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少元？
思路分析：根据预测，从第二年起，车的价值是上一年车的价值的1-10%，即90%，故每年车的价值构成等比数列.
解
(1)从第一年起，每年这辆车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an.
由题意，得a1=10，a2=10×(1-10%)，
a3=10(1-10%)2，….
由等比数列定义知，数列｛an｝是等比数列，首项a1=10，公比q=1-10%=0.9，
所以an=a1qn-1=10×0.9n-1.
所以第n年这辆车的价值为10×0.9n-1万元.
(2)当他用满3年时，这辆车的价值为a4=10×0.94-1=7.29(万元).
当用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到7.29万元.
［方法总结］　等比数列应用题的两种常见类型
(1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
(2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决.
［训练4］　一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后______秒，该病毒占据内存64 GB.(1 GB=210 MB)
答案 45
解析
由题意可得每3秒病毒占据的内存构成一个等比数列，令病毒占据64 GB时自身复制了n次，即2×2n=64×210=216，解得n=15，15×3=45(秒).
D
解析
B
解析
B
3.已知数列a，a(1-a)，a(1-a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是 (　　)
A.a≠1 B.a≠0且a≠1
C.a≠0 D.a≠0或a≠1
解析
由题意，得a≠0，1-a≠0，
所以a≠0且a≠1.
4.已知某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是_______.
解析
5.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
解

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